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Mathe
I.
 Thema 1: Funktionen (Ganzrational- oder Exponential-)
Funktionen
Eigenschaften von Funktionen
 Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion
 Extrempunkte:
o H = Hochpunkt
T = Tiefpunkt
 Achsenabschnittpunkte:
o N = Schnittpunkt mit der x-Achse (Die Nullstelle ist der x-Wert eines solchen
Schnittpunktes.)
o S = Schnittpunkt mit der y-Achse
 Bestimmung der charakteristischen Punkte mit dem GTR
o Schnittpunkte mit x-Achse  G-Solve & Root
o Schnittpunkt mit y-Achse  G-Solve & Y-ICPT
o Hochpunkt  G-Solve & Max
o Tiefpunkt  G-Solve & Min
I.



Ganzrationale Funktionen
Definition
Eine Funktion vom Typ
nennt man ganzrationale Funktion. Die höchste vorkommende Potenz nennt man
den Grad der Funktion.
Bsp:
die Potenzen:
II.
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
 Nullstelle berechnen
 Ansatz: f(x) = 0  weil Nullstelle y = 0
 Beispiele & Substitution ----- Anwendung
 Schnittpunkt y-Achse
 bei x-Werten, immer 0 einsetzen  f(x) = f(0) = y-Achsenabschnitt
 Bespiel:
 Symmetrie
 Achsensymmetrisch zur y-Achse:
o Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion ist genau dann symmetrisch zur yAchse, wenn der Funktionsterm ausschlieβlich positive gerade Hochzahlen besitzt.
o Eine solche Funktion heiβt gerade Funktion.
o Wenn der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse ist, gilt für alle
: f(x) = f(-x)

Punktsymmetrisch zum Ursprung:
o Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion ist genau dann symmetrisch zum
Ursprung, wenn der Funktionsterm ausschlieβlich positive ungerade Hochzahlen
besitzt.
o Eine solche Funktion heiβt ungerade Funktion.
o Wenn der Graph punktsymmetrisch zum Ursprung ist, gilt für alle : f(-x) = -f(x)
 Verhalten für x  +- ∞
 Das Verhalten für x  wird vom Summanden mit der gröβten Hochzahl bestimmt.
 Bsp.:
 Verhalten in der Nähe von 0
 Nahe 0 verhält sich der Graph einer ganzrationalen Funktion f wie die Funktion
g(x) =
 Bsp.:
III.

alle Eigenschaften oben betrachten: beide Verhalten, Punkte, Symmetrie !!
IV.




Zeichnen von ganzrationaler Funktionen
Strecken, Verschieben, Spiegeln ganzrationaler Funktionen
Verschiebung des Graphen von f um d Einheiten in y-Richtung :
Verschiebung des Graphen von f um c Einheiten in x-Richtung:
Kombination: c Einheiten in x-Richtung, d Einheiten in y-Richtung:
Streckung in y-Richtung um den Streckfaktor k:
für 0 < k < 1: Stauchung
I.

Exponentialfunktionen
Definition
Formel:
II.
Eigenschaften
 keine Nullstelle
 a>1
 für x  +∞ strebt f(x)  +∞
 für x  -∞ strebt f(x)  0
 0<a<1
 für x  +∞ strebt f(x)  0
 für x  -∞ strebt f(x)  +∞
 Schnittpunkt mit y-Achse
 S(0|c)
 und
 Der Graph verläuft oberhalb der x-Achse.
III.
Funktionsbestimmung
 Beispiele
IV.
Anwendungsaufgaben
 Thema 2: Trigonometrische Funktionen
I.
II.


Winkel im Bogenmaβ
Statt in der Einheit “Grad” kann man einen Winkel auch in der Einheit „Bogenmaβ“
angeben. Das „Bogenmaβ“ entspricht der Länge des dem Winkel zugehörigen
Kreisbogens im Einheitskreis.
Formel:
III.

Sinus- und Cosinusfunktion
Wiederholung
Die Funktionen
Sinus- und Cosinusfunktionen sind periodisch. Sie haben die Periode 2π.
IV.





 Amplitude und Periode
f(x) = a * sin (b * (x-c)) + d
a: Streckung in y-Richtung um den Faktor a  Amplitude a
b: Streckung in x-Richtung um den Faktor 1/b  Periode p = 2π/b
c: Verschiebung um c in x-Richtung
d: Verschiebung um d in y-Richtung
V.





Ableitung
 Bestimmung der Tangente
f(x) = sin (x)  f’(x) = cos(x)
f(x) = cos (x)  f’(x) = - sin(x)
Punkt x gegeben
1) m  Ableitungsfunktion bestimmen – Punkt x in Funktion einsetzen
2) y  Punkt x in Originalfunktion einsetzen
3) b  Funktion nach b umsetzen – alle Informationen einsetzen – b ausrechnen
VI.

Variation der Sinusfunktion
Berechnung in beliebigen Dreiecken
 Sinussatz
Das Verhältnis zweier Seitenlängen in einem beliebigen Dreieck entspricht dem
Verhältnis der Sinuswerte der gegenüberliegenden Winkel.
 Kosinussatz
In jedem beliebigen Dreieck gilt:
 Winkel
bei 3 Buchstaben: Buchstabe in der Mitte ist Punkt  und dann gegen den
Uhrzeigersinn
 Flächeninhalt
 Thema 3: Berechnung der Körper
Zylinder
V = 𝜋𝑟 2 · h = G · h
M = 2𝜋rh
O = 2 · G + M = 2 · 𝜋𝑟 2 + 2𝜋rh
Prisma
V=G·h
M = 3ah
O=2·G+M=2·
𝑎2
4
√3 + 3ah
Quader
V=G·h=l·b·h
M = 2(ac + bc)
O=2·l·b+2·l·h+2·b·h
Pyramide
1
3
1
3
V = · G · h = · a2 · h
M = 2ahs
O=G+M
𝑎
2
𝑎
( 2 )2
hs2 = h2 + ( )2
s2 = hs2 +
Kegel
1
V = 3 · 𝜋𝑟 2 · h
M = 𝜋rs
O = G + M = 𝜋𝑟 2 + 𝜋rs
s2 = h2 + r2
Kugel
4
V = 3 𝜋r3
O= 4𝜋r2
oder
O = 2𝜋r(r+h)