09_KUM - Strahlensatz

Übungsaufgaben Blatt 9
Kumulierte Binomialverteilung
Sowa
1. Bestimme mit Hilfe der Tabelle oder mit der Formel von Bernoulli !1
a) B(4; 101 ;0)
b) B(8; 101 ;4)
c) B(15; 102 ;7)
d ) B(15; 103 ;6)
35
e) B(9; 100
;8)
f ) B(20; 54 ;15)
g ) B(15; 109 ;13)
75
h) B(20; 100
;19)
1
i) B(15; 100
;0)
97
j ) B(20; 100
;18)
2. Eine Zufallsvariable X sei B(20 ; 104 ) - verteilt. Bestimme folgende kumulierte W´keiten !
a) P( X  6)
b) P( X  6)
c) P( X  6)
d ) P( X  6)
e) P( X  11)
f ) P(4  X  10)
g ) P(4  X  10)
h) P(4  X  10)
3. Ein idealer Würfel wird 100 Mal geworfen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die
Sechs höchstens 15 Mal?
4. Jemand kauft eine Packung mit 15 Blumenzwiebeln, für die eine Keimgarantie von 90%
gegeben wird. Mit welcher Wahrscheinlichkeit keimen
a) mindestens 12 Zwiebeln,
b) mindestens 14 Zwiebeln,
c) alle 15 Zwiebeln?
5. Eine Münze mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,4 für Wappen wird zehnmal geworfen. Mit
welcher Wahrscheinlichkeit fällt
a) in den ersten drei Würfen „Wappen“ und in den restlichen „Zahl“,
b) nur im 5. und im 10 Wurf „Wappen“,
c) höchstens dreimal „Wappen“,
d) in den ersten 3 Würfen jedesmal „Zahl“, insgesamt aber viermal „Wappen“?
6. Durchschnittlich eines von zehn Schaltelementen, die zum Sonderpreis angeboten werden
ist nach den Angaben des Händlers defekt.
a) Ein Bastler wählt 20 Schaltelemente aus. Mit welcher W´keit sind mindestens 18
Schaltelemente brauchbar?
b) Ein anderer Bastler benötigt 16 solcher Schaltelemente und kauft sicherheitshalber 18
Elemente. Mit welcher W´keit hat er 16 funktionierende Schaltelemente erhalten?
7. Wie oft muss man einen idealen Würfel mindestens werfen, wenn man mit einer W´keit
von mehr als a) 90% b) 99% c) 99,9% wenigstens einmal die Sechs erhalten will?
8. In einer Klinik werden pro Jahr durchschnittlich 100 Patienten mit einem bestimmten
Medikament behandelt. Die W´keit, dass ein Patient auf dieses Medikament unerwünschte
Nebenwirkungen zeigt ist 0,02. Wie groß ist die W´keit, dass im Laufe eines Jahres bei
mehr als 3 so behandelten Patienten unerwünschte Nebenwirkungen auftreten?
1
Jakob Bernoulli (1654-1705), Schweizer Mathematiker
Übungsaufgaben Blatt 9
Kumulierte Binomialverteilung
Sowa
Lösung
Auf _ 1 :
B(4; 101 ;0)  0,6561
35
B(9; 100
;8)  0,0013
1
B(15; 100
;0)  0,86
B(8; 101 ;4)  0,0046
B(15; 102 ;7)  0,0138
B(15; 103 ;6)  0,1472
B(20; 54 ;15)  0,1746
B(15; 109 ;13)  0,2669
75
B(20; 100
;19)  0,021
97
B(20; 100
;18)  0,098
Auf _ 2 :
P( X  6)  0,1244
P( X  6)  0,75  1  P( X  6)  0, 75
P(4  X  10)  Fnp (9)  Fnp (4)  0,7043
P( X  6)  P( X  5)  0,1256
P( X  6)  0, 25
P( X  11)  1  P( X  10)  0,1275
P(4  X  10)  Fnp (10)  Fnp (3)  0,8565
P(4  X  10)  Fnp (10)  Fnp (4)  0,8215
100  1 15 5 85
P( X  15)  
   6    6   0,3877
 15 
Auf _ 4a : 1  F (15 / 0,9 / 11)  1  [1  0.9444]  1  [1  F (15 / 0,1 / 3 )]  0,9444  94,44%
Auf _ 3 :
Auf _ 4b : B (14)  B(15)  1  F (15 / 0,9 / 13)  1  [1  0,549]  F (15 / 0,1 / 1)  0,549%
15 
15
0
15
Auf _ 4c : B(15 / 0,9 / 15)  B(15 / 0,1 / 0)     109   101   0,9   0,2059
15 
Auf _ 5a : P( wwwzzzzzzz )  104   106   0,0018
7
3
Auf _ 5b : P( zzzzwzzzzw )  104   106   0,0027
2
8
Auf _ 5c : F (10 / 104 / 3)  0,3823
3  7
3
4
Auf _ 5d : P ( ZZZ / 4 W / 3 Z )  106      104   106   0,0418
 4
Auf _ 6a : F ( 20 / 0,1 / 2)  0,6769 (Umformulierung auf nichtdefekte Birnen , wegen Tabelle )
Auf _ 6b : F (18 / 0,1 / 2)  F (18 / 0,1 / 1)  B( X  2)  0, 2835 er hat also zu 28% zwei defekte
und 16 intakte Teile bekommen.
n
n
n
n
n
0
Auf _ 7 : P( X  1)  1  P ( X  0)  1      16    65   1   65  1   65   0,9   65   0,1
 0
 65 n  0,1 n ln  65   ln( 0,1) n  ln( 05,1)  12,6
ln( 6 )
Achung das Relationsz eichen  ändert sich bei Division des Logaritmus zwischen
0 und 1 zu , weil in diesem Intervall die Logaritmus werte negativ sind. Er muss
mindestens 13, mal (26 mal, 38 mal) würfeln.
Auf _ 8 : P ( X  3)  1  F (100 / 0,02 / 3)  1  0,859  14%
.