Filterschaltungen Tiefpass - HIT

Analogelektronik
für gradzahlige Ordnung
9. Filterschaltungen
9.1 Regeln für den Entwurf von
Tiefpaßfiltern:
A j 
VOUT
1


V IN
1   1  j   1   2



1  

1
j   2   2
2
1

1    j    
3
2
3

......
(9.1)
darstellen, wenn die Ordnung gradzahlig ist.
Setzt man  1 zu null, so wird die Ordnung
ungradzahlig. Die Ausdrücke
1
1   i  j 
. b.z.w

1
1   i  j   i  2

.
(9.2)
stellen hierbei ein Tiefpaßfilter 1.Ordnung
b.z.w. 2.Ordnung dar. Jedes Tiefpaßfilter
beliebig hoher Ordnung kann somit bei
gradzahliger Ordnung als Reihenschaltung von
Tiefpaßfiltern 2. Ordnung dargestellt werden.
Im Falle der ungradzahligen Ordnung als
Reihenschaltung von einem Tiefpaßfilter
1.Ordnung und mehreren Tiefpaßfiltern 2.
Ordnung
Als Grenzfrequenz g (fg) wird die Frequenz
bezeichnet, bei dem die Amplitude um -3dB
abgefallen ist. (wird gelegentlich auch als
Eckfrequenz bezeichnet)
Als Durchlaßbereich wird der
Frequenzbereich bezeichnet, bei dem die
Amplitude des Eingangssignals nicht (oder nur
wenig) abgeschwächt wird. Beim Tiefpaßfilter
ist der Durchlaßbereich 0 <  < g.
EinTiefpaß n-ter Ordnung hat einen
Amplitudenabfall von n*20dB/Dekade für
sehr hohe Frequenzen (>>g):
A j 
  g

1
1

b1 b2 ...  2*n

1
1
1


a1 b1  b2  ...   2*n 1
für ungradzahlige Ordnung
Jedes Tiefpaßfilter läßt sich durch die
komplexe Übertragungsfunktion:
A j  
  g
(9.3g)
(9.3u)
Ein Tiefpaßfilter soll bis zur Grenzfrequenz
möglichst alle Frequenzanteile ohne Abschwächung übertragen, und oberhalb der Grenzfrequenz die Frequenzanteile möglichst gut
unterdrücken. Ein Tiefpaßfilter unterdrückt
umso besser die hohen Frequenzen oberhalb fg
(oder g) je höher die Ordnung des Filters ist.
Aus Gründen des schaltungstechnischen Aufwandes wird man die Ordnung nur so hoch
wie unbedingt erforderlich wählen. Für die
Wahl der Filterkoeffizienten ist das
gewünschte Ver-halten in der Nähe der
Grenzfrequenz aus-schlaggebend. Hierbei muß
man einen Kompro-miß eingehen:
Entweder verläuft der Frequenzgang sehr
flach (schlechtere Filterwirkung), dann kann
der Verlauf des Phasenganges sehr linear
gehalten werden und der Differentialquotient d
, der auch als Gruppenlaufzeit bezeichnet
d
wird, kann weitgehend konstant gehalten
werden. Man erhält damit eine geringe
Verzerrung (Überschwinger) des
Ausgangssignals.
Oder der Frequenzgang verläuft sehr steil
(sehr gute Filterwirkung), dann ist allerdings
der Verlauf des Phasenganges nicht linear und
d
der Differentialquotient ,
d
(Gruppenlaufzeit) kann nicht über dem
gesamten Durchlaßbereich konstant gehalten
werden. Man erhält in diesem Falle sehr
ausgeprägte Überschwinger des
Ausgangssignals.
Es haben sich verschiedenen Filtertypen
etabliert, die je nach gewünschten
Anforderungen realisiert werden können. Im
folgenden sollen die wichtigsten Filtertypen
mit einigen charakteristischen Daten
(Amplitudenverlauf, Gruppenlaufzeit und
Sprungantwort (Rechteckverhalten) vorgestellt
werden:
Hinweis: die Amlitudenverläufe und die
Sprungantworten haben gleiche
Skalierung die Gruppenlaufzeiten haben
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Analogelektronik
unterschiedliche Skalierungen in y-Richtung
Bessel-Filter: (konstante Gruppenlaufzeit)
diese besitzen ein gutes Rechteckverhalten
(geringe Überschwinger), die Gruppenlaufzeit
ist weitgehend konstant. Der Frequenzgang ist
gegen die Eckfrequenz leicht abgeflacht.
Man erkennt das hervorragende Sprungverhalten, bedingt durch die sehr konstante
Gruppenlaufzeit.
Typische Anwendungen finden sich bei der
Datenübertragung, bei der
die Signale möglichst
unverfälscht übertragen
werden müssen.
0
-20
(9-10) Amplitudenverlauf
(in dB) für Bessel-Filter ;
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg=1Hz
normiert
2
4
6
8
-40
100mHz
Vdb(a2)
300mHz
Vdb(c6)
Vdb(b4)
1.0Hz
3.0Hz
10Hz
Vdb(d8)
Frequency
600m
8
6
400m
4
(9-11) Gruppenlaufzeit
(in Sekunden)
für Bessel-Filter ;
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenzauf fg = 1Hz
normiert
2
200m
0
100mHz
-dVP(a2)/360
300mHz
-dvp(b4)/360
-dvp(c6)/360
1.0Hz
-dvp(d8)/360
Frequency
3.0Hz
10Hz
1.0V
2
4
0.5V
(9-12) Sprungantwort
(Eingang: Spannungssprung
von 0 auf 1 V)
für Bessel-Filter
Ordnung der Filter: 2,4,6,8 ;
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
6
8
0V
0s
V(a2)
V(b4)
1.0s
V(c6)
2.0s
3.0s
4.0s
5.0s
V(d8)
Time
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Analogelektronik
Einen guten Kompromiß bilden die
Butterworth-Filter: (maximal flacher
Amplitudenverlauf ) Diese weisen einen
extrem glatten Amplitudenverlauf im
Durchlaßbereich auf. Die Gruppenlaufzeit ist
nicht ganz so konstant wie beim Besselfilter..
Daher ist das Sprungverhalten bereits deutlich
schlechter als beim Besselfilter
Jedoch sind auch hier noch gute Ergebnisse
beim Überschwingen zu beobachten. Filter vor
A-D- Wandlern (sog. Anti-aliasing Filter)
können als Butterworth-Filter realisiert werden
0
2
(9-20) Amplitudenverlauf
(in dB)
für Butterworth-Filter
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
-20
4
6
8
-40
100mHz
Vdb(a2)
300mHz
Vdb(c6)
Vdb(b4)
1.0Hz
3.0Hz
10Hz
Vdb(d8)
Frequency
1.5
1.0
8
(9-21) Gruppenlaufzeit
(in Sekunden)
für Butterworth-Filter
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
6
0.5
4
2
0
100mHz
-dVP(a2)/360
300mHz
-dvp(b4)/360
-dvp(c6)/360
1.0Hz
-dvp(d8)/360
Frequency
3.0Hz
10Hz
1.0V
(9-22) Sprungantwort
(Eingang: Spannungssprung
von 0 auf 1 V)
für Butterworth-Filter
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
2
4
0.5V
6
8
0V
0s
1.0s
2.0s
3.0s
4.0s
5.0s
V(a2) Prof.
V(b4)
V(c6) FH
V(d8)
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Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 582616133
Time
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nicht geeignet. Typische Anwendungen sind
steile Filter die bereits Frequenzen dicht oberhalb der Eckfrequenz ausfiltern müssen. Die
steile Filtercharakteristik wird durch eine Welligkeit im Durchlaßbereich (0<<g) erkauft.
Je mehr Welligkeit zugelassen
wird, desto steiler ist der
Abfall oberhalb der
Eckfrequenz. Diese Welligkeit
wird in dB angegeben.
Das andere Extrem sind die TschebyscheffFilter: diese besitzen ein extrem gutes selektives (steile Filterkurven), die Gruppenlaufzeit
variiert jedoch im Bereich der Eckfrequenz
sehr stark, so daß große Überschwinger
auftreten. Für Datenübertragung sind diese
Filter i.a.
0
2
(9-30) Amplitudenverlauf
(in dB)
für Techebyscheffilter mit
2dB Welligkeit
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
-20
4
8
-40
100mHz
Vdb(a2)
300mHz
Vdb(c6)
Vdb(b4)
6
1.0Hz
3.0Hz
10Hz
Vdb(d8)
Frequency
4.0
(9-31) Gruppenlaufzeit
(in Sekunden)
für Techebyscheffilter mit
2dB Welligkeit
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
2.0
8
6
4
0
100mHz
-dVP(a2)/360
1.0V
2
300mHz
-dvp(b4)/360
-dvp(c6)/360
1.0Hz
-dvp(d8)/360
Frequency
3.0Hz
2
(9-32) Sprungantwort
(Eingang: Spannungssprung
von 0 auf 1 V)
für Techebyscheffilter mit
2dB Welligkeit
Ordnung der Filter: 2,4,6,8
Grenzfrequenz auf fg = 1Hz
normiert
4
6
0.5V
8
0V
0s
V(a2)
V(b4)
1.0s
V(c6)
10Hz
2.0s
3.0s
4.0s
5.0s
V(d8)
Time
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Analogelektronik
Die Koeffizienten der verschiedenen
Filtertypen sind für verschiedene Ordnungen
der Filter als Tabellen verfügbar (siehe
z.B.Tietze-Schenk
„Halbleiterschaltungstechnik“). Für einige (die
wichtigsten) Filtertypen wie Bessel, Butterworth, Tschebyscheff mit 0.5dB und 2 dB
Welligkeit sind diese Koeffizienten bis zur
Ordnung 8 im Anhang auf Seite 129
angegeben. Die dort angegebenen Tabellen
sind auf die Grenzfrequenz von g=1 normiert.
Die in der Tabelle angegebenen Filter haben
damit die Übertragungsfunktion:
Widerstand dar, so daß für diese Frequenzen
die Eingangs-spannung V1 über die beiden
Widerstände R1 und R2 direkt auf den
nichtinvertierenden Ein-gang des
Spannungsfolgers gegeben wird. Da in dem
OP kein Eingangsstrom fließt, ist der
Spannungsabfall über den beiden
Widerständen null und VOUT ist identisch mit
V1. Tiefe Frequenzen werden so ungehindert
übertragen.
IC1
R1
V
1
A j  OUT 

V IN
1  a1  j  b1   2



1
1  a  j  b    1  a  j  b   
2
2
2
3
3
2
......
(9.10)
mit den (normierten) Koeffizienten ai, bi und
der normierten Frequenz . Die Umrechnung
in die gewünschte Übertragungsfunktion und
die gewünschten Koeffizienten erfolgt sehr
einfach durch Koeffizientenvergleich. Mit der
Beziehung für die normierte Frequenz


g
(9.11)
lassen sich die zu realisierenden Koeffizienten
i,  i aus den normierten Koeffizienten ai, bi
durch Koeffizientenvergleich der beiden
Gleichungen (9.1) und (9.10) errechnen:
i 
ai
2   f g
und  i 
bi
2   f g 
2
(A)
R2
IR2
1

C1
IR1
V1
Va
C2
Die Situation für mittlere Frequenzen ist komplizierter: Man muß komplex rechnen um die
Übertragungsfunktion zu ermitteln: Da die
Eingangsspannung zwischen dem beiden Eingangsklemmen des OP’s null ist, gilt
VC2=VOUT. Die Spannung VC2 ergibt sich
(wegen des fehlenden Eingangsstroms des OP
nach der Spannungsteilerregel zu:
VC 2  VOUT 

ZC2
V A 
Z C 2  R2
1
*V A
1  jR2 C 2
(9.20)
Für die Strombilanz am Knoten (A) gilt:
I R1  I R2  I C1  0 
V1  V A VC2  V A


R1
R2
 VOUT  V A  jC1
9.2 Das Sallen-Key-Tiefpaßfilter
Das Sallen-Key-Kilter ist ein Filter 2.Ordnung,
das mit einem Operationsverstärker aufgebaut
ist, der als einfacher Spannungsfolger geschaltet ist. Es ist in Bild (9-200) angegeben. Die
Eingangsspannung ist V1, die Ausgangsspannung VOUT. Für sehr tiefe Frequenzen stellen
die Kondensatoren einen unendlichen
VOUT
(9-200) Sallen-Key-Tiefpaßfilter 2.Ordnung
(9.12)
Am Beispiel eines Sallen-Key-Tiefpasses wird
diese Vorgehensweise beispielhaft durchgerechnet.
VC2
(9.21)
In dieser Gleichung läßt sich VC2 durch VOUT
ersetzen und man erhält nach Umformen:
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 1

V1
 VOUT    jC1  
R1
 R2

(9.22)
1

1
- V A   
 jC1   0
 R1 R2

Mit der Gleichung (9.20) läßt sich VA eliminieren und man erhält:
 1

V1
 VOUT  
 jC1  
R1
 R2

 1

1
 VOUT  1  jR2 C2 

 jC1   0
 R1 R2

(9.22)
umgeformt erhält man:
1
1
 1

 R  jC1  R  R  jC1  
2
1
2
V1

 VOUT  

 1

R1
1
 jR2 C2 

 jC1  

 R1 R2
 

(9.23)
Diese Gleichung läßt sich nach VOUT auflösen
und man erhält die Übertragungsfunktion:
Widerstandswerte einfacher zu realisieren sind
als „krumme“ Kondensatorwerte) . Im Falle
eines Filters mit ungradzahliger Ordnung muß
noch ein Filter 1.Ordnung hinzugeschaltet
werden. Dies kann durch einen einfachen R-CTiefpaß erreicht werden.
Beispiel: Es soll ein Tiefpaßfilter 3.Ordnung
vom Typ Tschebyscheff mit einer Grenzfrequenz fg von 1kHz und einer Welligkeit von
0.5dB realisiert werden.
1.Schritt: aus der Tabelle für TschebyscheffFilter mit 0.5dB Welligkeit werden die
Koeffizienten abgelesen:
a1=1,8636 ; a2=0.6402 ; b2=1,1931
3.Ordnung bedeutet also: 1 Tiefpaßfilter
1.Ordnung und 1 Tiefpaßfilter 2.Ordnung
(Sallen-Key) hintereinandergeschaltet.
2.Schritt: die auf die Grenzfrequenz von
fg =1kHz bezogenen Koeffizienten sind dann
(nach 9.12) 1=1,8636/(2fg) = 2.966*10-4 s ;
2=0.6402/(2fg) =1.019*10-4 s ;
 2=1,1931/(2fg)2 = 3.022*10-8 s2
3.Schritt: Dimensionierung des ersten Tiefpasses: ein einfachen R-C-Tiefpaß. Dieser hat
die Übertragungsfunktion A 
A j  

VOUT

V1
1
1  j R1  R2 C 2   2 R1 R2 C1C 2
(9.24)
Die Übertragungsfunktion ist also der gewünschte Tiefpaß 2.Ordnung mit den
Koeffizienten
 i   R1  R2  C2 und  i  R1 R2 C1C2
(9.25)
Für eine gewünschte Filterfunktion, bei der
entsprechend (9.12) die Filterkoeffizienten
vorgegeben sind, lassen diese sich durch Wahl
der 4 Elemente R1,R2,C1,C2 realisieren. Man
hat also 2 Freiheitsgrade. Praktisch kann man
die Werte der Widerstände vorgeben und
bestimmt die Kondensatoren. Die Widerstände
müssen in den k-Bereich (3..100k) fallen,
um eine realisierbare Schaltung zu bekommen.
Hat man die Kondensatorwerte bestimmt. so
kann man diese auf einen benachbarten Wert
der E-Reihe setzen und kann die Widerstände
nachdimensionieren (da „krumme“
1
Man
1  jRC
wählt R=10k (Widerstandswert im k-Bereich). Durch Koeffizientenvergleich erhält
man aus: RC=1 --> C=1/R = 29,66nF. Der
nächste Wert der E-Reihe ist 22nF. (Auch der
nächsthöhere Wert könnte gewählt werden).
Somit korrigiert man den Widerstandswert zu :
R=1/C = 13,48k ; praktisch:12k+1.5k
in Serie
4.Schritt: Dimensionierung des Tiefpasses
2.Ordnung: Man wählt die Sallen-KeyStruktur und gibt sich die beiden Wider-stände
vor: R1=R2=10k: Man erhält:
(R1+R2)*C2=2 --> C2=2 /20k=5,095nF;
R1*R2*C1*C2= 2 --> C1= 2 /(C2*R1*R2)=59,3nF.
Man kann nun die beiden Kondensatoren auf
den nächsten E-Wert setzen: z.B. C1=68nF und
C2=4,7nF setzen. Damit erhält man:
(R1+R2)=2 /4,7nF --> (R1+R2)=21,68k ; und
R1*R2*C1*C2= 2 --> R1*R2=
 2 /(C2*C1)= 94,556(k)2.
Dies sind 2 Bestimmungsgleichungen für R1
und R2. Wegen der Symmetrie der beiden
Gleichunge erhält man 2 (identische !)
Gleichungen zur Bestimmung von R1 / R2:
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R1 
R2 
94,556 k
2
R1
94,556 k
R2
Im Zweifelsfalle sollte man eine statistische
Analyse mit dem Simulationsprogramm
PSPICE vornehmen (Monte-Carlo-Analyse),
um den Einfluß der Toleranzen abzuschätzen
Hinweis: Die in der Tabelle der Filterkoeffi-
 21,68k ;
2
 21,68k . Man hat also
68nF
C1
R0
R1
13,5k
V1
C0
22nF
15,6506k
oder
6,0694k
R2
6,0694k
C2
oder
15,6506k
4,7nF
VOUT
(9-201) Tschebyscheff-Filter 3-Ordnung mit 0.5dB Welligkeit und Grenzfrequenz von 1kHz
eine quadratische Gleichung in R1 oder R2 .
Man erhält die Lösungen
R1/ 2 
21,68
k  12  21,68 2  494,556 k 
2
 15,6506k / 6,0694k
Damit hat man die beiden Werte für R1 und R2.
Welchen von beiden man als R1 oder R2 wählt
ist unwichtig (erstaunlich aber wahr!).
praktische Ausführung: R1=15k+680 in
Serie , R2=6.8k//56k
Die Quadratwurzel kann negativ werden. Dann
hat man Pech gehabt in der Wahl der Kondensatoren. Wählen Sie dann einfach für C1 den
nächsthöheren Wert der E-Reihe und
probieren Sie nochmal. Achten Sie darauf, daß
die Werte für die Widerstände R1 und R2 nicht
zu weit auseinanderliegen. Dies kann
passieren, wenn C1 zu groß gewählt wird.
5.Schritt: man zeichnet schließlich das
komplette Schaltbild. Damit der 1.Tiefpaß
(RC-Glied) nicht durch den Eingang des
Sallen-Key-Filters belastet wird, muß man
einen Span-nungsfolger zwischenschalten:
Natürlich wird es schwierig sein, die Widerstände R0, R1 und R2 exakt zu wählen. Je
genauer diese Werte gewählt sind (bei
ebenfalles entsprechender Genauigkeit der
Kondensatoren, desto besser wird das Filter im
Sinne der Bessel-, Butterworth- oder
Tschebscheff-Eigenschaften sein. Für ein
Filter 3.Ordnung dürften Werte von ca.5%
Genauigkeit ausreichen; für ein Filter höherer
Ordnung ist eine höhere Genauigkeit nötig.
(8.Ordnung Tschebyscheff z.B. 0.5% !!)
zienten angegebenen Werte der Güte (Q) wird
zur Dimensionierung nicht benötigt. Dieser
Wert gibt jedoch einen Hinweis auf die
Empfindlichkeit der Koeffizientengenauigkeit:
je höher Q für das entsprechende Teilfilter ist,
desto kritischer die Dimensionierung. So ist
z.B. das 4.Teilfilter eines TschebyscheffFilters mit 2 dB Welligkeit (Q=18,69)
außerordentlich schwierig zu realisieren: die
Werte für R1,R2 und C1,C2 müssen sehr genau
stimmen (<0.5% Genauigkeit), sonst verhält
sich das Filter nicht wie es soll. Bessel-Filter
verhalten sich in dieser Hinsicht viel
gutmütiger.
Bemerkung: das nach Bild (9-201) entworfene
Filter ist vom Typ Tschebyscheff. Ein BesselFilter oder Butterworth-Filter 3.Ordnung sieht
genauso aus. Jedoch müssen die
Kondensatoren und Widerstände anders
gewählt werden. Einer Schaltung sieht man
ohne Nachrechnen der Werte nicht an, um
welchen Filtertyp es sich handelt.
08.04.2017 Prof. Dr. Koblitz, FH Karlsruhe FB FT, Analogelektronik, Moltkestr. 30, 76133 Karlsruhe; Tel.: 0721-925-1748 582616133
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Analogelektronik
Schaltungstechnische Variante: Mit zunehmender Frequenz spielt das nichtideale
Verhalten der OP’s eine wichtige Rolle
(besonders bei hohen Güten der Teilfilter). Um
Tiefpaßfilter im MHz-Bereich zu realisieren
kann die OP’s durch Emitterfolger ersetzen.
Diese haben wesentlich günstigere
Hochfrequenzeigenschaften. Bild (9-202) zeigt
ein Filter 3.Ordnung vom Typ Tschebyscheff,
realisiert mit Emitterfolgern. Der Emitterwiderstand RE1, RE2 muß so gewählt werden,
daß der Kollektorstrom der Transistoren in die
Größenordnung von ca. 5mA kommt (dann ist
gm = 200mA/V und die Verstärkung ist bei der
angegebenen Dimensionierung nahezu 1
=Spannungsfolger). Die
Arbeitspunkteinstellung erfolgt am Eingang:
V1 muß eine Gleichspannungskomponente von
ca 6V aufweisen. Wegen der relativ großen
Kollektor-Basis-Kapazität von ca.7pF muß der
Kondensator C2 von errechneten 22pF auf
15pF reduziert werden. Hier muß durch
Simulation mit PSPICE und Messungen an der
aufgebauten Schaltung die endgültige
Dimensionierung vorgenommen werden.
R0
BC547C
2,7k
R1
R2
BC547C
Q1
C0
V1
12V
2.7k
1,8k
Q2
100pF
RE1
1k
C1
270pF
15pF
C2
RE2
1k
VOUT
(9-202) Tschebyscheff-Filter 3-Ordnung mit 0.5dB Welligkeit und Grenzfrequenz von 1MHz
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