Aufgabenübersicht - Bildungsserver Sachsen

Mathematikaufgaben mit regionalem Zuschnitt mit Hilfe topographischer Karten von
Sachsen-Anhalt (Top50) – Beispiele für die S 1
Bernd Budnik, IGS Halle
Aufgabenübersicht
Aufgabe 1
Satz des Pythagoras
Aufgabe 2
Kosinussatz
Aufgabe 3
Flächenberechnungen
Aufgabe 4
Innenwinkel von Dreiecken
Aufgabe 5
Innenkreis von Dreiecken
Aufgabe 6
Trapezberechnung
Hinweis zur verwendeten Software:
Alle Aufgabenlösungen wurden mit MATHCAD 11
(Ausgabe für Lehrer und Schüler)
mathsoft & PAETEC erstellt. Mathcad-Dateien (*.mcd) können
mit dem kostenlosen Viewer Mathcad EXPLORER 8 betrachtet werden.
Das Elektronische Tafelwerk enthält die Vollversion 8 von Mathcad.
Alle verwendeten Daten entstammen dem Programm
TOP50 Version 4.0 - Amtliche Topographische Karten
Sachsen-Anhalt.
Aufgabe 1:
Die Höhe der Stadt Halle (Mittelpunkt) wird auf einer Landkarte mit 86 m, die von Dessau
mit 61 m angegeben. Die Entfernung laut Messung auf der Karte beträgt rund 43 km.
Um wie viel Meter verlängert sich der zu fahrende Weg mindestens, wenn der Höhenunterschied
mit berücksichtigt wird? Führe die Berechnung auch für andere Orte und Entfernungen durch.
Schätze zuvor, um wie viel Meter sich der Weg verlängert.
gegeben:
hH  86m
hD  61m
Entf  43km
gesucht: Längenunterschied in m; geschätzt: 100 m
Lösung:
hDiff  hH  hD
hH  hD  25m
c sei die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreieckes mit den Seiten a (Höhenunterschied) und b
(Entfernung der Orte).
1
a  Entf
b  hDiff
Satz des Pythagoras: Aus c² = a² + b² folgt
c 
2
2
a b
c  43000.00727 m
Längenunterschied  c  Entf
Längenunterschied  0.007 m
Kommentar:
Bei großen Entfernungen und kleinen Höhenunterschieden ist das Ergebnis vernachlässigbar
klein. Nach der Aufstellung des Lösungsalgorithmus ist die Lösung für jedes rechtwinklige
Dreieck bei gegebenen Katheten einsetzbar. Der Schüler kann nun mit den Zahlenwerten für
hH und hD sowie Entf experimentieren. Wie groß muss der Höhenunterschied der beiden
Orte bei einer Entfernung von 50 km mindestens sein, damit der Längenunterschied 10 m
beträgt? (Antwort: 1000 m). Der Schüler erfährt, dass Variablennamen nicht nur aus einem
Buchstaben bestehen müssen und der gefundene Lösungsweg wirklich für eine ganze
Aufgabenklasse geeignet ist. Des Weiteren wird er auf die unterschiedliche Verwendung des
Gleichheitszeichens aufmerksam gemacht.
Aufgabe 2
Von der Mitte des Lutherplatzes in Halle ausgehend verlaufen die Turmstraße und die
Liebenauer Str. in Richtung Zentrum. Sie werden gekreuzt von der Pfännerhöhe. Damit
umschließen die drei Straßen ungefähr eine dreieckige Fläche.
Finde heraus, in welchem Winkel die Liebenauer und die Pfännerhöhe vom Betrachter aus
abgehen, wenn die Längen der entsprechenden Straßenabschnitte bekannt sind: Pfännerhöhe
(680 m), Liebenauer Str. (660 m), Turmstraße (690 m).
Schätze die Winkelgröße. Beweise vorher, dass es kein rechter Winkel sein kann.
Vermutung: da die Längen der Dreiecksseiten wenig voneinander abweichen, ist das Dreieck
annähernd gleichseitig. In einem gleichseitigen Dreieck sind die Innenwinkel gleich (60°). Also wird
der gesuchte Winkel nicht stark von 60° abweichen.
Überprüfen, ob das gegebene Dreieck rechtwinklig ist:
Genau dann wenn das Dreieck rechtwinklig ist gilt der Satz des Pythagoras.
Die längste Seite sei c.
c  690 m
Damit ergibt sich für c²:
a  660 m
2
und
2
x  a  b
2
2
c  476100 m
b  680 m ergeben als Summe ihrer Quadrate
2
x  898000 m
2
Wenn die Summe von a² und b² ungleich c² ist kann das Dreieck nicht rechtwinklig sein.
Es gilt auch die Umkehrung des Satzes.
Berechnen des gesuchten Winkels:
Mit Hilfe des Kosinussatzes lässt sich für beliebige Dreiecke bei gegebenen Seitenlängen jeweils
der eingeschlossene Innenwinkel berechnen.
Wenn c die längste Dreiecksseite ist so sei  der gegenüberliegende Innenwinkel.
Dann gilt nach dem Kosinussatz: c² = a² + b² - 2abcos.
y  c
2
2
2
a  b  2 a  b  cos (  ) auflösen  cos (  ) 
y  0.47
4219
8976
acos ( y)  62Grad

Antwort: Die Vermutung trifft zu, da der errechnete Innenwinkel (rund 62°) nicht stark vom Innenwinkel
gleichseitiger Dreiecke (60°) abweicht.
Kommentar:
Mit dem ersten Teil der Aufgabenlösung kann flexibel nach Dreiecksseiten gesucht werden,
die ein rechtwinkliges Dreieck ergeben (Satz des Pythagoras muss erfüllt sein).
Mit dem zweiten Teil wird die Gültigkeit auch für rechtwinklige Dreiecke gezeigt. Mit Hilfe
einer einzigen Gleichung kann jeder Innenwinkel in jedem beliebigen Dreieck bei gegebenen
Dreiecksseiten berechnet werden lassen.
Aufgabe 3
In die Rabeninsel in Halle lässt sich ein 15seitiges unregelmäßiges Polynom mit dem Umfang
von 2,85 km einbeschreiben. Beim Vorliegen einer topographischen Karte in digitaler Form
lässt sich auch die Fläche des Polynoms sofort ablesen. Sie betrage 0,4 km².
Gesucht ist eine gleichgroße kreisförmige oder quadratische oder dreieckige (gleichseitige)
Fläche, die den geringstmöglichen Umfang hat. Stelle eine Vermutung auf.
Vermutung: der Kreis hat bei den gegebenen Bedingungen den geringsten Umfang.
gegeben 15-Eck mit
gesucht:
2
A  0.4 km
und
U  2.85 km
Umfang von Quadrat, Kreis und gleichseitigem Dreieck mit dem
vorgegebenen Flächeninhalt.
Lösung:
Quadrat: Die Flächenformel A = a² nach a umstellen und in die Umfangsformel U = 4a einsetzen.
Kreis: Die Flächenformel A = /4 d² nach d umstellen und in die Umfangsformel U = d einsetzen.
3
2
Gleichseitiges Dreieck: Die Flächeninhaltsformel A =
 aDr nach aDr umstellen und in die
4
Umfangsformel U = 3aDr einsetzen.
3
Bestimmung der Seitenlänge des Quadrates


2

x Qu  A aQu auflösen  aQu 





 10  km 
5


1

1
2
 10  km 
5

1
1
2
Umfang des Quadrates:
 632.456 
m
 632.456 
x Qu  
 2.53  103 

m
3
 2.53  10 
UQu 

UQu  4  xQu
Kreisdurchmesser
xKr  A

4
 .71364964646110844582 km 

 .71364964646110844582 km 
2
 dKr auflösen  dKr  
Kreisumfang:
 713.65 
x Kr  
m
 713.65 
 2.242  103 

m
UKr 

3 
 2.242  10 
UKr    xKr
Seite eines gleichseitigen Dreiecks
x Dr  A


3
2

a
auflösen  aDr 

4 Dr




 30  3  km 
15


1 1

2
2 4
 30  3  km 
15

2
1
1
2
4
Dreiecksumfang:
 961.125 
m
 961.125 
x Dr  
UDr  3 xDr
 2.883  103 

m
3
 2.883  10 
UDr 

Antwort:
Der Kreis hat bei vorgegebenem Flächeninhalt im Vergleich zu Quadrat und gleichseitigem
Dreieck den geringsten Umfang (2242 m).
4
Aufgabe 4
Hinweis: Geländeschnitt entstammt dem digitalen Kartenmaterial TOP50
Auf der Abbildung ist der Geländeschnitt zwischen dem halleschen Marktplatz (Höhe 86 m) und
dem höchsten Punkt in der Dölauer Heide zu sehen.
Unter welchem Winkel könnte ein Betrachter auf dem Marktplatz (theoretisch) mit einem Fernglas
jemand auf dem höchsten Punkt in der Dölauer Heide sehen?
Wie weit sind die beiden Punkte voneinander entfernt?
Stelle auf Grund des Geländeschnittes Vermutungen auf und diskutiere dann das Ergebnis.
gesucht: Die gerade Strecke c zwischen den Betrachtern in m und der Blickwinkel in Grad.
Lösung: die Entfernung der beiden Punkte (blaue Strecke) sei c, der Höhenunterschied b und der
Abstand der beiden Fußpunkte voneinander a. Dann ergibt sich ein rechtwinkliges Dreieck mit der
Hypotenuse c.
Es werden abgelesen aus
a  4.58 km
dem Geländeschnitt
Höhenunterschied
h1  127 m
h2  86 m
b  h1  h2
b  41m
c² = a² + b²
c 
2
2
a b
c  4580.18 m
5
Mit Hilfe des Sinus lässt sich der gesuchte Innenwinkel errechnen:
b
b
sin (  ) 
3
x 
x  8.952  10
c
c
asin ( x)  0.51Grad
Antwort: Der höchste Punkt der Dölauer Heide ist vom Marktplatz aus in einem
vernachlässigbar kleinen Winkel zu sehen, da die Kathete b sehr viel kürzer als die Kathete
a ist. Deshalb ist auch die Hypotenuse c nur um einige Zentimeter länger als die Kathete a.
Der Geländeschnitt lässt einen viel größeren Blickwinkel vermuten, da die Achsen des
Koordinatensystems unterschiedliche Längeneinheiten haben.
Der Längenunterschied beträgt:
Längendifferenz  c  a
Längendifferenz  18 cm
Aufgabe 5
Hinweis: Kartenausschnitt entstammt dem digitalen
Kartenmaterial TOP50
Auf einem unbebauten dreieckigen Stück Land auf der Rabeninsel soll ein größtmöglicher
kreisförmiger Spielplatz errichtet werden. Aus der digitalen Karte lassen sich folgende Längen für
die Grundstücksgrenzen entnehmen: 0,190 km; 0,084 km und 0,205 km.
Ermittle, wie groß der Spielplatz sein wird, welcher Teil der Grundstücksfläche durch ihn
eingenommen wird und wie man seinen Mittelpunkt finden kann.
gegeben: Länge der Dreiecksseiten
a  0.190 km
b  0.084 km
6
c  0.205 km
gesucht: Kreisfläche A in m² und Radius r in m.
Lösung:
Der größtmögliche Kreis im Sinne seiner Fläche kann nur der Inkreis sein.
Also sind die Fläche und der Radius des einbeschriebenen Kreises gesucht.
Mit Hilfe der HERONschen Formel lassen sich die Dreiecksfläche und der Radius des
Inkreises berechnen.
U  a  b  c
Dann gilt:
s 
und
ADr 
U
2
also
U  479m
s  ( s  a)  ( s  b)  ( s  c)
und
also
s  239.5m
2
ADr  7974.989 m
Für den Inkreisradius gilt dann
r 
( s  a)  ( s  b)  ( s  c)
also
r  33.298m
und damit
AKr  3483.4 m
s
Damit hat die Inkreisfläche folgende Größe
2
AKr    r
2
Das Verhältnis Grundstücksfläche zur Spielplatzfläche beträgt
ADr
 2.3
AKr
oder prozentual ausgedrückt
AKr
ADr
 43.7 %
Der Mittelpunkt des Kreises lässt sich finden, indem zwei der Innenwinkel des
Dreiecks halbiert werden und der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ermittelt wird.
Antwort: Der kreisrunde Spielplatz hat eine Fläche von rund 3500 m² und ist damit knapp halb so groß
wie die Gesamtfläche.
Kommentar:
Der Lösungsalgorithmus ermöglicht das Experimentieren mit den Eingangsgrößen. Zusatz:
Stelle eine Vermutung auf, für welche Dreiecksarten der Anteil der Inkreisfläche an der
Dreiecksfläche am größten ist.
Vermutung: In einem gleichseitigen Dreieck mit a = b = c nimmt die Fläche des Inkreises den
größten Teil der Dreiecksfläche ein (Flächenanteil von über 60 %).

7
Aufgabe 6
Hinweis: Kartenausschnitt mit eingefügter Graphik entstammt TOP50
In einem s-förmigen Bogen der Elbe bei Schönebeck liegt der Ort Ranis. Er ist besonders
hochwassergefährdet, da er von drei Seiten durch den Fluss begrenzt wird. Es ist grob die
gefährdete Fläche (s. Schraffur in der Abbildung) in Quadratkilometern zu berechnen, wenn
einige Größen des gekennzeichneten Trapezes bekannt sind: Längen der parallelen Seiten und
Abstand der Strecken voneinander.
Ermittle, wie viele Fußballfelder der Fläche entsprechen (angenommen, ein Fußballfeld sei 110
m lang und 73 m breit).
a  4 km
gegeben:
Trapez mit
gesucht:
Flächeninhalt Tr 
1
2
c  2.15 km
und
Höhe  1.2 km
 ( a  c)  Höhe
2
2
Quadratkilometer  1000000m
FlächeninhaltTr  3690000 m
FlächeninhaltTr  3.69Quadratkilometer
Fläche eines Fußballfeldes:
Breite  73 m
Länge  110 m
Fußballfeld  Breite  Länge
2
Fußballfeld  8030m
Vergleich 
FlächeninhaltTr
Fußballfeld
Vergleich  459.5
Antwort: Der Inhalt der gefährdeten Fläche beträgt 3,69 km² und ist damit rund 460 mal so groß wie ein
Fußballfeld.
8