3 Menge der Primzahlen

Patrik Matter
PRIMZAHLEN
1 Einleitung
1.1 Hintergrund
1.2 Grundlagen (Für Laien verständlich)
Modulo = (15mod7) =15/7 => Rest was
Gaussklammer = Abgerundet auf nächste Ganzahl
No, N
Binomische Formel
ggT
Geometrische Reihe
Fermatzahlen
Fermatzahl:= 2 2  1 n  0
n
Oder indirekt: Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Beweis durch vollständige Induktion:
F1  F0  2
?
22  1  22  1  2
1
22  1  2  1  2
4 1  2 1 2
55
1
0
? Fn1  F0  F1  F2  ...  Fn  2
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1  Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Fn1  ( Fn  2)  Fn  2
Fn1  ( Fn ) 2  2Fn  2  (2 2  1) 2  2(2 2  1)  2  (2 2 ) 2  2(2 2 )  1  2(2 2 )  2  (2 2 ) 2
n
22
n 1
 ( 2 2 ) 2  2 2 2  2 2
n
n
n
n
n 1
Seite 1
n
n
n
Patrik Matter
Fermatzahlen haben keine gemeinsamen Teiler!
ggT ( Fn , Fa )  1
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: ggT ( Fn , Fa )  p (für a  n, a  N )
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1
(( Fn  2) mod Fa )  0 (Wobei Fa ein Teiler von Fn  2 ist)
 (( Fn  2) mod p)  0 (da Fa Teiler von Fn  2 ist und p Teiler von Fa ist.)
 ggT ( Fn  2, Fn )  p  p=2
 ( Fa mod 2)  0
((22  1) mod 2)  ((22 mod 2)  (1mod 2))  0  1  1 ( Fa ist ungerade!)
a
a
 Widerspruch=> ggT ( Fn , Fa )  1
Fm  2  ( F0  F1  F2  ...  Fn )
 (( Fm  2) mod Fn )  x (für x  N und n  m )
Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen und vermutete 1637, dass alle Fermatzahlen
Primzahlen sind.
1.3 Definitionen und Abkürzungen
2 Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich
selbst.
(Da 1 nur durch sich selbstteilbar ist, bildet das neutrale Elemente der Multiplilkation und der
Division auch hier eine Ausnahme!)¨Verweis auf wiki artikel)
Seite 2
Patrik Matter
2.1 Eigenschaften von Primzahlen
Lemma von Euklid:
Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer
der Faktoren durch sie teilbar.
Annahme1:
ab
 n (für n, a, b  N sowie a  px, b  py )
p
ggT ( p / a)  1 und ggT ( p / b)  1 sowie ggT ( p / ab)  1 
ab
 n Widerspruch!
p
pxb
apy
pxpy
 ay oder
 pxy (für a, b, p, x, y  N )
 bx oder
p
p
p
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese
Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig (siehe
Fundamentalsatz der Algebra)
Negative Produktregel
Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als
eins sind, darstellen. (Da sie nur als Produkt von eins und sich selber darstellbar sind!)
Der kleine Satz von Fermat
a ( p 1)  1 (mod p) oder a p  a (mod p) (für a  N , ggT (a, p )  1 und p=Primzahl )
Beweis:
Behauptung: a p  a (mod p)
Induktionsanfang: a 1  a (mod 1)
Induktionsschritt: (a  1) p  a  1 (mod p)
Gemäss dem Binomischen Lehrsatz:
p
p
p 1
 p

 p k
 ( p  1)!  p k
p!
a
a  1
(a  1) p    a p k   
 a p  p 
k 0  k 
k 0  k!( p  k!) 
k 1  k!( p  k!) 
 ( p  1)!  p k
a
p  
 0 (mod p)
k 1  k!( p  k!) 
p 1
Seite 3
Patrik Matter
p 1
 ( p  1)!  p k
a  1  a  0  1 (mod p)
 (a  1) p  a p  p 
k 1  k!( p  k!) 
Weitere Sätze sibd… diese alle aufzulisten würde rahmen sprengen
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik
2.2.1 Definition
Jede natürliche Zahl grösser eins, besitzt eine Primfaktorenzerlegung, die bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist!
2.2.2 Beweis
Annahme: N ist die kleinste Zahl, die nicht durch Primfaktoren zerlegbar ist.
n  ab (für 1<a<n)
1 b 
n
n
a
Da n jedoch die kleinste Zahl ist, die nicht durch Primfaktoren dargestellt werden kann, sind a
und b in Primfaktoren zerlegbar und somit ist auch deren Produkt n in Primfaktoren zerlegbar
 Widerspruch die Annahme ist falsch!
Eindeutigkeit
3 Menge der Primzahlen
3.1 Beweis von Euklid
A) Primzahlenfolge Pn enthält sämtliche Primzahlen.
Pn: p1  2 , p2  3 , p3  5 , p4  7 , …., p n
1. P  ( p1  p2  p3  ...  pn )  1
2. p ist ein Primteiler von P
 ( P mod p x )  1 (für x  r und x  N 0 ) und ( P mod p)  0
 p  p x  p ist eine weitere Primzahl aber p  Pn  Widerspruch zu A)!
Somit ist durch Widerspruch zu A bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
Seite 4
Patrik Matter
3.1.1 Variante von H.Brocard(1915)
Um zu Beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, genügt es zu zeigen, dass es für
jede Zahl eine Primzahl gibt die grösser ist.
1. n  N
2. M  n!1
 ( M mod x)  1 (für x  n und x  N )
3. ( M mod p)  0
 p>n
3.2 Beweis von Goldbach(1730)
Es genügt eine unendliche Folge von natürlichen Zahlen zu finden, die ausser 1 keinen
gemeinsamen Teiler haben. Da jede Zahl durch eine verschiedenen Primzahl teilbar sein
müsste, ergibt sich so die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
Fermat-Zahlen Fn  2 2  1 (für n  N 0 ) sind eine solche unendliche Zahlenfolge die ausser 1
keinen gemeinsamen Tieler haben (ggT ( Fa , Fb ) = 1) (Beweis siehe xy). Daher muss es nach
Goldbach unendliche viele Primzahlen geben.
n
3.3 Beweis von Euler
p sei eine Primzahl

1
p
n 0
n

1
1
1
1
1
 1  2  ....  n ist eine geometrische Reihe mit  q  1
0
p
p
p
p
p
1
konvergiert mit dem Grenzwert:=
1
q sei eine andere Primzahl 

n 0


n 0
1
q
n

1
p
1
1
1
q

 


 

1
1
1
1
1
1
1   1 





 ....  n n 


1 
1
p n n 0 q n p 0 q 0 p 0 q 1 p 0 q 2
p q
1  1 
p 
q


Seite 5
Patrik Matter
Die linke Seite entspricht der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen der Form
p n q m (n  0, k  0) , wobei jede der Zahlen nur einmal vorkommt, da jede der Zahlen eine
eindeutige Primfaktorenzerlegung besitzt.
Annahme es gibt genau r Primzahlen:
r


  
i 1
 n 0


1 
1
 
n 

pi  i 1 1  1

pi

r






Die linke Seite entspricht daher der Summe der Kehrwerte aller möglichen
Primfaktorenzerlegungen der r Primzahlen. Und da jede Primfaktoren Zerlegung eine
eindeutige natürliche Zahl gibt, somit der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen!




r

1
1 




1 
n 1 n
i 1
1

pi 


1
divergiert (hat keinen Grenzwert), da auf wiki steht, dass

n 1 n

1
n
n 1
r
divergiert, falls r  1




 1   2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * .... * p n da mit jedem Glied der Faktor sich mehr 1


1  1 2 4 6 10 12
pn  1
i 1
1

pi 

annähert, stagniert das Produkt der Folge mit einem endlichen Grenzwert!
n
Dies führt zu einem Widerspruch  ist unsere Annahme Falsch und es gibt unendlich viele
Primzahlen!
4 Wie erkennt man Primzahlen
Seite 6
Patrik Matter
4.1 Einfache Zerlegung
4.2 Sieb des Erastothenes
4.3 Test mit dem kleinen Lehrsatz von Fermat
Der Staz von Fermat schien ebenfalls ein idealer Kandidat zu sein um mögliche Primzahlen
zu finden, allerdings, stimmt die Umkehrung des Satzes nicht. Es gibt zerlegbare N, die die
Bedingung: erfüllen, daher muss der Satz wie folgt ergänzt werden.
Falls eine Zahl folgende zwei Bedingungen erfüllt ist sie eine Primzahl
I. a N 1  1
II. a m  1 (mod N ) (für m=1,2,3, … N-2) oder ggT ( N , a)  1 (für m=1,2,3, … N-1)
Allerdings ist in der Praxis dieser Test zu aufwendig, um grosse Primzahlen zu finden.
Miller-Rabin-test
4.4 Agrawal-Kayal-Saxena-Primzahltest(2004)
2004 sorgte das Trio Agrawal, Kayal und Saxena, mit dem derzeit neusten Algorithmus um
zu testen, ob eine Zahl Prim ist für aufsehen. Das spezielle an diesem Test ist, dass er es
vermag von Rechnern in überschaubarer (polynomieller) Zeit gelöst zu werden und dass er
von einem bewiesenen Lemma zur Überprüfung von Primzahlen ausgeht.
Dieser Algorithmus fusst auf somit einem sehr ähnlichen Satz wie dem Lehrsatz von Fermat.
( x  a) N  x N  a (mod( x r  1, N ) für (1<a< ( 2  (r ) log N ). Hat jedoch den Vorteil, dass
man den Test nicht mehr von 1 bis N durchführen muss, sondern nur noch im Bereich von 1
bis ungefähr log (N) mal durchführen muss, also ist er in Polynomialzeit lösbar. Die bedeutet,
dass es sich um ein mit sequentiellen Computern praktisch lösbares Problem handelt, da die
Rechenzeit mit der Problemgrösse maximal mit einer Polynomfunktion wächst.

Seite 7

Patrik Matter
4.4.1 Beweis des Lemmas (Analog zum kleinen Lehrsatz von Fermat):
( x  a) p  x p  a (mod p) (für p = Primzahl)
p 1
 ( p  1)!  p k k
 x a  a p  x p  0  a p  x p  a (da a p  a (mod p) )
( x  a) p  x p  p 
k 1  k!( p  k!) 
Der vollständige Beweis würde den Rahmen dieser Arbeit bei weitem übersteigen und wurde
2004 von M.Agrawal erbracht.
5 Besondere Arten von Primzahlen
Primzahlzwillinge
Pseudoprimzahlen
Etc.
6 Kryptografie: praktische anwendung der
Primzahlen
7 Primzahlen in der Schule Sek1
8
Glossar
Polinominalzeit
9
Quellen und Links
H. Brocard (1915) un preuve simple
Intermédiare des Mathématiciens 22, p 253
Goldbach(1730)
Briefwechsel mit Euler im Juli
M Agrawal, N Kayal, N Saxena (2004) Primes in P
Indian Institute of Technology, Kanpur
http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality.pdf
Seite 8