Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 2. Seite 11 Der Stochastik-Unterricht in den Klassen 7 und 8 2.1 Inhalte in Klasse 7 und 8 Den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ verstehen: Welche Bedeutung hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage? Wie kann man elementare Wahrscheinlichkeiten schätzen? Wie kann man daraus Wahrscheinlichkeiten berechnen? Im Unterricht werden letztlich (in geeigneter Reihenfolge) folgende Inhalte erarbeitet: Zufallsexperiment, Ergebnis, (Ereignis, Gegenereignis) Empirisches Gesetz der großen Zahlen Laplace-Experiment Festlegung von Elementarwahrscheinlichkeiten o nach Laplace (unmittelbar erkennbar) o empirisch über relative Häufigkeiten aus großen Versuchsreihen o durch Rückführung eines Zufallsexperiments auf ein LaplaceExperiment (Verfeinerung der Ergebnismenge) Berechnung von Wahrscheinlichkeiten 2.2 o Summenregel o Komplementärregel o Pfadregel Veränderte Schwerpunkte - Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff? Gegenüber dem Vorgehen auf der Grundlage des alten Bildungsplans von 1994/96 sind nun für den Stochastik-Unterricht zwei wesentliche Veränderungen festzuhalten: 1. Früherer Start und Spiralprinzip (7 8 9 10 11 12): Behutsamer Beginn, fortschreitende Präzisierung, Anreicherung und Ausdifferenzierung. 2. Prozessbetonung: Im Zentrum steht die aktive Tätigkeit der Schüler/innen: Konkretes Handeln, experimentieren, nachdenken, überprüfen, . . . Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 12 In Klasse 7 und 8: Motivationsquelle für Glücksspiele (Chancen optimieren) Alltagsvorstellungen von Wahrscheinlichkeiten Vorkenntnisse im Bruchrechnen Häufigkeitsbegriff aus Klasse 6 vorhanden Wahrscheinlichkeiten experimentell erleben lassen Vom Experiment zur Theorie Den Begriff Wahrscheinlichkeit verstehen Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten mathematisch darstellen Elementare Wahrscheinlichkeiten festlegen Daraus weitere Wahrscheinlichkeiten berechnen Auch durch Experimente Mengen Tabellen Baumdiagramme Laplace-Annahme Gesetz der großen Zahlen Laplace Pfadregeln Start mit Zufallsexperimenten (handlungsorientierte Erkundungsphase) Schnelles Vorstoßen zu den zentralen interessierenden Fragen (keine beschreibende „Vorab -Theorie“ ohne Wahrscheinlichkeiten) Gewinnspiele erforschen lassen, Entscheidungssituationen konstruieren: Gesucht sind Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten Vorsichtige Formalisierung im Anschluss an die Experimentierphase (Begriffe, Sprech- u. Schreibweisen, fachsystematische Absicherung) Welchem Wahrscheinlichkeitsbegriff geben wir den Vorrang? Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeiten geben an, in welchem Anteil aller Fälle mit dem Eintreten eines Ereignisses zu rechnen ist. Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeiten werden festgesetzt als „stabilisierte relative Häufigkeiten“. Grundlage: Empirisches Gesetz der großen Zahlen. Laplacescher (klassischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeiten werden als Quotient Anzahl der günstigen Möglichkeiten festgesetzt. Anzahl der Möglichkeiten überhaupt Voraussetzung: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich. Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Wahrscheinlichkeiten als reelle Zahlen, welche die Axiome von Kolmogoroff erfüllen: 1) 0 P ( A) 1 für alle A S 2) P ( A) 1 3) P ( A B ) P ( A) P (B ) falls A B { } Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 13 In dem folgenden Vorschlag für das didaktische Vorgehen im Unterricht wird nun der Ansatz verfolgt, am subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff anzuknüpfen, ihn zunächst zu präzisieren (2.3) und auf dieser Grundlage den Laplaceschen und den empirischen Wahrscheinlichkeitsbegriff selbst entdecken zu lassen (2.4): bewusst machen Subjektiver Wahrscheinlichkeitsbegriff Laplacescher (klassischer) Wahrscheinlichkeitsbegriff 2.3 entdecken lassen Empirischer Wahrscheinlichkeitsbegriff Subjektive Wahrscheinlichkeitsvorstellungen aufgreifen und klären Der im Folgenden anhand der Arbeitsblätter „Nimm Stellung“ und der Würfelsimulation mit dem GTR skizzierte Unterrichtsabschnitt dient der Vorbereitung des im Abschnitt 2.4 dargestellten Lernfelds ( Spielstraße), in dem die Schüler/innen selbstständig Methoden elementarer Wahrscheinlichkeiten entdecken sollen. Ausgangspunkt für den Unterricht sind Fragen wie: - Welche Bedeutung bzw. Aussagekraft hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage? - Welche Absicht verfolgt sie? Ziel ist eine erste Präzisierung: Wahrscheinlichkeitsaussagen dienen der Prognose Wahrscheinlichkeitsaussagen beantworten die Frage: In welchem Teil aller Fälle rechnen wir „langfristig“ mit dem Eintreten eines bestimmten Ereignisses? Die folgenden Arbeitsblätter können sowohl in Einzelarbeit oder Partnerarbeit als auch im lehrerzentrierten Unterrichtsgespräch bearbeitet werden: (1) Arbeitsblatt „Nimm Stellung!“ (2) Arbeitsblatt „Würfelsimulation mit dem GTR“ Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 14 (1) Arbeitsblatt: Nimm Stellung! Notiere deine Antworten jeweils schriftlich in deinem Heft. 1. Wie kann man die Aussage aus dem Sportmagazin erhalten? 2. Lisa sagt: „Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt 1 6 .“ Wie kommt Sie darauf und was meint Sie damit? o Was ist wahrscheinlicher: Eine gerade Zahl oder eine ungerade Zahl? o 3. Der Arzt sagt: „Die Heilungschancen bei dieser Krankheit sind 99%.“ Woher will er das wissen? 4. Anna sagt: „Ich habe 100 mal gewürfelt und es ist kein einziges Mal eine 1 gefallen.“ o o Ist das möglich? Glaubst du das? 5. Beantworte. a) Welchen Sinn hat für Dich eine Wahrscheinlichkeitsaussage? b) Welche Sicherheit gibt sie dir? Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 (2) Arbeitsblatt: Würfelsimulation mit dem GTR 1. Führe die folgenden Schritte mit dem GTR durch. 2. Beantworte die folgenden Fragen. a) Ist dieses Ergebnis für einen Würfel typisch? b) Probiere erneut. Was ändert sich? c) Würfelt (in eurer Gruppe) mit einem richtigen Würfel. Vergleiche. d) Welche Wahrscheinlichkeit hat eigentlich die 6, welche die 4? e) Was kann man mit dieser Information anfangen? f) Welche Bedeutung hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage für uns? Seite 15 Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 2.4 Seite 16 Selbstständiges Entdecken geeigneter Methoden: LERNFELD „Spiele mit Zufallsgeräten - Ist Gewinnen nur Glückssache?“ Die gängigen Schulbücher steigen in das Thema „Zufallsexperimente und Wahrscheinlichkeiten Schritt für Schritt ein. Hierbei werden die Schüler/innen meist eng geführt. Im Gegensatz dazu soll hier ein komplexerer und offener Einstieg über ein kleines Lernfeld (eine Spielstraße) vorgestellt werden. Neben dem größeren Spielraum für die Schüler/innen kann man bei diesem Zugang die Schüler/innen „Wahrscheinlichkeiten erleben und geeignete Methoden entdecken lassen“. Der Ereignisbegriff wird hier als mathematischer Begriff noch nicht zwingend verwendet. Je nach Art des Zufallsexperiments kommen die Schüler eher auf Laplace-Überlegungen die Idee des Ausprobierens ( „Von der Erfahrung zur Prognose“) ( Gesetz der großen Zahlen). Quantitative Prognosen ergeben sich je nach Experiment … …nur über Versuchsreihen z.B. Reißnagel, Lego-Vierer, Streichholzschachtel, Riemer-Würfel … …auch mit Laplace-Überlegungen z.B. Münze, Würfel, Glücksrad, … …zunächst empirisch, später auch mit Laplace-Überlegungen z.B. doppelter Münzwurf, Augensumme zweier Würfel, Summe bei zwei Glücksrädern,… o Versuchsreihen und Laplace-Überlegungen dienen dem Ziel, daraus eine Erwartung für zukünftige Versuchsreihen abzuleiten. o Das empirische Gesetz der großen Zahlen und Laplace-Überlegungen werden gleichermaßen als nützliche Werkzeuge erkannt. o Empirische gewonnene Schätzungen werden in manchen Fällen später durch Rückführung auf Laplace-Experimente bestätigt. Lernfeld: Spiele mit Zufallsgeräten – Ist Gewinnen nur Glücksache? Es besteht aus 3 Teilen: 1. Die Forschungsphase: Nachdenken und Experimentieren zur Chancenermittlung. 2. Das Gewinnspiel (Spielstraße): „Praktischer Ernstfall“: Entscheidungen treffen, spielen, gewinnen. 3. Die intensive Nachbesprechung: Auswertung der Erfahrungen und begriffliche Präzisierung. Material für jede Gruppe: 1. Spielgeräte: 2 Würfel, 2 Münzen, 2 Glücksräder, Riemer-Würfel 2. Arbeitsblatt 1 (Prognoseblatt) für die Erforschung der Zufallsexperimente Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 3. Arbeitsblatt 2 (Spielstraßenprotokoll) für den anschließenden Spielwettbewerb. 1. Phase: Spiele mit Zufallsgeräten – Ist Gewinnen nur Glücksache? Arbeitsblatt 1 (Prognoseblatt): Untersucht (in eurer Gruppe) bei jedem der Spiele S1 bis S6 die Chancen für die jeweiligen Ereignisse1 A, B und C durch Überlegen und Probieren. 1 An eine formale Einführung des Begriffes „Ereignis“ ist an dieser Stelle noch nicht gedacht. Diese stehen in den Bildungsstandards für Klasse 9/10. Seite 17 Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 S1 Seite 18 Es wird einmal gewürfelt. Ereignis A: Es kommt eine 6 Erwarteter Anteil (Bruchzahl) A B B: Es kommt die 2 oder die 3 C C: Es fällt eine gerade Zahl S2 1 0 S3 Der Pfeil dieses Glücksrads wird gedreht. A: Der Pfeil steht auf 1 A B: Der Pfeil steht auf 0 B Dieses Glücksrads wird gedreht und bleibt auf einer Seite liegen. A: Das Rad liegt auf 1 B: Das Rad liegt auf einer geraden zahl Ereignis Erwarteter Anteil (Bruchzahl) Ereignis Erwarteter Anteil (Bruchzahl) A B C C: Das Rad liegt nicht auf 9 oder 10 S4 Zwei Münzen werden geworfen. A: Es fällt einmal „Kopf“ und einmal „Zahl“ B: Es kommt zweimal „Zahl“ Ereignis Erwarteter Anteil (Bruchzahl) A B C C: Gleiches Bild bei beiden Münzen S5 Zwei Würfel werden geworfen. Ereignis A: Die Augensumme beträgt 4 A B B: Die Augensumme beträgt 2 oder 12 S6 Ein quaderförmiger Riemer-Würfel (rot oder weiß oder grün) wird geworfen. A: Er fällt auf eine der größten Seiten B: Er fällt auf eine der kleinsten Seiten 2. Phase: Ereignis Erwarteter Anteil (Bruchzahl) Erwarteter Anteil (Bruchzahl) A B Spielstraße - Entscheidungen treffen, spielen, gewinnen Arbeitsblatt 2 (Spielstraßenprotokoll): Entscheide dich jeweils für ein Ereignis und spiele danach 10-mal. Aber Achtung: Die Punkteverteilung ist nicht immer fair! Denke erst mal ganz genau nach! Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 3. Phase: S1 Seite 19 Nachbesprechung, fachsystematische Absicherung Es wird einmal gewürfelt. A: Es kommt eine 6 [ 3 Gewinnpunkte ] B: Es kommt die 2 oder die 3 [ 2 Gewinnpunkte ] C: Es fällt eine gerade Zahl [ 2 Gewinnpunkte ] Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche Gewähltes Ereignis Punkte für 10 Versuche S2 Der Pfeil dieses Glücksrads wird gedreht. 1 0 S3 A: Der Pfeil steht auf 1 [ 2 Gewinnpunkte ] B: Der Pfeil steht auf 0 [ 1 Gewinnpunkt ] Dieses Glücksrad wird gedreht und bleibt auf einer Seite liegen. A: Das Rad liegt auf 1 [ 3 Gewinnpunkte ] B: Das Rad liegt auf einer geraden Zahl [ 2 Gewinnpunkte ] C: Das Rad liegt nicht auf 9 oder 10 [ 1 Gewinnpunkt ] S4 Zwei Münzen werden geworfen. A : Es fällt einmal „Kopf“ und einmal „Zahl“ [ 3 Gewinnpunkte ] B: Es kommt zweimal „Zahl“ [ 2 Gewinnpunkte ] C: Gleiches Bild bei beiden Münzen [ 1 Gewinnpunkt ] S5 Zwei Würfel werden geworfen. A: Die Augensumme beträgt 4 [ 2 Gewinnpunkte ] B: Die Augensumme beträgt 2 oder 12 [ 1 Gewinnpunkte ] S6 Ein quaderförmiger Riemer-Würfel (rot oder weiß oder grün) wird geworfen. A: Er fällt auf eine der größten Seiten [ 2 Gewinnpunkte ] B: Er fällt auf eine der kleinsten Seiten [ 4 Gewinnpunkte ] Nach dem offenen Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung über die Spielstraße kommt dieser Phase eine große Bedeutung zu. In dieser Nachbesprechung sollen die von den Schüler/innen gemachten Beobachtungen ausgewertet und Begriffe präzisiert werden. Für alle 6 Versuche: Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 20 Zusammenfassen und präzisieren Ergebnismengen aufschreiben. Wahrscheinlichkeitstabellen anlegen. Falls als mathematischer Begriff schon eingeführt, Ereignisse notieren. Die Verfahren der Schüler zur Schätzung der Elementarwahrscheinlichkeiten diskutieren, begründen lassen. Die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse notieren. Verallgemeinern Laplace-Wahrscheinlichkeiten Das Gesetz der großen Zahlen Bei Zufallsversuchen wie dem doppelten Münzwurf / dem Glücksrad S2 / . . . die Schätzwerte über beide Methoden (Versuchsreihen und Laplace-Überlegungen) vergleichen. 2.5 Üben, Vertiefen und Festigen durch vielfältige Aufgaben Hat man die Elementarwahrscheinlichkeiten festgelegt, so lassen sich daraus weitere Wahrscheinlichkeiten berechnen. In allen gängigen neuen Schulbüchern für die Klassen 7 und 8 finden sich hierzu passende Aufgaben. Achtung: Orientiert man sich am Klett-LS, so werden bis zur Klasse 9 noch keine Ereignisse verwendet. In Klasse 7 werden noch a) die Zusammenfassung von Ergebnissen (die Summenregel) b) mehrstufige Zufallsexperimente (die Pfadregel) behandelt. Die Komplementärregel ist dagegen erst Thema in Klasse 8. Anhand des auf der nächsten Seite folgenden Arbeitsblattes „Fair oder nicht fair?“ kann mit den Schüler/innen nochmals das empirisches Vorgehen und die Rückführung auf Laplace geübt werden. Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 21 Arbeitsblatt: Fair oder nicht fair? a) Probiert das folgende Spiel mit 2 Würfeln so lange aus, bis ihr entscheiden könnt, ob es fair ist oder nicht: Spieler A gewinnt bei der Augensumme 2, 3, 4, 5, 6 Spieler B gewinnt bei der Augensumme 7, 8, 9,10,11 bei Augensumme 12 Unentschieden Führt dabei eine Strichliste mit „Fünferbündelung“: IIII Absolute Häufigkeit Strichliste Relative Häufigkeit A gewinnt B gewinnt Unentschieden b) Die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler A und B kann man auch durch eine Überlegung gut schätzen. Dabei kann diese Tabelle helfen. Aber wie? 1 2 3 4 Augensumme Wahrscheinlichkeit 2 5 6 3 1 4 2 5 3 6 4 7 8 5 9 6 10 Ergebnis: A gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 11 . 12 , B gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit . c) Kann man die Augensummen auch fair auf drei Spieler A, B und C verteilen? Gewinnereignis A gewinnt bei B gewinnt bei C gewinnt bei Wahrscheinlichkeit dafür Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 2.6 Seite 22 Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregeln – ein problemorientierter Einstieg Die Würfel des Herrn Efron Der amerikanische Statistiker und Mathematiker Bradley Efron hat sich als erster mit so genannten nichttransitiven Würfeln beschäftigt. Intransitive Würfel nennt man einen Satz spezieller Spielwürfel, in dem für jeden der Würfel ein anderer enthalten ist, gegen den er verliert, das heißt, verglichen mit dem er häufiger eine kleinere als eine größere Zahl zeigt2. Efron-Würfel sind spezielle intransitive Würfel. Bei den Beispielwürfeln auf dem Arbeitsblatt kann jeder der vier Würfel von einem anderen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 besiegt werden: Zu jedem Würfel gibt es einen besseren. Anhand des Arbeitsblattes „Spielen mit Efron-Würfeln“ auf der nächsten Seite kann man die Schüler/innen zuerst spielen und Häufigkeitsüberlegungen ( Tabelle) anstellen und anschließend die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen ( Berechnung „Anteil eines Anteils“ führt auf die Pfadregel). Voraussetzungen: Im Unterricht sind Baumdiagramme, der Wahrscheinlichkeitsbegriff sowie die Summenregel behandelt. Arbeitsschritte: 1. Häufigkeitsüberlegung: Was erwartet man bei 3000 Versuchen? 2. Theoretische Überlegungen, Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten: Als Beispiel „weiß 1 gegen orange 1“: 1 2 1 2 1 3 9 orange 1 gew. 2 3 3 9 weiß 1 gewinnt 1 3 9 orange 1 gew. 2 3 3 orange 1 gew. 8 2 3. Erkennen der Pfadregel: P(orange 1P(weiß1) gewinnt) 1 1 1 1 1 2 1 1 2 2 2 3 2 3 2 3 6 6 6 3 4. Weiterführung im Unterrichtsgespräch: Beantwortet die folgenden Fragen und zeichnet dazu jeweils ein Baumdiagramm: (1) Spieler 1 wählt Würfel A. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen? (2) Spieler 1 wählt Würfel B. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen? (3) Spieler 1 wählt Würfel C. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen? (4) Spieler 1 wählt Würfel D. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen? 2 zitiert aus Wikipedia Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 23 Arbeitsblatt: Spiel mit Efron - Würfeln 3 orange 1 weiß 1 weiß 2 orange 2 9 8 6 7 9 3 8 3 A 2 8 4 2 3 B 6 4 1 5 2 C 7 1 7 5 D 7 Spielregel und Arbeitsanleitung: Der erste Spieler wählt einen Würfel. Danach wählt der Gegenspieler. Nun wird 30-mal gewürfelt. Die höhere Augenzahl gewinnt. Tragt die Ergebnisse in die unten stehende Tabelle ein. Berechnet zum Schluss die Anzahl der Gewinne des ersten und zweiten Spielers. Spiel Ergebnis Spieler 1 Ergebnis Spieler 2 Spieler 1 gewinnt Spieler 2 gewinnt Spiel 1 16 2 17 3 18 4 19 5 20 6 21 7 22 8 23 9 24 10 25 11 26 12 27 13 28 14 29 15 30 Ergebnis Spieler 1 Ergebnis Spieler 2 Spieler 1 gewinnt Spieler 2 gewinnt Bearbeitet nun in Partnerarbeit die folgenden Fragen bzw. Aufgaben: a) Wie viele Siege für den Spieler 1 würdet ihr aufgrund eures Spiels bei 3000 Würfen erwarten? b) Zeichnet zu eurem Spiel mit Hilfe von theoretischen Überlegungen (unabhängig von den gerade erzielten Ergebnissen) ein Baumdiagramm und tragt an den Ästen die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten ein. c) Wie viele Siege für den Spieler 1 würdet ihr jetzt aufgrund des in b) gezeichneten Baums bei 3000 Würfen erwarten? d) Berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler 1 gewinnt. Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 24 Ein weiteres reizvolles Thema zur anspruchsvolleren Verwendung von Bäumen bietet: Arbeitsblatt: Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem)3 Aufgabe (Partnerarbeit):Wie würdet ihr euch entscheiden? Begründet eure Überlegungen. Forschungsauftrag (Partnerarbeit): Dazu: 2 x Ziegenkarte + 1 x Autokarte für jedes Schülerpaar. Mithilfe der 3 Spielkarten sollt ihr nun Eure Vermutungen bestätigen. Die Spielanleitung dazu findet ihr auf der Rückseite. Hinweis: Auf der CD befindet sich ein von der Friedrich-Schiller-Universität Jena entwickeltes Simulationsprogramm zum Ziegenproblem. 3 Im Klett LS wird das Ziegenproblem im Band 4 für die Klasse 8 ( Baumdiagramme) behandelt. Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 Seite 25 Spielanleitung zum Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem): Legt zunächst die neben stehende Tabelle an, in der ihr eure Spielergebnisse festhaltet. Dann geht’s los: 1. Der Moderator (einer von euch) legt die 3 Karten verdeckt auf den Tisch und merkt sich die Position der Karte mit dem Auto. Spiel 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Karte A Karte B Karte C Wechsel Gewinn 2. Gebt den Karten zur Unterscheidung die Bezeichnungen Karte A, Karte B und Karte C. 3. Der Kandidat (der andere von Euch beiden) kreuzt die Karte seiner Wahl in der Tabelle an. 4. Der Moderator (der andere von euch beiden) dreht nun eine der beiden Ziegenkarten um und markiert diese mit einem Kreis in der Tabelle. 5. Der Kandidat kann nun bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben oder wechseln. einem Wechselistkreuzt ihr dies an. Bei Welche Strategie die Richtige? Könnt Ihr einen Trend erkennen? 6. Bei einem Gewinn markiert ihr das in der Tabelle und das Spiel beginnt von neuem. Nehmt die Ergebnisse Eurer Nachbarn zu euren dazu. Was könnt ihr jetzt erkennen? Nach 10 Spielen vertauscht Ihr die Rollen, so dass Ihr am Ende 20 Runden gespielt habt. Lösung: 1. Erklärung mit Hilfe eines Entscheidungsbaumes: Annahme: Das Auto befindet sich hinter der Tür A. 2. Berechnung mit reduziertem Baumdiagramm (ohne Formalismus): o Der Kandidat durchläuft zwei Stufen. o Jedes Mal kann die Entscheidung r = richtig oder f = falsch sein. Stufe I: o Die Wahrscheinlichkeit für r beträgt 1/3 für f beträgt sie 2/3. Jetzt erfolgt die Information durch den Moderator! Stufe II: Wenn nun nach der Information automatisch die Umentscheidung erfolgt, so ergeben sich die angegebenen Wahrscheinlichkeiten 0 und 1: Wenn Stufe I r war, dann trifft er jetzt garantiert das leere Tor also f Wenn die 1. Stufe f war, dann trifft er jetzt garantiert das Tor mit dem Auto also . r Damit: P(r r oder f r) = 1 2 2 0 1 3 3 3 Also ist ein Wechsel der Türen nach der Information durch den Moderator sinnvoll. Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 2.7 Seite 26 Simulation von Zufallsexperimenten mit dem GTR 1. Münzwurf: Wappen mit 1 und Zahl mit 0 Ermittlung der absoluten und relativen Häufigkeit des Ereignisses „Wappen“ Absolute Häufigkeit bei 500 Würfen Relative Häufigkeit bei 500 Würfen Zur Visualisierung der relativen Häufigkeiten bei 200 Würfen müssen die Listen L1 bis L4 definiert werden. Für die Grafik sind folgende Eingaben nötig. Die relative Häufigkeit in den einzelnen Punkten kann man mit TRACE anzeigen lassen. Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009 2. Würfelspiel mit einem Würfel Grafische Darstellung der absoluten Häufigkeiten bei 300-maligem Werfen. Mit TRACE wird z.B. angezeigt, dass die Zahl drei 47-mal gewürfelt wurde. Die Bestimmung der absoluten Häufigkeit automatisieren. Grafische Darstellung der relativen Häufigkeit, mit der eine „6“ gewürfelt wurde. Seite 27