3 Menge der Primzahlen

Patrik Matter
PRIMZAHLEN
1 Einleitung
1.1 Hintergrund
1.2 Grundlagen (Für Laien verständlich)
Modulo = (15mod7) =15/7 => Rest was
Gaussklammer = Abgerundet auf nächste Ganzahl
No, N
Binomische Formel
ggT
Geometrische Reihe
Fermatzahlen
Fermatzahl:= 2 2  1 n  0
n
Oder indirekt: Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Beweis durch vollständige Induktion:
F1  F0  2
?
22  1  22  1  2
1
22  1  2  1  2
4 1  2 1 2
55
1
0
? Fn1  F0  F1  F2  ...  Fn  2
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1  Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Fn1  ( Fn  2)  Fn  2
Fn1  ( Fn ) 2  2Fn  2  (2 2  1) 2  2(2 2  1)  2  (2 2 ) 2  2(2 2 )  1  2(2 2 )  2  (2 2 ) 2
n
22
n 1
 ( 2 2 ) 2  2 2 2  2 2
n
n
n
n
n 1
Seite 1
n
n
n
Patrik Matter
Fermatzahlen haben keine gemeinsamen Teiler!
ggT ( Fn , Fa )  1
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: ggT ( Fn , Fa )  p (für a  n, a  N )
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1
(( Fn  2) mod Fa )  0 (Wobei Fa ein Teiler von Fn  2 ist)
 (( Fn  2) mod p)  0 (da Fa Teiler von Fn  2 ist und p Teiler von Fa ist.)
 ggT ( Fn  2, Fn )  p  p=2
 ( Fa mod 2)  0
((22  1) mod 2)  ((22 mod 2)  (1mod 2))  0  1  1 ( Fa ist ungerade!)
a
a
 Widerspruch=> ggT ( Fn , Fa )  1
Fm  2  ( F0  F1  F2  ...  Fn )
 (( Fm  2) mod Fn )  x (für x  N und n  m )
Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen und vermutete 1637, dass alle Fermatzahlen
Primzahlen sind.
1.3 Definitionen und Abkürzungen
2 Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich
selbst.
(Da 1 nur nur durch sich selbstteilbar ist, bildet das neutrale Elemente der Multiplilkation und
der Division auch hier eine Ausnahme!)¨Verweis auf wiki artikel)
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Patrik Matter
2.1 Fundamentalsatz der Algebra
2.1.1 Definition
2.1.2 Beweis
3 Menge der Primzahlen
3.1 Beweis von Euklid
A) Primzahlenfolge Pn enthält sämtliche Primzahlen.
Pn: p1  2 , p2  3 , p3  5 , p4  7 , …., p n
1. P  ( p1  p2  p3  ...  pn )  1
2. p ist ein Primteiler von P
 ( P mod p x )  1 (für x  r und x  N 0 ) und ( P mod p)  0
 p  p x  p ist eine weitere Primzahl aber p  Pn  Widerspruch zu A)!
Somit ist durch Widerspruch zu A bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
3.1.1 Variante von H.Brocard(1915)
Um zu Beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, genügt es zu zeigen, dass es für
jede Zahl eine Primzahl gibt die grösser ist.
1. n  N
2. M  n!1
 ( M mod x)  1 (für x  n und x  N )
3. ( M mod p)  0
 p>n
3.2 Beweis von Goldbach(1730)
Es genügt eine unendliche Folge von natürlichen Zahlen zu finden, die ausser 1 keinen
gemeinsamen Teiler haben. Da jede Zahl durch eine verschiedenen Primzahl teilbar sein
müsste, ergibt sich so die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
Fermat-Zahlen Fn  2 2  1 (für n  N 0 ) sind eine solche unendliche Zahlenfolge die ausser 1
keinen gemeinsamen Tieler haben (ggT ( Fa , Fb ) = 1) (Beweis siehe xy). Daher muss es nach
Goldbach unendliche viele Primzahlen geben.
n
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Patrik Matter
3.3 Beweis von Euler
p sei eine Primzahl

1
p
n 0
n

1
1
1
1
1
 1  2  ....  n ist eine geometrische Reihe mit  q  1
0
p
p
p
p
p
1
konvergiert mit dem Grenzwert:=
1
q sei eine andere Primzahl 

n 0


n 0
1
q
n

1
p
1
1
1
q

 


 

1
1
1
1
1
1
1   1 





 ....  n n 


1 
1
p n n 0 q n p 0 q 0 p 0 q 1 p 0 q 2
p q
1  1 
p 
q


Die linke Seite entspricht der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen der Form
p n q m (n  0, k  0) , wobei jede der Zahlen nur einmal vorkommt, da jede der Zahlen eine
eindeutige Primfaktorenzerlegung besitzt.
Annahme es gibt genau r Primzahlen:
r


  
i 1
 n 0


1 
1
 
n 

pi  i 1 1  1

pi

r






Die linke Seite entspricht daher der Summe der Kehrwerte aller möglichen
Primfaktorenzerlegungen der r Primzahlen. Und da jede Primfaktoren Zerlegung eine
eindeutige natürliche Zahl gibt, somit der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen!




r

1
1 




1 
n 1 n
i 1
1

pi 


1
divergiert (hat keinen Grenzwert), da auf wiki steht, dass

n 1 n
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
1
n
n 1
r
divergiert, falls r  1
Patrik Matter




 1   2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * .... * p n da mit jedem Glied der Faktor sich mehr 1


1  1 2 4 6 10 12
pn  1
i 1
1

pi 

annähert, stagniert das Produkt der Folge mit einem endlichen Grenzwert!
n
Dies führt zu einem Widerspruch  ist unsere Annahme Falsch und es gibt unendlich viele
Primzahlen!
4 Wie erkennt man Primzahlen/primzahltests
4.1 Sieb des Erastothenes
4.2 Einfache Zerlegung
4.3 Fermatzahlen
4.4 Mersenne-Zahlen
4.5 Berühmte Tests nach Wiki
5 Besondere Arten von Primzahlen und beinahe
Primzahlen
Primzahlzwillinge
Etc.
6 Kryptografie: praktische anwendung der
Primzahlen
Seite 5
Patrik Matter
7 Primzahlen in der Schule Sek1
8 Glossar
H. Brocard (1915) un preuve simple
Intermédiare des Mathématiciens 22, p 253
Goldbach(1730)
Briefwechsel mit Euler im Juli
Seite 6