ProtokollJakob1
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Jakob Grünwald Physik-Protokoll 4.11.2013 Abituraufgabe: Übungen zu Feldern Aufgaben: Lösungen: 2.1 π Herleitung der Formel ππ = √π ∗ π ∗ πΌπ© π Zuerst muss eine Energiebilanz erstellt werden. Die eine Energie ist die kinetische Energie, die allgemein jeder sich mit der Geschwindigkeit v bewegende Körper besitzt. Das beschleunigte Elektron bekommt diese Energie aus dem elektrischen Feld. Diese Energie last sich mit Hilfe der Formel für elektrische Energie berechnen. Beide Energien müssen nach dem Energieerhaltugnssatz gleich sein. Energiebilanz Kinetische Energie 1 2 ∗ ππ ∗ π£π₯2 = π ∗ ππ΅ elektrische Energie Wenn man die Formel in der Energiebilanz dann nach π£π₯ auflöst, erhält man die in der Aufgabenstellung angegebene Formel. Jakob Grünwald Physik-Protokoll 4.11.2013 π π£π₯ = √2 ∗ π ∗ ππ΅ π Berechnung der Geschwindigkeit ππ π£π₯ = √2 ∗ 1.6 ∗ 10−19 πΆ π ∗ 1000 π = 1.875 ∗ 107 −31 9.1 ∗ 10 ππ π Beim Eintritt in die gekreuzten Felder haben die Elektronen eine Geschwindigkeit von 1.875 ∗ 107 π π . Zum Vergleich: π = 3 ∗ 108 π Lichtgeschwindigkeit π Einheitenrechnung: πΆ π΄∗π∗π ππ ∗ π2 π [π£π₯ ] = √ ∗ π = √ =√ = ππ ππ ππ ∗ π 2 π 2.2 π¬ Herleitung der Formel ππ = π© Um die Formel für die Geschwindigkeit der Elektronen herzuleiten, kann man eine Kräftebilanz verwenden. Sie ist einer Energiebilanz sehr ähnlich. Nur werden bei einer Kräftebilanz die beiden auf das Elektron wirkenden Kräfte gleichgesetzt. Die elektrische Kraft πΉππ = πΈ ∗ π wirkt allgemein auf alle sich in einem homogenen elektrischen Feld befindenden Objekte. Die Ladung π ist in diesem Fall gleich der Elementarladung π. Außerdem wirkt auch die magnetische Kraft πΉππππππ‘. = π ∗ π£π₯ ∗ π΅. Da sie auf das einzelne Elektron wirkt, ist die magnetische Kraft also die Lorentzkraft πΉππππππ‘. = πΉπΏ = π ∗ π£π₯ ∗ π΅. Die sich daraus ergebende Kräftebilanz sieht wie folgt aus: πΈ ∗ π = π ∗ π£π₯ ∗ π΅ | βΆ (π ∗ π΅) πΈ∗π πΈ = π£π₯ = π΅∗π π΅ Berechnung von π© Um die magnetische Flussdichte berechnen zu können, muss zuerst die oben erhaltene πΈ Formel nach π΅ aufgelöst werden: π΅ = π£ π₯ Danach muss die elektrische Feldstärke πΈ = ππ π berechnet werden. Jakob Grünwald Physik-Protokoll πΈ= 4.11.2013 1500 π π = 27777.78 0.054 π π Jetzt kann man problemlos die magnetische Flussdichte π΅ berechnen. π 27777.78 π πΈ π΅= = = 1.5 ∗ 10−3 π π£π₯ 1.875 ∗ 107 π π Damit die Elektronen die gekreuzten Felder mit der in 2.1 berechneten Geschwindigkeit gradlinig durchlaufen, muss die magnetische Flussdichte 1.5 ∗ 10−3 π betragen. Einheitenrechnung: π π∗π [π΅] = π π = π2 = π π 2.4 π∗πΌ Herleitung der Formel ππ = π ∗ππ² π An dieser kann erneut eine Kräftebilanz angewendet werden, da das Newtonsche Gesetz πΉ = π ∗ π allgemein auf jeden beschleunigten Körper zutrifft, während in diesem Fall auch speziell die elektrische Kraft πΉππ = π ∗ πΈ das Elektron beschleunigt. Die elektrische Feldstärke πΈ kann hier wieder durch ππΎ π ersetzt werden. Die Kräftebilanz ergibt dann die folgende Formel: ππ ∗ π π¦ = π ∗ ππΎ π ππ¦ = | βΆ ππ π ∗ ππΎ π ∗ ππ Um die Flugbahn eines Elektrons berechnen zu können, müssen wir die beiden Bewegungen des Elektrons einzeln betrachten. Dies ist auf Grund des Unabhängigkeitsprinzips möglich. Unabhängigkeitsprinzip: Die Bewegung eines Elektrons in dem elektrischen Feld eines Kondensators lässt sich in zwei Bewegungen zerlegen, die unabhängig voneinander sind. Zuerst betrachten wir die Bewegung in x-Richtung: Jakob Grünwald Physik-Protokoll π‘= 4.11.2013 π 0.1π = = 5.3 ∗ 10−9 π π£π₯ 1.875 ∗ 107 π π 1 Da π die Länge der Kondensatorplatten in x-Richtung beschreibt, kann in der Formel π¦ = 2 ∗ π₯2 π₯2 π₯ π₯ ππ¦ ∗ π£2 der Teil π£2 durch π‘ 2 ersetzt werden. 1 Daraus ergibt sich eine Funktion für die Flugbahn des Elektrons: π¦(π‘) = 2 ∗ ππ¦ ∗ π‘ 2 . Die Flugbahn beschreibt eine Parabel. Wenn jetzt der Zeitpunkt, an dem das Elektron das Feld verlässt, als t in die Formel eingesetzt wird, gibt der y-Wert die Höhe des Elektrons zu diesem Zeitpunkt an. ππ¦ = π ∗ ππΎ 1500 π ∗ 1.6 ∗ 10−19 πΆ π 15 = = 4.9 ∗ 10 π ∗ ππ 0.054 π ∗ 9.1 ∗ 10−31 ππ π 2 π¦(5.3 ∗ 10−9 π ) = 1 π ∗ 4.9 ∗ 1015 2 ∗ (5.3 ∗ 10−9 π )2 = 0.69 π = 6.9 ππ 2 π Die Elektronen würden sich also bei ungehinderter Flugbahn 6.9cm über dem Eintrittspunkt π befinden. Da die Elektronen jedoch nur 2 = 5.4ππ 2 = 2.9ππ Freiraum nach oben haben, treffen sie vor dem Verlassen des Kondensators auf die obere Platte auf.
