II_10

10. Spezielle Relativitätstheorie
Die Masse eines Teilchens ist abhängig von seiner Geschwindigkeit.
m0
m 
1
v2
c2
m    m0
 
1
,
2
1 v 2
c

1
1  2

v
c
c: Lichtgeschwindigkeit im Vakuum
mo: Ruhemasse
Experimenteller Nachweis der relativistischen Massenabhängigkeit
Zur Geschichte:
Walter Kaufmann (1871-1947) führte Messungen der Geschwindigkeit und der Spezifischen Ladung an
Betastrahlen von Radium, sehr schnellen Elektronen, durch.
1901 entdeckte er die gesuchte Abhängigkeit zwischen der Masse und der Geschwindigkeit eines Elektrons.
1906 gelang ihm schließlich der Nachweis, dass die Funktion m(v) die von Einstein abgeleitete Form hat.
1909 bestätigte Bucherer die Ergebnisse von Kaufmann.
Anordnung des Versuchs von Bucherer (schematisch): (siehe S.73/B3)
In der Mitte eines Plattenkondensators (Betrag
der elektrischen Feldstärke: E) befindet sich ein
radioaktives Präparat P das Elektronen
unterschiedlicher Geschwindigkeiten aussendet.
Der Kondensator ist ein homogenes Magnetfeld
der Flussdichte B eingebettet. Nur Elektronen
mit einer bestimmten Geschwindigkeit können
d
das Wienfilter (Geschwindigkeitsfilter)
verlassen und gelangen in des Magnetfeld
hinter dem Kondensator. Dort treffen sie nach
Durchlaufen eines Teils einer Kreisbahn im
Punkt C auf einen Registrierschirm.
Polt man bei unveränderten Beträgen E und B
das elektrische und magnetische Feld um, so gelangen sie in D auf den Schirm. Aus dem Abstand d der beiden
Auftreffpunkte und dem Abstand s des Schirms vom Plattenkondensator lässt sich der Kreisbahnradius r
bestimmen.
Die magnetische Ablenkung der Elektronen ermöglicht es, die spezifische Ladung e/m der Elektronen zu
bestimmen.
Fm= Fz => e/m= E/B²r
Die Elementarladung ist von der Geschwindigkeit unabhängig !
Zur Auswertung des Versuchs: (siehe S. 73/ B4)
Nach dem Höhensatz lässt sich r aus dem Abstand von C zu D = d berechnen.
r = s²/d
 e/m = Ed/B²s²
 m = eB²s²/Ed
Die Messwerte von Bucherer haben somit die Gleichung von Einstein (*) bestätigt.
Aufgabenbeispiel:
Elektronen einheitlicher Geschwindigkeit bilden einen Strahl, der in einem homogenen
Magnetfeld der Flussdichte 67 mT zu einem Kreis gekrümmt wird. Die Geschwindigkeit der
Elektronen ist so groß, dass ihre spezifische Ladung nur die Hälfte des spezifischen Ladung
langsamer Elektronen beträgt.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Elektronen?
b) Wie große ist der Radius des Kreises im Magnetfeld?
Lösung:
Zu a)
Aus e/m = 0,5 e/m0 folgt: m = 2 m0
Aus m =
m0 / (1-v²/c²)0,5 ergibt sich damit:
2(1-v²/c²)0,5 = 1
4c² - 4v² = c²
4v² = 3c²
v = (-) c/2 √3 = ( 3,0 · 108 ms-1 /2) · √3 = 2,6 ∙ 108 ms-1
Die Geschwindigkeit der Elektronen ist 2,6 ∙ 108 ms-1.
Zu b)
Aus evB = mv²/ r folgt:
r = mv/ eB = v/ (e/m · B)
r = 1,5 · 108 √3 ms-1 / 0,5∙ 1,7588 ∙1011Ckg-1 ∙ 67 ∙10-3 T = 4,4 ∙10-2 m = 4,4 cm
Der Radius des Kreises ist 4,4 cm.
Relativistische Energie
Überlegung 1: Beschleunigt man einem ruhenden Körper, so nimmt seine
Energie zu (E0+ Ek(in)).
Überlegung 2: Nach Einstein nimmt dadurch auch die Masse des Körpers
zu.
Aus 2 folgt: Die klassische Formel für Ek(in) ist nur eine Näherung, die
für sehr große Geschwindigkeiten falsch ist.
Aus 1 folgt: Vor der Beschleunigung:E = E0
Nach der Beschleunigung: E = E0 +ΔE = E0 + Ek
Daraus folgt: Ek = E – E0
= m ∙ c² – m0 ∙ c²
= (m – m0) c²
Mit m= γ ∙ m0
Ek = (γ – 1)m0 ∙ c² = (γ – 1)E0
Wenn man nun m(v) nach c² auflöst und in Ek = (m– m0)c² einsetzt erhält
man:
m(v) = m0 ∙ (√1–v²/c²)-1/2; m0² = m²– m² ∙ v²/c²; 1/c² = m² – m0²/ m²∙ v²
c² = (v² ∙ m²)/ (m² – m0²)
in Ek eingesetzt:
Ek = (m– m0) ∙(v² ∙ m²)/ (m² – m0²) =(v² ∙ m²)/ (m + m0)
= (v² ∙ m²)/ [m ∙ (1 +√1–v²/c² )]
= mv²/ (1 +√1–v²/c²) → Die Energie nimmt unabhängig von der
relativistischen Massenzunahme und der Geschwindigkeitszunahme
noch relativistisch zu
= m0v²/(1 – v²/c² +√1–v²/c² )
→ Ek nimmt unabhängig von der relativistischen Massenzunahme und der
Geschwindigkeitszunahme selbst noch zu.(Bis zu 200%)
Für v < 0,1c; v²/c² → 0
→ Der Nenner wird 2 und es entsteht die klassische Formel:
Ek= ½ m0v²
Kontrolle:
Für v → c; Ek → E
Ek = mc²/(1 +√1–c²/c²) = mc² = E
Aufgabe;Physik12 (S.75/3)
3. geg.: a = 4cm; Eintrittswinkel(EW) =45o = ά;
Austrittswinkel(AW) = 90o= γ; β = 180o– ά– γ = 45 o
a) Es muß aus der Zeichenebene hinaus
gehen.(U-V-W Regel)
b) Mittelpunkt des Kreises = Schnittpunkt vom
Lot auf die Tangente im Eintrittspunkt und
imAustrittspunkt
.
ά = β = 45o; → gleichschenkliges Dreieck
r = a /cos 45o = 5,7
x = r – a =1,7
geg.: v1= 0,05c; v2= 0,8c;me =9,1096 ∙ 10-31kg
ges.: B1; B2
(m ∙ v²)/r = e ∙ v ∙ B; m1= me ; m2 = γ ∙ me; γ = (1–v²/c²)–1/2= 5/3
B1 = me ∙ v1 / e ∙ r = 9,1096 ∙ 10-31kg ∙ 0,05 ∙ 299800000 m/s
1,6022 ∙ 10-19C ∙ 0,057 m
= 1,5 mT
B2 = γ ∙ me ∙ v2 / e ∙ r = 5/3 ∙ 9,1096 ∙ 10-31kg ∙ 0,8 ∙ 299800000 m/s
1,6022 ∙ 10-19C ∙ 0,057 m
= 40 mT
d) B = m / e ∙ v / r → B ∙ e / m = v / r; v= konst.;r=konst.
→Bei n-facher e/m ;1/n –fache B
e) aus d) folgt:
n ∙ e/me = Qά /mά; n = (Qά /mά) / (e/me)
n = (4,82∙ 107C /kg ) / (1,7588 ∙ 1011C/kg)
n = 2,7 ∙ 10-04
c)
Abituraufgaben zum Themenkreis (S.82/83)
„Statische elektrische und magnetische Felder“
1)
a)geg.: U= 80kV= 80000V; vo= 2,0 ∙ 107 m/s; d= 12cm= 0,12m;
ges.:x
½ m ∙v² = E ∙e ∙ x
x= (m ∙v²) / 2∙e ∙E = 9,1096 ∙ 10-31kg ∙ (2,0 ∙ 107 m/s)²
2 ∙ 1,6022 ∙ 10-19C ∙ 6.7 ∙105 m/s²
= 0,17cm
b) ½ m ∙v² = ½ m ∙vo² + (U/d) ∙e ∙ d/2
v = (vo² + U ∙e / m)1/2 = [(2,0 ∙ 107 m/s)²+ (80000V ∙ 1,7588∙1011C/kg)]1/2
= 1,2 ∙ 1008 m/s
v > 0,1c → Die relativistische Massenzunahme muss berücksichtigt werden.
Die Geschwindigkeit wird geringer werden.
c) x(t) = vx ∙ t = (2 ∙Q ∙Uo /m)1/2 ∙ t
t = x(t) / (2 ∙Q ∙Uo /m)1/2
y(t) = ½ ∙ay ∙ t² = – ½ ∙Q/m ∙U/d ∙ t²
y(x) =(– ½ ∙Q/m ∙U/d ∙ x²) /(2
∙Q ∙Uo /m) = – (Q ∙U ∙m ∙
x²)/(4 ∙ m ∙ d∙ Q∙ Uo)
= – 1/4 ∙ U/ Uo∙ x²/d
y(l) = – 1/4 ∙ U/ Uo∙ l²/d
→Der Versuch eignet sich
nicht zur Bestimmung von
Q/m da y(l) unabhängig
von Q/m
d) geg.: B= 0,020 T; v = 3,8 ∙ 104 m/s ;r= 28,0cm =0,28m; u =1,66 ∙10-27kg
ges.: m
Das B-Feld muss entweder aus der Zeichenebene hinaus oder hinein gehen.(U-V-M-Regel).
Begründung siehe Buch S.62.
Fm =Fr
e ∙ v ∙ B = m ∙v² /r
m = e ∙ B ∙ r / v = 1,6022 ∙10-19 C ∙ 0,020 T ∙ 0,28m / 3,8 ∙ 104 m/s
= 2,361 ∙10-26kg
m/u = 14,2 → Es wurden N+- Ionen beschleunigt.
3.
a)geg.: v = 1,00 ∙ 107 m/s
ges.: U
Ekin=Ep
½ ∙m ∙v²= e ∙U
U = (½ ∙m ∙v²)/ e = 9,1096 ∙ 10-31kg ∙ (1,00 ∙ 107 m/s)²
2 ∙ 1,6022 ∙ 10-19C
= 284 V
b) geg.: B= 0,50mT= 0,0005T
α) Die Lorentzkraft wirkt immer senkrecht zu v → nur Richtungsänderung von v
β) ges.: r; ω
Fm =Fr
e ∙ v ∙ B = m ∙v² /r
r = m ∙v / (e ∙ B) = 9,1096 ∙ 10-31kg ∙ 1,00 ∙ 107 m/s
1,6022 ∙ 10-19C ∙ 0,0005T
= 0,1137m = 11,4cm
ω = v/r = 1,00 ∙ 107 m/s / 0,1137m
= 8,80 ∙ 107 1/s
ω ∙ Δt ∙360o / 2π = 60,47 o(Kreiswinkel)
Wenn man die Strecke zwichen dem Austrittspunkt und dem Mittelpunkt verlängert ergibt
sich ein Dreieck.
→ 180o= 90o + α + (90o-60,47 o); α =60,47 o
c) α)Die Kondensatorenplatten müssen oben positiv und unten negativ geladen sein
Fm =Fe
E = v ∙ B = 1,00 ∙ 107 m/s ∙ 0,0005T = 5000 N / C
β)Aus e ∙ v ∙ B =e ∙ E folgt: Die Lorentzkraft ist abhängig von v
→ Elektronen mit größerer/kleinerer Geschwindigkeit würden nach unten/oben abgelenkt