4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines

4. Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung
eines Kondensators; Kapazität eines Kondensators
Zusammenhang von elektrischer Feldstärke und Spannung eines Plattenkondensators
Überlegung:
Eine positive Probeladung Q wird aufgrund des elektrischen Feldes
zur negativen Platte gezogen.
Für die Zeitspanne t kann der Plattenkondensator als Widerstand
angesehen werden, da die Ladung genau die Zeit t benötigt um vom
+ zum – Pol zu gelangen. Die elektrische Arbeit W = U · I · t = U · Q
wird daher verrichtet. In diesem Fall (homogenes Feld) ist diese
gleich der Arbeit der Feldkraft.
U ·Q=Q·E·d
E=
U
d
Kapazität eines Kondensators
Versuch:
Eine Kondensator wird mit
Gleichspannung aufgeladen. Sie
besitzt nun die Ladung Q und wird
nun von der Spannungsquelle
getrennt, um zu verhindern, dass
weitere Elektronen nachfließen.
Die Kondensatorplatte wird nun
über
ein
Ladungsmessgerät
entladen.
Bei verschiedenen Spannungen ergaben sich folgende Wertepaare:
U in V
Q in nA s
25
16
50
32
75
48
100
65
Daraus ergibt sich: Q ist proportional zu U, also Q / U = konst.
Definition der Kapazität eines Kondensators:
C=
Q
Einheit: [C] = 1 As V-1 = 1 F
U
Zu Ehren von Michael Faraday wird diese Einheit auch 1 Farad (1 F) genannt.
Die Einheit 1 F ist sehr groß. Bei technischen Kondensatoren verwendet man daher meist kleinere Einheiten:
1 Mikrofarad = 1ìF = 1 · 10-6 F
1 Nanofarad = 1nF = 1 · 10 -9 F
1 Pikofarad = 1pF = 1 · 10-12 F
Kapazität eines Plattenkondensators in Abhängigkeit der geometrischen Größe
(Geom. Größen: Länge; Breite; Höhe)
Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenfläche:
Durch Überlegung kommt man zur anschließend aufgeführten Schlussfolgerung:
Die Kapazität eines Plattenkondensators (C) ist bei konstanter Spannung und konstantem Plattenabstand direkt
proportional zur Plattenfläche (A), da sich bei doppelter Fläche die doppelte Ladung ergibt.
C∼A
Diese Tatsache kann experimentell nachgewiesen werden.
Zusammenhang zwischen Kapazität und Plattenabstand (d):
E=
Überlegung:
U
Q
Q
⇒U = E ⋅d ; C = ⇒ C =
d
U
E ⋅d
Versuch:
An einen Plattenkondensator der Fläche A = 8,1dm² wird bei verschiedenen Abständen (d) der
Kondensatorplatten eine konstante Spannung U = 50V angelegt. Dabei wird jeweils die sich auf dem
Kondensator befindende Ladung Q gemessen:
d
 mm-1
2,0
3,0
4,0
Q
 10 As
1,5
3,0
1,0
2,0
0,7
1,4
6,0
6,0
5,6
-8
C=Q/U
 10 F
-10
C*d
 10 -10mmF
⇒
C ∼ 1/d
Kapazität eines Plattenkondensators:
Insgesamt kann nun gefolgert werden:
Aus
Und
Folgt
C∼A
bei konstantem d
C∼1/d bei konstantem A
C∼A/d
⇒C = ε
0
A
d
(Kapazität eines Plattenkondensators im Vakuum oder in der Luft)
ε0 entspricht der beim Coulomb – Gesetz vorkommenden elektrischen
Feldkonstante und hängt nicht vom verwendetem Kondensator ab:
ε 0 = 8,8542*10-12 CV-1m-1
Die Kapazität eines Kondensators kann durch die Dielektrizitätskonstante εr erweitert werden, wobei εr vom
verwendetem Material abhängt.
C = ε0 ⋅ εr ⋅
A
d
Beispiele für relative Dielektrizitätszahlen:
Aufgaben
S. 27:
1. geg.: U= 2,5 kV
a) geg.: QP = 6,4 ·10-8 C; ges.: Wel
Wel= U · Q P = 2500V · 6,4 ·10 -8 C = 1,6 ·10-4J
b) geg.: d= 3,5mm = 0,0035m ; ges.: E
E= U / d = 2500V / 0,0035m = 7,1·105 V / m
2. geg.: Q > 0 ; Bezugsniveau von Ep : negative Platte
ges.: Beweis: Ek an negativer Platte = Q · U
Ek = Ep + = Q · E · s ; E = U / d ; s d
= Q · (U / d) · d = Q · U
3. geg.: Qe= 1,6 ·10-19 C; U= 2,0kV=2000V; d=4,0 cm
a) geg.: Q > 0; x= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ; s= d – x; m= 1,67 ·10-27kg;
ges.: Ep
Ep = Q · s · U / d = 1,6 ·10-19C · s · 2000V / 4cm
für s = 3,0cm Ep = 2,4 ·10-16 J
für s = 4cm Ep = 3,2 ·10-16 J
für s = 1,5cm Ep = 1,2 ·10-16 J
für s = 0cm Ep = 0 J
zu b) v = (2·Ep x/m)1/2 =(2· 1,2 ·10-16 J / 1,67 ·10-27kg)1/2 = 3,8 · 105 m/s
b) geg.: x= 1,5cm
ges.: v
Ep x= Ek = ½ · m · v2
v = (2·Ep x / m)½
Ep x = Q · E · x = konst; m= konst
v unabhängig vom Ausgangspunkt
c) geg.: Q < 0; s= 1,0cm(0 cm; 2,5 cm; 4 cm) ; x= 1,5cm; 9,1 ·10-31kg
ges.: Ep ; v
Ep = Q · s · U / d = 1,6 ·10-19C · s · 2000V / 4cm
für s = 1,0cm Ep = 0,8 ·10-16 J
für s = 0cm Ep = 0 J
für s = 2,5cm Ep = 2,0 ·10-16 J
für s = 4cm Ep = 3,2 ·10-16 J
zu b) v = (2·Ep x/m)1/2 = (2· 1,2 ·10-16 J / 9,1 ·10-31kg)1/2 = 1,6 · 107 m / s
5. Ein Elektron(m=9,1*10-31kg) hat in der Mitte eines Plattenkondensators (d=6,0cm;
U=60V) die Geschwindigkeit v0 = 2.0*106 ms-1; es bewegt sich in Richtung der
elektrischen Feldlinien.
a) Welche elektrische Feldkraft wirkt auf das Elektron? Berechnen sie ihren Betrag und
geben sie die Richtung an.
b) Weshalb wird das Elektron abgebremst? In welcher Entfernung von der Mitte des
Kondensators kehrt es um?
c) Mit welcher Geschwindigkeit erreicht das Elektron dann die positive Platte?
Lösung:
Geg: U = 60V; d = 6,0cm; Q = 1,6021*10-19C
Ges: Feldkraft F
Lös: F = Q*E = Q*U/d = 1,6021*10-19C*60V/0,06m = 1,6*10-16N
Das Elektron bewegt sich in Richtung Minuspol.
b)
Geg: F = 1,6*10-16 N; m = 9,1*10-31kg; v0 = 2.0*106 ms-1;
Ges: x
Lös: x = v2 /2*a = v2 /(2*F/m) = (2.0*106 ms-1)2 /(2*1,6*10-16 N/
9,1*10-31 kg) = 1,1cm
Das Elektron wird abgebremst, weil sich gleichnamige Ladungen abstoßen.
a)
c)
Geg: F = 1,6*10-16 N; m = 9,1*10-31kg; xges = 1,1cm + 3cm = 4.1cm
Ges: v
Lös: v = (2*F/m*xges)1/2 = (2*1,6*10-16 N/9,1*10-31kg*0,041m) 1/2 =
3,8*106 ms-1