faires Spiel - Web

Das faire Spiel ist eine wichtige Vokabel in der Wahrscheinlichkeitsrechnung, weil oft
genug in Klausuren Punkte dafür vergeben werden. Einmal kann es sein, dass ein Spiel in der
Aufgabe beschrieben wird und wir sollen rausfinden, ob es sich um ein faires Spiel handelt
oder nicht: Das ist dann eng verknüpft mit dem Erwartungswert .
Wir haben ein Glücksspiel, eine Wahrscheinlichkeitsrechnung mit der Variable x und müssen
bestimmen, ob das Spiel fair ist. Dazu brauchen wir den Erwartungswert von x.
Das Spiel besteht aus zwei Münzwürfen, wir tippen auf Wappen. Der Einsatz ist 3€, die
Zufallsvariable x ist der Gewinn.
Bei einmal Wappen bekommen wir den Einsatz zurück, der Gewinn ist 0.
Bei zweimal Wappen ist die Auszahlung 5€, also 2€ Gewinn.
Bei nullmal Wappen ist unser Einsatz verloren.
Daraus machen wir nun eine Tabelle:
Wir haben auf der linken Seite die Ereignisse e, nämlich nullmal, einmal und zweimal
Wappen. Dann haben wir die Zufallsvariable xi, da haben wir bei nullmal Wappen -3, bei
einmal Wappen 0, bei zweimal Wappen 2. Dann die Wahrscheinlichkeit P(x=xi) (auch Pi):
Stellen wir uns das als zweistufiges Baumdiagramm mit jeweils zwei Ausgängen vor. Nullmal
Wappen haben wir bei Zahl und Zahl, also beim zweiten Pfad. Beim ersten Wurf haben wir
50%, beim zweiten Mal auch, also insgesamt ein Viertel, die Wahrscheinlichkeit ist 0,25.
Einmal Wappen kann man beim ersten Pfad und beim zweiten mit jeweils ein Viertel
Wahrscheinlichkeit haben, also insgesamt ein Halb. Zweimal Wappen ist nur der obere Pfad,
also wieder 0,25.
Die Wahrscheinlichkeit ist also bei nullmal Wappen 0,25, bei einmal Wappen 0,5, bei
zweimal Wappen 0,25.
In der nächsten Spalte multiplizieren wir xi mit x=xi, damit bestimmen wir den Durchschnitt.
-3x0,25=-0,75. 0x0,5=0. 2x0,25=0,5. Jetzt schreiben wir den Erwartungswert von x:
E(x)(auch µ)= -0,75+0+0,5= -0,25 Der Erwartungswert ist die Summe aus allen
Wahrscheinlichkeiten, von allen Werten für die Zufallsvariablen.
Wenn der Erwartungswert negativ ist, dann ist das Spiel (aus Sicht des Spielers) unfair. -0,25
bedeutet, dass ich im Schnitt jedes Mal 25 Cent verlieren. Bei Null wäre es ein faires Spiel,
über 0 wäre das Spiel günstig für den Spieler
Das Spiel kann auf zwei Arten zu einem fairen Spiel modifiziert werden, nämlich indem der
Einsatz oder der Gewinn modifiziert wird.