Lösungen zu den Arbeitsaufträgen

Lösungen zu den Arbeitsaufträgen
Gedanken zur Programmfindung für Auftrag 1:
-
Gegeben: Anfangsmasse m0, Kraft F, Lichtgeschwindigkeit c, Ruheenergie
E0 = m0 * c^2
Impuls wird zunächst über die Impulsänderung berechnet: dp = F * dt
Aktualisierung des Gesamtimpulses: p = p + dp
Geschwindigkeit (für Leistung benötigt): v = p / m
Nun die Leistung, die später für die kinetische Energie gebraucht wird:
P=F*v
Änderung der kinetischen Energie: dEkin = P * dt
Aktualisierung der kinetischen Energie: Ekin = Ekin + dEkin
Gesamtenergie als Summe aus kinetischer Energie und Ruheenergie (diese wird
zur Berechnung der neuen Gesamtmasse gebraucht!): E = Ekin + E0
Aktualisierung der Gesamtmasse: m = E / c^2
Zeit laufen lassen: t = t + dt
Bemerkung: bei diesem Programm muss zu Beginn sowohl für m0 als auch für
m die Anfangsmasse 0,5 gesetzt werden!
Moebius-Programmcode für die Aufträge 1 bis 3
Auftrag 1:
1.
(100 Wiederholungen, dt = 1)
-
die Geschwindigkeit v nimmt linear zu
klar, weil beschleunigte Bewegung
-
die Masse bleibt konstant
-
𝐸𝑘𝑖𝑛 sehr klein, dadurch Δ𝑚 =
3.
𝐸𝑘𝑖𝑛
𝑐2
1
s2
sehr klein (𝑐 2 = 1,1 ⋅ 10−17 m2 )
(2000 Wiederholungen, dt = 100000)
-
die Geschwindigkeit nähert sich der Grenzgeschwindigkeit 3 ⋅ 108
 Lichtgeschwindigkeit!
m
s
an
-
die Masse bleibt zunächst konstant, steigt dann langsam an
bei einer Geschwindigkeit nahe der Lichtgeschwindigkeit steigt die Masse sehr
steil an und verläuft gegen unendlich im Grenzfall v  c
4.
Für sehr große Geschwindigkeiten ist die kinetische Energie groß und damit auch die
Massenzunahme, was zu einer erhöhten Gesamtmasse führt.
Da die beschleunigende Kraft aber konstant bleibt, ist nach 𝐹 = 𝑚 ⋅ 𝑎 die
Beschleunigung jetzt geringer, was zu einem immer kleineren Geschwindigkeitszuwachs und schließlich zur Grenzgeschwindigkeit führt.
(Ohne Herleitung, warum die Grenzgeschwindigkeit gerade die Lichtgeschwindigkeit
ist.)
Auftrag 2:
(1.
Der relativistische Impuls stimmt mit dem klassischen Impuls überein, daher ist
es im Folgenden egal, welcher als Parameter genutzt wird.)
2.
(2000 Wiederholungen, dt = 100000)
-
für kleine Impulse bzw. Geschwindigkeiten ist die klassische kinetische Energie
gleich der relativistischen kinetischen Energie
für große Impulse bzw. Geschwindigkeiten wächst die klassische kinetische
Energie quadratisch an, während die relativistische kinetische Energie nur noch
linear wächst
( für kleine Geschwindigkeiten: „klassische Mechanik ≈ relativistische
Mechanik“)
Auftrag 3:
-
da die Grenzgeschwindigkeit auch für negative Geschwindigkeiten gelten muss,
ergibt sich für 𝑚(𝑣) ein achsensymmetrischer Verlauf
 entspricht der 4. Funktion auf dem Arbeitsblatt Mathematisch-Physikalische
Vorbetrachtungen
 𝑚 = 𝑚(𝑣) =
𝑚0
2
√1−𝑣2
𝑐
Auftrag 4:
-
beschleunigende Kraft größer oder kleiner  Geschwindigkeit und Masse
nehmen schneller bzw. langsamer zu
aber: die Grenzgeschwindigkeit ist in jedem Fall wieder die
Lichtgeschwindigkeit!
Grenzgeschwindigkeit auch unabhängig von der Anfangsmasse
Auftrag 5:
1.
Mögliche Schüler-Vermutung:
Grenzgeschwindigkeit ist die Summe aus Lichtgeschwindigkeit und
Anfangsgeschwindigkeit, also 𝑣grenz = 𝑐 + 0,2𝑐 = 1,2𝑐
2.
Im Programm müssen nur die Anfangswerte für den Impuls und die kinetische
Energie angepasst werden. Die Masse wird nach dem ersten Durchlauf
automatisch aktualisiert.
𝑚 ⋅𝑣
Formel für Impuls:
𝑝(𝑣0 ) = 𝑚(𝑣0 ) ⋅ 𝑣0 = 0 02
√1−𝑣2
𝑐
In Moebius einzugebender Startwert für 𝑣0 = 0,2𝑐 : p = 30597440
Formel für kinetische Energie:
𝐸𝑘𝑖𝑛 (𝑣0 ) = 𝑚0 ⋅ 𝑐 2 ⋅ (
1
2
√1−𝑣2
− 1)
𝑐
In Moebius einzugebender Startwert für 𝑣0 = 0,2𝑐 : Ekin = 9,2665E14
3.
Anfangsgeschwindigkeit 0,9c
Anpassung der Startwerte für Impuls und kinetische Energie:
p = 309496980
Ekin = 5,8157E16
4.
Achtung: Moebius skaliert die v-Achse jetzt anders, sie beginnt nicht mehr bei
0!
die Geschwindigkeit nimmt bei 0,2c beginnend zu
Grenzgeschwindigkeit ist die Lichtgeschwindigkeit
die Grenzgeschwindigkeit ist wieder die Lichtgeschwindigkeit
Die Grenzgeschwindigkeit ist unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit
immer die Lichtgeschwindigkeit. Da die (relative) Anfangsgeschwindigkeit auch
als Wechsel des Bezugssystems verstanden werden kann, ist die
Grenzgeschwindigkeit unabhängig vom gewählten Bezugssystem.