Das gleichschenklige Dreieck - Maria-Theresia

Maria-Theresia-Gymnasium München
Grundwissen Mathematik
7. Klasse Geometrie
1. Spiegelungen und Symmetrie
Achsenspiegelung
Die Achsenspiegelung an der Spiegelachse a
bildet einen Punkt P auf seinen Bildpunkt P´ ab.
Hierbei gilt:
1)
 Ist P  a, so liegen P und P’ auf
verschiedenen Seiten von a.
 Ist P  a, so ist P = P’.
Punkte, die bei der Achsenspiegelung auf sich
selbst abgebildet werden, heißen Fixpunkte.
2) Die Gerade durch P und P´ ist senkrecht zu a
(falls P  a).
3) P und P´ haben von a denselben Abstand.
a
C
C´
A
A´
B=B´
Nur die Achsenpunkte sind Fixpunkte. Die
Spiegelachse und alle senkrecht zu ihr
verlaufenden Geraden sind Fixgeraden.
Achsenspiegelungen sind geraden-, kreis-,
längen- und winkeltreu. Der Umlaufsinn ändert
sich.
Punktspiegelung
Eine geometrische Abbildung heißt
Punktspiegelung am Zentrum Z, wenn gilt:
 Das Zentrum ist Fixpunkt der Abbildung.
 Die Verbindungstrecke zwischen einem Punkt
P und seinem Bildpunkt P´ wird von Z halbiert.
Z ist der einzige Fixpunkt der Punktspiegelung.
Alle Geraden durch Z sind Fixgeraden.
Punktspiegelungen sind geraden-, längen- und
winkeltreu. Der Umlaufsinn bleibt erhalten.
Jede Punktspiegelung kann durch zwei
Achsenspiegelungen an zueinander senkrechten
Geraden mit Schnittpunkt Z ersetzt werden.
C
B
Z
A
A´
B´
C´
Symmetrische Vierecke
Quadrat
 4 Symmetrieachsen
 punktsymmetrisch zum
Diagonalenschnittpunkt
Rechteck und Raute
 2 Symmetrieachsen
 punktsymmetrisch zum
Diagonalenschnittpunkt
Parallelogramm
 punktsymmetrisch zum
Diagonalenschnittpunkt
Drachenviereck und gleichschenkliges Trapez
 1Symmetrieachse
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Grundwissen Mathematik
7. Klasse Geometrie
2. Winkel
Zwei sich schneidende Geraden bilden 4 Winkel.
Nebeneinander liegende Winkel heißen
Nebenwinkel, sie ergeben zusammen stets 180°.
Gegenüberliegende Winkel heißen
Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
Die Winkelpaare 1 und 2, 1 und 2, 1 und 2
sowie 1 und 2 heißen Stufenwinkel.
1 und 2, 1 und 2, 1 und 2 sowie 1 und 2
heißen Wechselwinkel.
1 und 2 sowie 1 und 2 heißen Nachbarwinkel.


1
g
2
h
Stufen- und Wechselwinkel sind genau dann
gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel
sind. Nachbarwinkel ergänzen sich genau dann zu
180°, wenn g und h parallel sind.
In jedem Dreieck beträgt die Summe der
Innenwinkel 180°, in jedem Viereck 360°.
In jedem n-Eck beträgt die Summe der
Innenwinkel (n – 2) · 180°.
α + β = 180°


2
1
2
1
1
2
z.B. regelmäßiges Fünfeck
Summe der Innenwinkel: 540°
108°
3. Kongruenz
Kongruenzabbildung
Achsenspiegelungen und Verkettungen von
Achsenspiegelungen nennt man
Kongruenzabbildungen.
Kongruenzabbildungen sind geraden-, kreis-,
längen- und winkeltreu.
Zwei Figuren F und G, die durch eine
Kongruenzabbildung aufeinander abgebildet
werden können, heißen kongruent
(deckungsgleich). In Zeichen: F  G.
C
ΔABC  ΔPQR
P
R
B
Kongruenzsätze für Dreiecke:
SSS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
drei Seiten übereinstimmen.
SWS: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
zwei Seiten und dem
eingeschlossenen Winkel
übereinstimmen.
WSW bzw. SWW: Dreiecke sind kongruent,
wenn sie in einer Seite und zwei
gleich liegenden Winkeln
übereinstimmen.
SsW: Dreiecke sind kongruent, wenn sie in
zwei Seiten und dem Gegenwinkel
der größeren Seite übereinstimmen.
A
Q
4. Dreiecke
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten
(Schenkeln) heißt gleichschenklig. Die dritte
Seite heißt Basis.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Dreieck ist gleichschenklig.
 Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
 Das Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel
(Basiswinkel).
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a
a
c
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Das gleichseitige Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt
gleichseitig. Seine Winkel betragen jeweils 600.
Alle drei Mittelsenkrechten sind
Symmetrieachsen.
7. Klasse Geometrie
a
a
a
Das rechtwinklige Dreiecke
Ein Dreieck mit einem 90°-Winkel heißt
rechtwinklig.
C
Kathete
Besondere Eigenschaften
 α und β sind komplementär, d.h.     90 .
A
 Die Katheten sind auch Höhen im Dreieck
ABC.
Kathete
α
β
Hypotenuse
B
Satz von Thales
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen
rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis über
[AB] liegt. (Thaleskreis)
Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln
 In jedem Dreieck liegt der größeren Seite der
größere Winkel gegenüber.
 In einem Dreieck sind zwei Seiten zusammen
immer länger als die dritte Seite.
Satz und Kehrsatz
Mathematische Sätze kann man in „Wenn …,
dann …“ Form bringen. Der Wenn-Teil heißt
Voraussetzung, der Dann-Teil heißt Behauptung.
Vertauschen wir die Voraussetzung mit der
Behauptung, dann erhalten wir den Kehrsatz.
Vorsicht: Die Umkehrung eines Satzes führt nicht
immer zu einer wahren Aussage (siehe Bsp.).
a  b   
a  b  c bzw. a  c  b bzw. b  c  a
Satz: Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann
sind die Seiten gleich lang.
Kehrsatz: Wenn die Seiten eines Vierecks
gleich lang sind, dann handelt es sich um ein
Quadrat.
5. Transversalen im Dreieck
Transversalen
Es gibt folgende vier Transversalen im Dreieck:
- Mittelsenkrechte ( ma , mb , mc )
-
Winkelhalbierende ( w , w , w )
-
Höhe ( ha , hb , hc )
-
Seitenhalbierende ( s a , sb , s c )
m a ist das Lot auf a durch M a .
w halbiert den Winkel  .
ha ist das Lot von A auf die Seite a.
s a ist die Strecke von A zu M a
Umkreis
Jedes Dreieck besitzt einen Umkreis. Sein
Mittelpunkt ist der gemeinsame Schnittpunkt M
der drei Mittelsenkrechten zu den
Dreiecksseiten.
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7. Klasse Geometrie
6. Terme und Termumformungen
Variable und Term
Ein Zeichen, das man als Platzhalter für Zahlen
verwendet, heißt Variable.
Ein Rechenausdruck, der aus Zahlen, Variablen,
Rechenzeichen und Klammern zusammengesetzt ist,
heißt Term.
Termarten:
Summe, Differenz, Produkt, Quotient, Potenz.
Beispiele für Terme:
T(x) = x + 3 , T(y) = (3  2y)3 , T(a;b) =
T(x;y) = (5+x)(2-3y); T(-2;5) = 3·(-13) = –39.
Der Term ist ein Produkt.
Darstellung von Termen
Terme können mit Hilfe einer Wertetabelle im
Koordinatensystem dargestellt werden.
Beispiel: T(x) = x2 – 1
x
T(x)
-2
3
-1,4
0,96
-1
0
0
-1
1
0
a3
b.
5
y
2
1,5
1,25
-2
-1
O
1
2 x
-2
Äquivalenz von Termen
Zwei Terme T1(x) und T2(x) heißen äquivalent, wenn
sie für jede Einsetzung von x jeweils den gleichen
Wert annehmen.
Es gilt dann: T1(x) = T2(x)
Die Terme 2x + 3x und 5x sind äquivalent.
Die Terme 1 + x und 1 + x2 sind nicht äquivalent.
Umformen von Termen
Terme wie 5xy und 7xy, die sich nur im Koeffizienten
unterscheiden, werden addiert (bzw. subtrahiert),
indem man die zugehörigen Koeffizienten addiert
(bzw. subtrahiert) und die gemeinsamen Variablen
beibehält.
3x – 3 + 8x – x + 5 = 10x + 2
x + 2,5x2 – 4,3x – 1,9x2 = – 3,3x + 0,6x2
Klammerregeln
Plusklammern:
Steht ein Pluszeichen vor einer Klammer, so kann die
Klammer weggelassen werden.
a + (b – c) = a + b – c
Minusklammern:
Steht ein Minuszeichen vor einer Klammer, so kann
man die Klammer samt Minuszeichen weglassen,
wenn man alle Vorzeichen in der Klammer ändert.
a – (b – c) = a – b + c
3xy + (4xy – 5x) = 3xy + 4xy – 5x = 7xy – 5x
Distributivgesetz
3x(2y + x – 3z) = 6xy + 3x2 – 9xz
(u + v)(3 – u) = 3(u + v) – u(u + v) = 3u +3v –u2 - uv
Eine Zahl wird mit einer Summe multipliziert, indem
man jeden Summanden mit der Zahl multipliziert und
die Produkte addiert.
a(b + c) = ab + ac
Ausklammern (Faktorisieren)
7,2 – ( –5 + 6 – 2) = 7,2 + 5 – 6 + 2 = 8,2
6xy + 3x2 – 9xz = 3x(2y + x – 3z)
3(u + v) – u(u + v) = (u + v) (3 – u)
Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren lassen
sich Summen in Produkte verwandeln (faktorisieren).
ab + ac = a(b + c)
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Multiplikation von Summen
Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden
Summanden der ersten Summe mit allen
Summanden der zweiten Summe multipliziert und
anschließend die Produkte addiert.
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
Die binomischen Formeln (gehören nicht
zum Inhalt des Lehrplans der 7.
Jahrgangsstufe, sind aber dort bereits gut
anzuwenden)
1.
2.
a  b  a  2ab  b
a  b2  a 2  2ab  b 2
a  b(a  b)  a 2  b 2
2
2
2
7. Klasse Geometrie
(2x + 4y)(3x – y) = 6x2 – 2xy + 12xy – 4y2
= 6x2 + 10xy – 4y2.
1,5x  y 2  2,25 x2  3xy  y2
1  a3 2  1  23a  a9
2
8v  3w(8v  3w)  64v 2  9w 2
2 + 4x + 2x2 = 2(1 + 2x + x2) = 2 (1 + x)2.
3.
Mit Hilfe der binomischen Formeln kann man
ebenfalls Summen faktorisieren.
7. Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen
5x -9 = 11
Steht zwischen zwei Termen ein Gleichheitszeichen, 3(7x – 3) = 2(4x – 4)
so spricht man von einer Gleichung.
In einer linearen Gleichung kommt nur eine Variable
vor und diese nur in der ersten Potenz.
Grundmenge und Lösungsmenge
Die Grundmenge G ist die Menge aller Zahlen, die für
x eingesetzt werden können.
Die Lösungsmenge L ist die Menge aller Zahlen aus
G, für die eine wahre Aussage entsteht.
Lösungsverfahren
Um eine lineare Gleichung zu lösen, darf
 auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl
oder derselbe Term addiert (bzw. subtrahiert)
werden,
 auf beiden Seiten der Gleichung mit derselben
von Null verschiedenen Zahl multipliziert (bzw.
dividiert) werden.
Diese Umformungen heißen
Äquivalenzumformungen.
Eine lineare Gleichung mit der Grundmenge ℚ ist
entweder eindeutig lösbar oder nicht lösbar oder
allgemeingültig.
– 2x + 48 = 12 – 11x | +11x
9x + 48 = 12
| – 48
9x = – 36
| :9
x=–4
(eindeutig lösbar)
L = {– 4}
3·(2 – x) + 5x = 2x + 6
6 – 3x + 5x = 2x + 6
6 + 2x = 2x + 6
6=6
(Klammern auflösen)
(Zusammenfassen)
| -2x
(allgemein gültig)
L=ℚ
9 – 12x = –3 – 12x
0 = –12
L={}
| +12x – 9
(nicht lösbar)
8. Daten und Diagramme
Darstellungsarten
Die in einer (statistischen) Erhebung gewonnenen
Daten können mit Hilfe folgender Diagrammarten
dargestellt werden:
 Kreisdiagramm
Vorsicht: Es ist möglich die Daten in einem
Diagramm so darzustellen, dass sie die Tatsachen
verzerren.
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Grundwissen Mathematik
7. Klasse Geometrie
 Säulen- oder Balkendiagramm
 Punkt- oder Liniendiagramm
 Piktogramm
Arithmetischer Mittelwert
Schulaufgabennoten in Mathematik: 1, 3, 3, 2
x  x2  ...  xn
Arithmetischer Mittelwert der Noten:
Die Zahl x  1
heißt arithmetisches
1 3  3  2
n
x
 2,25
Mittel der Zahlen x1 ; x2 ; ...; xn .
4
Wir dividieren die Summe der Zahlen oder Größen
durch ihre Anzahl.
Prozentrechnung
Prozent ist eine Bezeichnung für Hundertstel.
60% =
60
= 0,6
100
In der Prozentrechnung gibt es die Bezeichnungen
Grundwert, Prozentwert und Prozentsatz.
Beispiel:
20% von 300€ sind 60€.
20% ist hier der Prozentsatz.
300€ ist hier der Grundwert.
60€ ist hier der Prozentwert.
Grundgleichung der Prozentrechnung
Prozentsatz · Grundwert = Prozentwert
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