3. Parallelschaltung von Wechselstromverbrauchern

1.
1.1
Anwendung der symbolischen
Rechnung auf den
Wechselstromkreis
UC  I 
1
j   C
 I  j  X C
U C  I  X C  e  j 90
Wirkwiderstand R
Effektivwert (nur Betrag):
UC  I  X C
Für den Strom ergibt sich
Ohmsche Belastung in Zeigerdarstellung
UR  I R
U R  e jt  I  e jt  R
UR  I  R
UR, I:
UR, I:
Effektivwert von Spannung und Strom am
Wirkwiderstand in komplexer Schreibweise (Betrag und
Phaselage)
Betrag von UR bzw. I
1.2
Induktiver Blindwiderstand XL
I  j    C U C
I  j  BC U C
UC, I:
1
 BC
XC
Effektivwert von Spannung und Strom am
Wirkwiderstand in komplexer Schreibweise (Betrag
und Phaselage)
Betrag von UC bzw. I
UC, I:
1.4 Widerstände und Leitwerte
Scheinwiderstand
Z
U
 Z  e  j
I
Scheinleitwert
Y
Rein induktive Belastung in Zeigerdarstellung
U L  I  j   L  I  j  X L
U L  I  X L e
j 90
Effektivwert (nur Betrag):
UL  I  X L
Für den Strom ergibt sich
I
UL, I:
UL, I:
1.3
UL
U
  j L
j   L
XL
Effektivwert von Spannung und Strom am
Wirkwiderstand in komplexer Schreibweise (Betrag
und Phaselage)
Betrag von UL bzw. I
I
 Y  e  j
U
1.4.1 Operator des Wirkwiderstandes und
Leitwertes
ZR 
UR
 Z R  e j  0
I
YR 
I
1
 YR  e j 0   G
UR
R
1.4.2 Operator des induktiven Widerstandes und
Leitwertes
ZL 
UL
 j    L  X L  e j 90
I
YL 
B
I
1

 L  BL  e  j 90
UL
jL
j
Kapazitiver Blindwiderstand XC
1.4.3 Operator des kapazitiven Widerstandes und
Leitwertes
Rein kapazitive Belastung in Zeigerdastellung
ZC 
UC
1

 X C  e  j90
I
j   C
YC 
I
 j  C  j  BC  BC  e j 90
UC
1.4.4 Operatoren- und Zeigerdiagramme
U  U R U L
2
I
2.2
Operatorendiagramm
der Widerstände
2
U UR UL


Z
R
XL
Wirkwiderstand und kapazitiver Widerstand
Zeigerdiagramm
der Spannungen
Reihenschaltung von Wirkwiderstand und Kapazität
Operatorendiagramm der Leitwerte
2.
2.1
Reihenschaltung von
Wechselstromverbrauchern
Zeigerdiagramm der Spannung für Reihenschaltung von R und
XC.
Wirkwiderstand und induktiver
Widerstand
Reihenschaltung von ohmschen und induktivem Widerstand
Operatorendiagramm der Widerstände für die Reihenschaltung
von R und XC.
Z  R
Zeigerdiagramm der
Spannungen für die
Reihenschaltung von R und XL
Operationsdiagramm der
Widerstände für die
Reihenschaltung von R und XL
1
 R  jX C  Z  e  j
jC
Z  R  jL  R  jX L  Z  e j
Z  R2  X C 
2
Z  R  jL  R  jX L  Z  e j
Z  R 2  L  
2
tan  
L
R

U
I
XL UL

R UR
tan  
U
I
X
U
1
 C  C
C  R R U R
U  U R UC
2
2
I
2.3
U U R UC


Z
R
XC
Wirkwiderstand, induktiver Widerstand
und kapazitiver Widerstand
Operationsdiagramm der Widerstände einer Reihenschaltung
von R, XL und XC (XL < XC)
Reihenschaltung der Widerstände R, XL und XC.
Operationsdiagramm der Widerstände einer Reihenschaltung
von R, XL und XC (XL = XC)
Z  R  j  X L  j  XC
Z  R2  X L  X C 
bei XL > XC
Z  R2  X C  X L 
bei XL < XC
2
a) XL > XC
b) XL < XC
2
tan  
c) XL = XC
Spannungsdiagramme einer Reihenschaltung von R, XL und XC.
U  UR U X
2
2
UX = UL – UC bei UL > UC
UX = UC – UL bei UC > UL
I
X:
resultierender
Blindwiderstand
U
Z
Resonanzfall:
XL = XC
UL = UC
Z=R
f0 
Operationsdiagramm der Widerstände einer Reihenschaltung
von R, XL und XC (XL > XC)
X UX

R UR
f0:
I0:
1
2  L  C
Resonanzfrequenz
Resonanzstrom
I0 
U
R
3.
3.1
Parallelschaltung von
Wechselstromverbrauchern
Wirkwiderstände
I  I1  I 2  I 3
U  I 1  jX L1  I 2  jX L2  I 3  jX L3
1 1 1
1
 

L L1 L2 L3
3.3
Kapazitive Widerstände
Parallelschaltung von Wirkwiderständen
Zeigerdiagramm der Ströme zur Schaltung
i = i1 + i2 + i3
î = î1 + î2 + î3
Parallelschaltung kapazitiver Widerstände
I  I1  I 2  I 3
I  I1  I 2  I 3
1
1
1
1



R R1 R2 R3
G  G1  G2  G3
3.2
Induktiver Widerstand
Zeigerdiagramm der Ströme zur Schaltung
1
1
1
1



X C X C1 X C2 X C3
BC  BC1  BC2  BC3
Parallelschaltung induktiver Widerstände
C  C1  C2  C3
I  I1  I 2  I 3
U  I1 
3.4
j
j
j
 I2 
 I3 
  C1
  C2
  C3
Wirkwiderstände und induktiver
Widerstand
Zeigerdiagramm der Ströme zur Schaltung
1
1
1
1



X L X L1 X L2 X L3
BL  BL1  BL2  BL3
Parallelschaltung von Wirk- und induktivem Widerstand
Y
1
1
j
 G  j  BC
R
XC
Y  G 2  BC
a) Zeigerdiagramm der Ströme
b) Zeigerdiagramm der Leitwerte
I  IR IL
U  I R  R  I L  jX L
I  IR IL
2
Z
1
1
j
 G  j  BL
R
XL
Y  G 2  BL
tan  
Z
3.6
BC
I
 R  C  C
G
IR
1
R

2
Y
1  R 2 C 
R XC
R2  X C
2
Wirkwiderstand, induktiver Widerstand
und kapazitiver Widerstand
2
BL
I
R

 L
G L I R
R XL
R  XL
2
3.5
Z
2
I  U Y
Y
tan  
2
Parallelschaltung von R, L und C
2
Wirkwiderstand und kapazitiver
Widerstand
Parallelschaltung von Wirkwiderständen und kapazitivem
Widerstand
a) Zeigerdiagramm der
Ströme
Diagramm der Ströme
(BL > BC)
Diagramm der Ströme
(BL < BC)
Diagramm der Ströme
(BL = BC)
Diagramm der Leitwerte
(BL > BC)
b) Zeigerdiagramm der
Leitwerte
I  IR  IC
U  I R  R  I C   jX C
I  IR  IC
2
I  U Y
2
4.
4.1
Diagramm der Leitwerte
(BL < BC)
Komponentenzerlegung der
Wechselgrößen
Komponentenzerlegung der Spannung
U
Diagramm der Leitwerte
(BL = BC)
I  IR  IL  IC
Schaltung zur Komponentenzerlegung der Spannung U
Komponentenzerlegung der
Spannung U
U  I R  R  I L  jX L  I C   jX C
U R  U  cos 
UR:
Wirkspannung
I  U Y
U L  U  sin 
UL:
Blindspannung
Bezugszeiger: Strom I
U
IR 
R
U
IL 
jL
4.2
Komponentenzerlegung des Stroms I
I C  U  jC
1
I U 
R
1 

j  C 

L 

Schaltung zur Komponentenzerlegung des Stromes I
I  U G 2  BC  BL 
I R  I  cos 
1 
1 
Y   j C    G  j  BC  BL 
R 
L 
I L  I  sin 
2
Y  G  BC  BL 
2
2
tan  
Z
1
Y
Komponentenzerlegung des
Stromes I
IR:
Wirkstrom
IL:
Blindstrom
Bezugszeiger: Spannung U
4.3
Komponentenzerlegung des
Scheinwiderstandes Z
1
L  BC  BL
1
G
R
C 
Zerlegung eines Scheinwiderstandes in Komponenten
R  Z  cos 
X  Z  sin 
R:
Wirkwiderstand
X: Blindwiderstand
X = XL bei induktiver Belastung
X = XC bei kapazitiver Belastung
4.4
Komponentenzerlegung des
Scheinleitwertes Y
Zerlegung eines Scheinleitwertes in Komponenten
G  Y  cos 
G: Wirkleitwert
B  Y  sin 
B:
Blindleitwert
B = BL bei induktiver Belastung
B = BC bei kapazitiver Belastung
5.
Leistung des Wechselstroms
Leistungsdreieck
S U I
P  U  I  cos 
P  S  cos 
Q  U  I  sin 
Q  S  sin 
S 2  P2  Q2
cos  
P
S
sin  
Q
S
S: Scheinleistung in VA
P: Wirkleistung in W
Q: Blindleistung in var
U: Spannung
I: Strom
cos : Leistungsfaktor
sin : Blindleistungsfaktor
: Phasenwinkel
Z: Gesamtscheinwiderstand (Betrag)
U2
S  I Z 
Z
[email protected]
Saludos y hasta luego de México
Heiko Sasse
2