3 Menge der Primzahlen

Patrik Matter
PRIMZAHLEN
1 Einleitung
1.1 Hintergrund
1.2 Grundlagen (Für Laien verständlich)
Modulo = (15mod7) =15/7 => Rest was
Gaussklammer = Abgerundet auf nächste Ganzahl
No, N
Binomische Formel
ggT
Geometrische Reihe
Evt. P als Menge der Primzahlen einführen
Fermatzahlen
Fermatzahl:= 2 2  1 n  0
n
Oder indirekt: Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Beweis durch vollständige Induktion:
F1  F0  2
?
22  1  22  1  2
1
22  1  2  1  2
4 1  2 1 2
55
1
0
? Fn1  F0  F1  F2  ...  Fn  2
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1  Fn  ( F0  F1  F2  ...  Fn1 )  2
Fn1  ( Fn  2)  Fn  2
Fn1  ( Fn ) 2  2Fn  2  (2 2  1) 2  2(2 2  1)  2  (2 2 ) 2  2(2 2 )  1  2(2 2 )  2  (2 2 ) 2
n
22
n 1
 ( 2 2 ) 2  2 2 2  2 2
n
n
n
n
n 1
Seite 1
n
n
n
Patrik Matter
Fermatzahlen haben keine gemeinsamen Teiler!
ggT ( Fn , Fa )  1
Beweis durch Widerspruch:
Annahme: ggT ( Fn , Fa )  p (für a  n, a  N )
Fn  2  F0  F1  F2  ...  Fn1
(( Fn  2) mod Fa )  0 (Wobei Fa ein Teiler von Fn  2 ist)
 (( Fn  2) mod p)  0 (da Fa Teiler von Fn  2 ist und p Teiler von Fa ist.)
 ggT ( Fn  2, Fn )  p  p=2
 ( Fa mod 2)  0
((22  1) mod 2)  ((22 mod 2)  (1mod 2))  0  1  1 ( Fa ist ungerade!)
a
a
 Widerspruch=> ggT ( Fn , Fa )  1
Fm  2  ( F0  F1  F2  ...  Fn )
 (( Fm  2) mod Fn )  x (für x  N und n  m )
Fermat kannte die ersten fünf Fermatzahlen und vermutete 1637, dass alle Fermatzahlen
Primzahlen sind.
1.3 Definitionen und Abkürzungen
2 Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl mit genau zwei natürlichen Teilern, nämlich 1 und sich
selbst.
(Da 1 nur durch sich selbstteilbar ist, bildet das neutrale Elemente der Multiplilkation und der
Division auch hier eine Ausnahme!)¨Verweis auf wiki artikel)
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2.1 Eigenschaften von Primzahlen
Lemma von Euklid:
Ist ein Produkt zweier natürlicher Zahlen durch eine Primzahl teilbar, so ist bereits einer
der Faktoren durch sie teilbar.
Annahme1:
ab
 n (für n, a, b  N sowie a  px, b  py )
p
ggT ( p / a)  1 und ggT ( p / b)  1 sowie ggT ( p / ab)  1 
ab
 n Widerspruch!
p
pxb
apy
pxpy
 ay oder
 pxy (für a, b, p, x, y  N )
 bx oder
p
p
p
Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung:
Jede natürliche Zahl lässt sich als Produkt von Primzahlen schreiben. Diese
Produktdarstellung ist bis auf die Reihenfolge der Faktoren eindeutig (siehe
Fundamentalsatz der Algebra)
Negative Produktregel
Primzahlen lassen sich nicht als Produkt zweier natürlicher Zahlen, die beide größer als
eins sind, darstellen. (Da sie nur als Produkt von eins und sich selber darstellbar sind!)
Der kleine Satz von Fermat
a ( p 1)  1 (mod p) oder a p  a (mod p) (für a  N , ggT (a, p )  1 und p=Primzahl )
Beweis:
Behauptung: a p  a (mod p)
Induktionsanfang: a 1  a (mod 1)
Induktionsschritt: (a  1) p  a  1 (mod p)
Gemäss dem Binomischen Lehrsatz:
p
p
p 1
 p

 p k
 ( p  1)!  p k
p!
a
a  1
(a  1) p    a p k   
 a p  p 
k 0  k 
k 0  k!( p  k!) 
k 1  k!( p  k!) 
 ( p  1)!  p k
a
p  
 0 (mod p)
k 1  k!( p  k!) 
p 1
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p 1
 ( p  1)!  p k
a  1  a  0  1 (mod p)
 (a  1) p  a p  p 
k 1  k!( p  k!) 
Weitere Sätze sind… diese alle aufzulisten würde rahmen sprengen
2.2 Fundamentalsatz der Arithmetik
2.2.1 Definition
Jede natürliche Zahl grösser eins, besitzt eine Primfaktorenzerlegung, die bis auf die
Reihenfolge der Faktoren eindeutig ist!
2.2.2 Beweis
Annahme: N ist die kleinste Zahl, die nicht durch Primfaktoren zerlegbar ist.
n  ab (für 1<a<n)
1 b 
n
n
a
Da n jedoch die kleinste Zahl ist, die nicht durch Primfaktoren dargestellt werden kann, sind a
und b in Primfaktoren zerlegbar und somit ist auch deren Produkt n in Primfaktoren zerlegbar
 Widerspruch die Annahme ist falsch!
Eindeutigkeit
3 Menge der Primzahlen
3.1 Beweis von Euklid
A) Primzahlenfolge Pn enthält sämtliche Primzahlen.
Pn: p1  2 , p2  3 , p3  5 , p4  7 , …., p n
1. P  ( p1  p2  p3  ...  pn )  1
2. p ist ein Primteiler von P
 ( P mod p x )  1 (für x  r und x  N 0 ) und ( P mod p)  0
 p  p x  p ist eine weitere Primzahl aber p  Pn  Widerspruch zu A)!
Somit ist durch Widerspruch zu A bewiesen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt.
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3.1.1 Variante von H.Brocard(1915)
Um zu Beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt, genügt es zu zeigen, dass es für
jede Zahl eine Primzahl gibt die grösser ist.
1. n  N
2. M  n!1
 ( M mod x)  1 (für x  n und x  N )
3. ( M mod p)  0
 p>n
3.2 Beweis von Goldbach(1730)
Es genügt eine unendliche Folge von natürlichen Zahlen zu finden, die ausser 1 keinen
gemeinsamen Teiler haben. Da jede Zahl durch eine verschiedenen Primzahl teilbar sein
müsste, ergibt sich so die Existenz von unendlich vielen Primzahlen.
Fermat-Zahlen Fn  2 2  1 (für n  N 0 ) sind eine solche unendliche Zahlenfolge die ausser 1
keinen gemeinsamen Tieler haben (ggT ( Fa , Fb ) = 1) (Beweis siehe xy). Daher muss es nach
Goldbach unendliche viele Primzahlen geben.
n
3.3 Beweis von Euler
p sei eine Primzahl

1
p
n 0
n

1
1
1
1
1
 1  2  ....  n ist eine geometrische Reihe mit  q  1
0
p
p
p
p
p
1
konvergiert mit dem Grenzwert:=
1
q sei eine andere Primzahl 

n 0


n 0
1
q
n

1
p
1
1
1
q

 


 

1
1
1
1
1
1
1   1 





 ....  n n 


1 
1
p n n 0 q n p 0 q 0 p 0 q 1 p 0 q 2
p q
1  1 
p 
q


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Die linke Seite entspricht der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen der Form
p n q m (n  0, k  0) , wobei jede der Zahlen nur einmal vorkommt, da jede der Zahlen eine
eindeutige Primfaktorenzerlegung besitzt.
Annahme es gibt genau r Primzahlen:
r


  
i 1
 n 0


1 
1
 
n 

pi  i 1 1  1

pi

r






Die linke Seite entspricht daher der Summe der Kehrwerte aller möglichen
Primfaktorenzerlegungen der r Primzahlen. Und da jede Primfaktoren Zerlegung eine
eindeutige natürliche Zahl gibt, somit der Summe der Kehrwerte aller natürlichen Zahlen!




r

1
1 




1 
n 1 n
i 1
1

pi 


1
divergiert (hat keinen Grenzwert), da auf wiki steht, dass

n 1 n

1
n
n 1
r
divergiert, falls r  1




 1   2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * .... * p n da mit jedem Glied der Faktor sich mehr 1


1  1 2 4 6 10 12
pn  1
i 1
1

pi 

annähert, stagniert das Produkt der Folge mit einem endlichen Grenzwert!
n
Dies führt zu einem Widerspruch  ist unsere Annahme Falsch und es gibt unendlich viele
Primzahlen!
4 Wie erkennt man Primzahlen
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4.1 Einfache Zerlegung
Die einfachste (aber teilweise sehr lange dauernde) Methode zu testen, ob eine Zahl eine
Primzahl ist, ist sie durch kleinere Primzahlen zu teilen, bis klar ist, dass es ausser Eins und
sich selbst keinen Teiler gibt.
z.B Ist 67 eine Primzahl?
Dividend
geteilt
durch
Divisor
ergibt
Quotient
67
:
1
=
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
67
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
2
3
4
5
7
11
13
17
23
31
37
41
43
47
53
59
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
33.50 22.33 16.75 13.40 9.57 6.09 5.15 3.94 2.91 2.16 1.81 1.63 1.56 1.43 1.26 1.14
Wie man in der Tabelle sehr schön sieht, ist es bewiesen, dass 67 eine Primzahl ist, sobald der
Divisor grösser wird als der Quotient. Da alle weiteren Divisoren nun Quotienten ergeben, die
kleiner sind, als die bereits getesteten Divisoren. Alle nun folgenden Quotienten sind kleiner
als die bereits getesteten Divisoren. Durch das Assoziativgesetz kann man Quotient und
Divisor auch tauschen, daher ist bewiesen, dass 67 keine Primzahl ist. Eine andere
Formulierung für den gleichen Sachverhalt ist, dass man die Primteiler bis zur Wurzel der
gesuchten Zahl testen muss.
N ist eine Primzahl falls ggT ( N , p)  1 für p  Pr imzahl und p  N
4.1.1 Teilbarkeitsregeln
Um schnell zu prüfen, ob eine Zahl zerlegbar ist, sind die sogenna
http://de.wikipedia.org/wiki/Teilbarkeit
4.2 Sieb des Erastothenes
Eine ergiebige Methode die auf einer grafischen
Darstellung der einfachen Zerlegung fusst war bereits den
Alten Griechen bekannt (Erastothenes (282 -202 v.Chr).
Zuerst werden alle Zahlen bis zu der Zahl die man testen
will, tabellarisch aufgeschrieben. Danach beginnt man mit
der kleinsten Primzahl (p=2) und färbt die Felder aller
Vielfachen dieser Zahl an. Dann wiederholt man diesen
Schritt für alle Vielfachen der nächsten Zahl, die noch nicht
angefärbt ist. Die nicht angefärbten Zahlen die am Schluss
übrig bleiben sind Primzahlen.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11 12 13 14 15 16 17 18 19
20
21 22 23 24 25 26 27 28 29
30
31 32 33 34 35 36 37 38 39
40
41 42 43 44 45 46 47 48 49
50
51 52 53 54 55 56 57 58 59
60
61 62 63 64 65 66 67 68 69
70
71 72 73 74 75 76 77 78 79
80
81 82 83 84 85 86 87 88 89
90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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1
2
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6
253 254 255 256 257 258
505 506 507 508 509 510
757 758 759 760 761 762
7
8
9
10
11
12
259 260 261 262 263 264
511 512 513 514 515 516
763 764 765 766 767 768
13
14
15
16
17
18
265 266 267 268 269 270
517 518 519 520 521 522
769 770 771 772 773 774
19
20
21
22
23
24
271 272 273 274 275 276
523 524 525 526 527 528
775 776 777 778 779 780
25
26
27
28
29
30
277 278 279 280 281 282
529 530 531 532 533 534
781 782 783 784 785 786
31
32
33
34
35
36
283 284 285 286 287 288
535 536 537 538 539 540
787 788 789 790 791 792
37
38
39
40
41
42
289 290 291 292 293 294
541 542 543 544 545 546
793 794 795 796 797 798
43
44
45
46
47
48
295 296 297 298 299 300
547 548 549 550 551 552
799 800 801 802 803 804
49
50
51
52
53
54
301 302 303 304 305 306
553 554 555 556 557 558
805 806 807 808 809 810
55
56
57
58
59
60
307 308 309 310 311 312
559 560 561 562 563 564
811 812 813 814 815 816
61
62
63
64
65
66
313 314 315 316 317 318
565 566 567 568 569 570
817 818 819 820 821 822
67
68
69
70
71
72
319 320 321 322 323 324
571 572 573 574 575 576
823 824 825 826 827 828
73
74
75
76
77
78
325 326 327 328 329 330
577 578 579 580 581 582
829 830 831 832 833 834
79
80
81
82
83
84
331 332 333 334 335 336
583 584 585 586 587 588
835 836 837 838 839 840
85
86
87
88
89
90
337 338 339 340 341 342
589 590 591 592 593 594
841 842 843 844 845 846
91
92
93
94
95
96
343 344 345 346 347 348
595 596 597 598 599 600
847 848 849 850 851 852
97
98
99 100 101 102
349 350 351 352 353 354
601 602 603 604 605 606
853 854 855 856 857 858
103 104 105 106 107 108
355 356 357 358 359 360
607 608 609 610 611 612
859 860 861 862 863 864
109 110 111 112 113 114
361 362 363 364 365 366
613 614 615 616 617 618
865 866 867 868 869 870
115 116 117 118 119 120
367 368 369 370 371 372
619 620 621 622 623 624
871 872 873 874 875 876
121 122 123 124 125 126
373 374 375 376 377 378
625 626 627 628 629 630
877 878 879 880 881 882
127 128 129 130 131 132
379 380 381 382 383 384
631 632 633 634 635 636
883 884 885 886 887 888
133 134 135 136 137 138
385 386 387 388 389 390
637 638 639 640 641 642
889 890 891 892 893 894
139 140 141 142 143 144
391 392 393 394 395 396
643 644 645 646 647 648
895 896 897 898 899 900
145 146 147 148 149 150
397 398 399 400 401 402
649 650 651 652 653 654
901 902 903 904 905 906
151 152 153 154 155 156
403 404 405 406 407 408
655 656 657 658 659 660
907 908 909 910 911 912
157 158 159 160 161 162
409 410 411 412 413 414
661 662 663 664 665 666
913 914 915 916 917 918
163 164 165 166 167 168
415 416 417 418 419 420
667 668 669 670 671 672
919 920 921 922 923 924
169 170 171 172 173 174
421 422 423 424 425 426
673 674 675 676 677 678
925 926 927 928 929 930
175 176 177 178 179 180
427 428 429 430 431 432
679 680 681 682 683 684
931 932 933 934 935 936
181 182 183 184 185 186
433 434 435 436 437 438
685 686 687 688 689 690
937 938 939 940 941 942
187 188 189 190 191 192
439 440 441 442 443 444
691 692 693 694 695 696
943 944 945 946 947 948
193 194 195 196 197 198
445 446 447 448 449 450
697 698 699 700 701 702
949 950 951 952 953 954
199 200 201 202 203 204
451 452 453 454 455 456
703 704 705 706 707 708
955 956 957 958 959 960
205 206 207 208 209 210
457 458 459 460 461 462
709 710 711 712 713 714
961 962 963 964 965 966
211 212 213 214 215 216
463 464 465 466 467 468
715 716 717 718 719 720
967 968 969 970 971 972
217 218 219 220 221 222
469 470 471 472 473 474
721 722 723 724 725 726
973 974 975 976 977 978
223 224 225 226 227 228
475 476 477 478 479 480
727 728 729 730 731 732
979 980 981 982 983 984
229 230 231 232 233 234
481 482 483 484 485 486
733 734 735 736 737 738
985 986 987 988 989 990
235 236 237 238 239 240
487 488 489 490 491 492
739 740 741 742 743 744
991 992 993 994 995 996
241 242 243 244 245 246
493 494 495 496 497 498
745 746 747 748 749 750
997 998 999 1000
247 248 249 250 251 252
499 500 501 502 503 504
751 752 753 754 755 756
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Patrik Matter
4.3 Test mit dem kleinen Lehrsatz von Fermat
Der Staz von Fermat schien ebenfalls ein idealer Kandidat zu sein um mögliche Primzahlen
zu finden, allerdings, stimmt die Umkehrung des Satzes nicht. Es gibt zerlegbare N, die die
Bedingung: erfüllen, daher muss der Satz wie folgt ergänzt werden.
Falls eine Zahl folgende zwei Bedingungen erfüllt ist sie eine Primzahl
I. a N 1  1
II. a m  1 (mod N ) (für m=1,2,3, … N-2) oder ggT ( N , a)  1 (für m=1,2,3, … N-1)
Allerdings ist in der Praxis dieser Test zu aufwendig, um grosse Primzahlen zu finden.
Miller-Rabin-test
4.4 Agrawal-Kayal-Saxena-Primzahltest(2004)
2004 sorgte das Trio Agrawal, Kayal und Saxena, mit dem derzeit neusten Algorithmus um
zu testen, ob eine Zahl Prim ist für aufsehen. Das spezielle an diesem Test ist, dass er es
vermag von Rechnern in überschaubarer (polynomieller) Zeit gelöst zu werden und dass er
von einem bewiesenen Lemma zur Überprüfung von Primzahlen ausgeht.
Dieser Algorithmus fusst auf somit einem sehr ähnlichen Satz wie dem Lehrsatz von Fermat.
( x  a) N  x N  a (mod( x r  1, N ) für (1<a< ( 2  (r ) log N ). Hat jedoch den Vorteil, dass
man den Test nicht mehr von 1 bis N durchführen muss, sondern nur noch im Bereich von 1
bis ungefähr log (N) mal durchführen muss, also ist er in Polynomialzeit lösbar. Die bedeutet,
dass es sich um ein mit sequentiellen Computern praktisch lösbares Problem handelt, da die
Rechenzeit mit der Problemgrösse maximal mit einer Polynomfunktion wächst.


4.4.1 Beweis des Lemmas (Analog zum kleinen Lehrsatz von Fermat):
( x  a) p  x p  a (mod p) (für p = Primzahl)
p 1
 ( p  1)!  p k k
 x a  a p  x p  0  a p  x p  a (da a p  a (mod p) )
( x  a) p  x p  p 
k 1  k!( p  k!) 
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Patrik Matter
Der vollständige Beweis würde den Rahmen dieser Arbeit bei weitem übersteigen und wurde
2004 von M.Agrawal erbracht.
5 Besondere Arten von Primzahlen
Primzahlzwillinge
Pseudoprimzahlen
Etc.
6 Kryptografie: Praktische Anwendung der
Primzahlen
Obwohl Primzahlen schon bei den Alten Griechen wohlbekannt und beliebt waren, ging es bis
ins Jahr 1977 bis Primzahlen auch einen nutzen jenseits der Theorie fanden. Da es mit
heutigen Mitteln sehr lange dauert eine grosse Zahl in ihre Primfaktoren zu zerlegen, ist das
erzeugen einer grossen Zahl durch das multiplizieren zweier Primfaktoren sehr einfach. Auf
diesem Prinzip funktioniert das RSA –Kryptosystem (Rivest, Shamir und Adleman(1977)).
Bei vielen herkömmlichen Kryptografiesystemen wurden Daten mit einem geheimen
Schlüssel verschlüsselt. Der Austausch dieses Schlüssel stellte ein hohes Risiko dar, denn
sobald eine Drittperson Kenntnisse des Schlüssels erhielt, waren die Daten nicht mehr sicher.
Um dies zu umgehen wird der Schlüsselaustausch im RSA-System offen vorgenommen
(puplic key). Entscheidend für die Entschlüsselung ist der zweite persönliche Schlüssel
(private key) der, jedoch nur dem Empfänger nicht aber dem Absender bekannt ist.
1. Generation der Schlüssel
n  pq wobei p und q möglichst grosse Primzahlen sind.
1  s   ( N )  (q  1)( p  1) für ggT ( s,  ( N ))  1
ts  1 (mod  ( N ))  ts  k (N ) =1
Wobei n, s die öffentlichen Schlüssel sind. Und p, q bzw. das daraus resultierende t der
Privateschlüssel.
Bsp:
n  pq
 143  1113
 ( N )   (143)  ( p  1)( q  1)  10  12  120
ggT ( s,  ( N ))  1
 ggT (23,120)  1
ts  k ( N )  1
 23t  120k  1  s=47
2. Verschlüsselung der Nachricht (Zahlenfolge) M mit öffentlichem Schlüssel
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Patrik Matter
M '  M s ( mod n)
 M=7  M '  7 23  2 (mod 143)
3. Entschlüsslung mit privatem Schlüssel
(M ' )t  M st  M (mod n)
 223  7 (mod 143)
In der Realität verschlüsselt man Texte natürlich nicht mit solch einfachen Zahlen, sondern es
wird empfohlen über 200 Stellen grosse Zahlen zu gebrauchen für diese ist es mit heutigen
Computern nicht möglich die Sicherheit zu knacken.
Da RSA im Vergleich zu anderen Verfahren (ohne öffentliche Schlüssel) um mindestens
einen Faktoren 1000 langsamer ist, wird es oft nur benutzt um einen Schlüssel sicher
auszutauschen.
7 Primzahlen in der Schule Sek1
8
Glossar
Polinominalzeit
9
Quellen und Links
H. Brocard (1915) un preuve simple
Intermédiare des Mathématiciens 22, p 253
Goldbach(1730)
Briefwechsel mit Euler im Juli
M Agrawal, N Kayal, N Saxena (2004) Primes in P
Indian Institute of Technology, Kanpur
http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality.pdf
(Rivest, Shamir und Adleman(1977)) RSA paper muss ich noch suchen
http://www.anderegg-web.ch/phil/eratosthenes.htm Erasthotenes
http://www.faust.fr.bw.schule.de/mhb/eratosib.htm Sien des E
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