Vortrag 4 - Zhichao - Beispiele von Konstruktionen

Konstruktion eines regelmässigen Fünfecks
Ein von den schönsten Resultaten in Euklidischen Elementen ist die Konstruktion eines regelmässigen Fünfecks,
welches in einem Kreis einbeschrieben ist. Für seinen Beweis dazu hat Euklid die ganze Geometrie gebraucht, die er
bis dahin erarbeitet hat. Man könnte sagen, dass um dieses eine Resultat zu verstehen gleichbedeutend ist, wie alle
seine vier Bücher von Euklidischer Geometrie zu verstehen.
1. Konstruktion eines gleichschenkligen Dreiecks, dessen Basiswinkel die doppelte Grösse wie der übrige
Winkel hat.
Der Ablauf der Konstruktion sieht wie folgt aus:
Seien A und B zwei zufällig ausgewählte Punkte.
1. zeichne die Gerade AB
Als nächstes konstruiert man vom Punkt A aus eine Senkrechte zu AB
2. Zeichne den Kreis AB mit dem Mittelpunkt A und Radius AB
3. Zeichne den Kreis BC mit dem Mittelpunkt B und Radius BC
4. Zeichne den Kreis CB mit dem Mittelpunkt C und Radius BC , dann ist D der Schnittpunkt von den Kreisen BC
und CB
5. Zeichne die Gerade AD, dann ist E der Schnittpunkt von Kreis AB und Gerade AD
6. Zeichne den Kreis EA mit dem Mittelpunkt E und Radius EA, F und G sind die Schnittpunkte von Kreisen AB
und EA
AE halbieren
7. Zeichne die Gerade FG, H ist der Schnittpunkt von den Geraden FG und AE
8. Zeichne den Kreis HB mit dem Mittelpunkt H und Radius HB, J ist der Schnittpunkt von Kreis HB und AE
9. Zeichne den Kreis AJ mit dem Mittelpunkt A und Radius AJ, K ist der Schnittpunkt von Kreis AJ und Gerade
AB
10. Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt B und Radius AK, L ist der Schnittpunkt auf der Kreislinie von AB
11. Zeichne die Gerade AL
12. Zeichne die Gerade BL
13. ABL ist das gewünschte Dreieck.
Aus heutiger Sicht ist die Theorie der quadratischen Gleichung essenziel für den Beweis der
Konstruktion. Zur Zeit von Euklid war noch keine Algebra verfügbar, aber Euklid hat die
Flächentheorie zu Nutze gemacht. Wir können ein Viereck als Produkt von seinen Seiten
ansehen. Ohne irgendwelchen Wert an diese Flächen zuzuweisen kann man sie
manipulieren, indem man ein kongruentes Stück abschneidet, dazu addiert oder
subtrahiert. Somit hat Euklid eine „geometrische Algebra“ hergeleitet um die Grösse zu
manipulieren, welche eine Alternative zu den heutigen algebraischen Methoden ist.
Der Beweis von der Konstruktion des gleichschenkligen Dreiecks ist der Kernpunkt von der
Konstruktion des regelmässigen Fünfecks. Im Buch I hat Euklid die Fläche von Dreiecken
und Parallelogrammen diskutiert, welche zu dem Pythagoras Theorem führten. Die
Gleichheit zwischen den Flächen wurde mit Methoden wie Schneiden und Kleben bewiesen.
Hier wird Fläche als Inhalt betrachtet.
Das zweite Buch beinhaltet eine Reihe von Resultaten von der geometrischen Algebra, insbesondere wurden die
Propositionen II.5, II.6 und II.11 in diesem Beweis verwendet. Die Proposition II.11 wird auch als der goldene Schnitt
genannt. Der besagt, dass das Intervall AB vom Punkt K so geteilt wird, dass das von AB und BK gebildete Viereck die
gleiche Fläche hat wie das Quadrat über AB. Auf diese Weise wird die Eigenschaft des goldenen Schnitts durch Fläche
ausgedruckt.
Vom Buch III werden die Proposition III.36 und seine Umkehrung III.37 im folgenden Beweis angewendet. Die
Proposition III.36 besagt, seien A ein Punkt ausserhalb des Kreises und AB eine Tangente vom Kreis im Punkt B, und
schneidet sie den Kreis ACD in Punkten C und D, dann hat das von AC und AD gebildete Rechteck den gleichen Inhalt
wie das Quadrat über AB. Im Beweis zur Proposition III.36 wurden die Propositionen II.6 und I.47 angewendet.
Beweis:
Seien A,K,B,L wie in der 1. Konstruktion. Wird die Proposition II.11 angewendet, hat das Rechteck mit Seiten BK und
BA die gleiche Fläche wie das Quadrat über AK. Da BL und AK gleich sind, gleicht das Viereck BK mit BA auch dem
Quadrat über BL.
Jetzt betrachten wir den Kreis, der durch die Punkte A, K, L
durchläuft. Da das Rechteck mit Seiten BK und BA dem Quadrat
über BL gleicht, folgt daraus, dass BL eine Tangente zum Kreis
ist(III.37)
Deshalb gleicht der Winkel BLK dem Winkel α im Punkt A. Sei nun
der Winkel ∡KLA δ, dann ist ∡BKL ein Aussenwinkel vom Dreieck
AKL, deshalb ist ∡BKL=α+ δ (I.32). Aber ∡BLK= α, somit α + δ =∡BLA und dieser Winkel ist β, weil das Dreieck ABL
gleichschenklig ist. Dann ist ∡BKL= β, das impliziert wiederum, dass das Dreieck BKL gleichschenklig ist. Deshalb ist
KL=BL=AK. D.h., das Dreieck AKL ist auch gleichschenklig, und δ = α, β =∡BLA=2α.
2. Konstruktion eines regelmässigen Fünfecks
Die Idee ist das Dreieck in der vorherigen Konstruktion zu verwenden um ein im Kreis einbeschriebenes
regelmässiges Fünfeck zu konstruieren.
Seien ABC das gegebene Dreieck und O der Mittelpunkt von einem Kreis. Der erste Schritt ist eine Tangente vom Kreis
zu konstruieren. Also sei D ein Punkt auf der Kreislinie
1. Zeichne die Gerade OD
2. Zeichne den Kreis DO mit dem Mittelpunkt D und Radius DO, E ist der Schnittpunkt von Gerade OD und Kreis
DO.
3. Zeichne den Kreis EO mit dem Mittelpunkt E und Radius EO
4. Zeichne den Kreis OE mit dem Mittelpunkt O und Radius OE, F ist der Schnittpunkt von Kreisen OE und EO
5. Zeichne die Gerade DF
So ist DF die Tangente im Punkt D. Als nächstes wird vom Punkt D aus der Winkel β (zwischen dem Durchmesser OD
und der Tangente DF) nachgebildet.
6. Zeichne den Kreis BC mit dem Mittelpunkt B und Radius BC, G ist der Schnittpunkt von Kreis BC und AB
7. Zeichne den Kreis mit dem Mittelpunkt D und Radius BC, H und I sind die Schnittpunkte von diesem
Kreis(DH) und der Gerade DF
8. Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt H und Radius CG, K ist der Schnittpunkt von diesem Kreis(HK) und dem
Kreis DH
9. Zeichne den Kreis mit Mittelpunkt I und Radius CG, L ist der Schnittpunkt von diesem Kreis(IL) und dem
Kreis DH
10. Zeichne die Gerade DK, M ist der Schnittpunkt von Kreis DO und der Gerade DK
11. Zeichne die Gerade DL, N ist der Schnittpunkt von Kreis DO und der Gerade DL
12. Zeichne die Gerade MN
Dann ist DMN das im Kreis einbeschriebene Dreieck, gleichwinklig mit ABC. Als nächstes wird der Winkel in M und N
halbiert. Sei P der Schnittpunkt von MN und DO
13. Zeichne den Kreis MP mit dem Mittelpunkt M und Radius MP, Q ist der Schnittpunkt von Kreis MP und der
Gerade DM
14. Zeichne den Kreis NP, mit dem Mittelpunkt N und Radius NP, R ist der Schnittpunkt von Kreis NP und der
Gerade DN
15. Zeichne den Kreis PR mit dem Mittelpunkt P und Radius R
16. Zeichne den Kreis RP mit dem Mittelpunkt R und Radius P, S ist der Schnittpunkt von Kreisen PR und RP
17. Zeichne den Kreis QP mit dem Mittelpunkt Q und Radius QP, T ist der Schnittpunkt von Kreis PR und QP
18. Zeichne die Gerade NS, U ist der Schnittpunkt von NS und Kreis DO auf der Kreislinie
19. Zeichne die Gerade MT,V ist der Schnittpunkt von MT und Kreis DO auf der Kreislinie dann sind D, M, N, U, V
die Vertices vom regelmässigen Fünfeck
20. Zeichne die Gerade DU
21. Zeichne die Gerade UM
22. Zeichne die Gerade DV
23. Zeichne die Gerade VN
DUMNV ist das gewünschte Fünfeck.
Beweis:
wir befolgen den geometrischen Beweis von Euclid. Zuerst, die Gerade DF ist eine Tangente vom Kreis im Punkt D.
Dann sind die Dreiecke DHK und DLI so konstruiert, dass ihre drei Seiten den drei Seiten vom Dreieck BCG gleichen.
Aus der Proposition I.8 (SSS) folgt, dass die Winkel ∡KDH und ∡LDI gleich dem Winkel β vom Dreieck ABC im Punkt
B. Daraus lässt es sich schliessen, dass die Winkel vom Dreieck DMN in M und N dem Winkel β gleichen, denn sie
schneiden die Kreisbögen MD und ND, wobei die Kreisbögen MD und ND gleich sind, weil sie aus der Tangente DF und
den konstruierten Winkeln β entstanden. Da die Summe aller drei Winkel eines Dreiecks zwei Rechte ist, sind die
Winkel der Dreiecke DMN und ABC gleich. Insbesondere gilt β =2α, falls α der Winkel vom Dreieck DMN in D ist.
Die Punkte U und V sind durch das Halbieren von den Winkeln in M und N entstanden. Die Winkeln in M und N sind β,
d.h. der halbierte Winkel ist α. Deswegen schneiden die zwei Winkel α in N die Kreisbögen DU und UM. Der
Kreisbogen MN schneidet den Winkel α in D, und DV, VN schneiden α in M. Deshalb sind alle fünf Kreisbögen von
gleicher Länge, und die Segmente über sie sind somit auch gleich. Jeder Mittelpunktwinkel ist 2 α = β. Deshalb ist das
Fünfeck regelmässig.