3. Schriftliche Wiederholung aus Physik Donnerstag, 27. Februar 1997

3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 ak – riegler
Donnerstag, 13. Februar 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
Die Produktionsleistung bei einer chemischen Synthese verläuft nach dem Modell P(t) = at4 + bt2.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die
Daten:
t
in h
2
4
6
8
P
in L/h
3.000
5.000
8.000
1.000
4
F(a,b) =  ;
; (ati4 + bti2 – Pi)2  Min 
i=1
4
4
4
Error! = 0 
a;
; ti8 + b  ;
; ti6 =  ;
; Pi ti4 ∧
i=1
i=1
i=1
Error! = 0  a Error!ti6 + b Error!ti4 =
4
;
; Pi ti2
i=1
18 522 624 a + 312 960 b = 15 792 000 ∧ 312 960 a + 5664 b = 444 000  a = –7,105 b = 471
P(t) = 471 t2 – 7,1 t4
2.
b)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t 2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie die maximale Produktionsleistung und den Zeitpunkt, zu dem diese Leistung auftritt.
Geben Sie ein vernünftiges Zeitintervall für dieses Modell an. Begründen Sie ihre Wahl.
Error! = 4 800 t – 24 t3 = 0 folg = 0  t1,2 =  14,14 P(t) = 0  t1,2 =  20
Vernünftiges Intervall ist 0 ≤ t ≤ 20, weil der Synthesebeginn mit t = 0 definiert ist und für t > 20 die PWerte negativ werden.
daher: MAX (14,14 / 240 000)
Die maximale Produktionsleistung tritt 14,14 h nach Beginn auf und beträgt 240 000 L.
a)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t 2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Der Funktionsgraph dieser Funktion ist symmetrisch bzgl. der y-Achse. Kreuzen Sie die fachlich
richtigen Begründungen für diese Tatsache an:
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur Exponenten > 0 vorkommen.
Die Funktion ist symmetrisch, weil algebraische Funktionen grundsätzlich symmetrisch sind.
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur geradzahlige Exponenten vorkommen und daher P(–t)
= P(t) ist.
Die Funktion ist symmetrisch, weil die geradzahligen Exponenten die Information über das
Vorzeichen der Argumente löschen, d.h. alle Summanden in der Angabe immer positive Werte
annehmen, gleichgültig ob t positive oder negative Werte annimmt.
b)
x
x
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t 2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M(t), wenn M(0) = 0 ist.
Der Prozess endet zum Zeitpunkt t = 20. Berechnen Sie die Gesamtmenge.
Die Substanz in den letzten zwei Stunden der Produktion sind unbrauchbar. Berechnen Sie den Anteil der
brauchbaren Menge in Prozent.
M(t) = Error! = 800 t3 – 1,2 t5
M(20) = 2 560 000 L M(18) = 2 398 118,4 L
2 398 118
Anteil =
= 0,937
4;2 560 000
Es werden in zwanzig Stunden 2 560 000 L produziert, der Anteil der brauchbaren Substanz ist
93,7 %
3.
a)
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km. Berechnen Sie aus folgenden Daten
durch Regression den Parameter k:
r
L
in km
in W/m2
y = Error! =
10
30
Error! = a r2
20
10
30
3
F(a) = Error!(a ri2 – y)2  Min. 
Error!= 0  a Error!ri4
3
=;
; y2ri2
i=1
980 000 a = 343,33  k =
b)
980 000;343
= 2 854
33
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!. L ist dabei die
Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km.
Berechnen Sie die Strahlungsdichte in 50 km Entfernung. Berechnen Sie, in welcher Entfernung die
Strahlungsdichte auf 0,64 W/m2 abgefallen ist.
L(50) = 1 W/m2 0,64 = Error!  r = 62,5 km
in 50 km ist die Strahlungsdichte 1 W/m2, in 62,5 km nur mehr 0,64 W/m2.
4.
a)
Der Absatz q (in ME) eines Produktes ist vom verlangten Preis p (in GE/ME) abhängig. Eine
Beraterfirma ermittelt Werte wie folgt:
p
in GE/ME
5
6
7
8
q
in ME
100
80
50
20
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Funktion der Form q(p) = ap 3 + bp2 + c
a  p6 + b  p5 + c  p3 =  q p3
a  p5 + b  p4 + c  p2 =  q p2
a  p3 + b  p2 + c  1 =  q
 442 074 a + 60 476 b + 1 196 c = 57 170
 60 476 a + 8 418 b + 174 c = 9 110

1 196 a +
174 b +
4 c = 250
q(p) = –0,036 p3 – 1,723 p2 + 148
b)
Der Zusammenhang zwischen Absatz q (in ME) und Preis p (in GE/ME) wurde durch Daten im
Preisbereich zwischen 4 und 6 GE/ME ermittelt und beträgt: q(p) = 150 – 1,7p2 – 0,04p3.
Berechnen Sie den Preis für den man einen Absatz von 100 ME erzielen kann.
Nach dem Modell ist der Prohibitivpreis 8,6 GE/ME, d.h. bei einem Preis von 8,6 GE/ME wird kein
Absatz mehr erzielt. Argumentieren Sie, warum diese Aussage mit Vorsicht zu genießen ist.
100 = q(p)  p = 5,12 als einzig relevante Lösung.
Der Preis 8,6 GE/ME liegt außerhalb des Datenbereichs. Es handelt sich also um Extrapolation.
Diese ist eigentlich nicht zulässig.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 ak – riegler
Donnerstag, 13. Februar 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
a)
Die Produktionsleistung bei einer chemischen Synthese verläuft nach dem Modell P(t) = at4 + bt2.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die
Daten:
t
in h
2
4
6
8
P
in L/h
2.000
5.000
8.000
1.000
4
F(a,b) =  ;
; (ati4 + bti2 – Pi)2  Min 
i=1
4
4
4
Error! = 0 
a;
; ti8 + b  ;
; ti6 =  ;
; Pi ti4 ∧
i=1
i=1
i=1
Error! = 0  a Error!ti6 + b Error!ti4 =
4
;
; Pi ti2
i=1
18 522 624 a + 312 960 b = 15 776 000 ∧ 312 960 a + 5664 b = 440 000  a = –6,938 b = 461
P(t) = 461 t2 – 6,9 t4
2.
b)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t 2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie die maximale Produktionsleistung und den Zeitpunkt, zu dem diese Leistung auftritt.
Geben Sie ein vernünftiges Zeitintervall für dieses Modell an. Begründen Sie ihre Wahl.
Error! = 240 t – 2,4 t3 = 0 folg = 0  t1,2 =  14,14 P(t) = 0  t1,2 =  20
Vernünftiges Intervall ist 0 ≤ t ≤ 20, weil der Synthesebeginn mit t = 0 definiert ist und für t > 20 die PWerte negativ werden.
daher: MAX (14,14 / 24 000)
Die maximale Produktionsleistung tritt 14,14 h nach Beginn auf und beträgt 24 000 L.
a)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t 2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Der Funktionsgraph dieser Funktion ist symmetrisch bzgl. der y-Achse. Kreuzen Sie die fachlich
richtigen Begründungen für diese Tatsache an:
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur geradzahlige Exponenten vorkommen und daher
P(–t) = P(t) ist.
x
Die Funktion ist symmetrisch, weil algebraische Funktionen grundsätzlich symmetrisch sind.
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur Exponenten > 0 vorkommen.
Die Funktion ist symmetrisch, weil die geradzahligen Exponenten die Information über das
Vorzeichen der Argumente löschen, d.h. alle Summanden in der Angabe immer positive Werte
annehmen, gleichgültig ob t positive oder negative Werte annimmt.
b)
x
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t 2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M(t), wenn M(0) = 0 ist.
Der Prozess endet zum Zeitpunkt t = 20. Berechnen Sie die Gesamtmenge.
Die Substanz in den letzten zwei Stunden der Produktion sind unbrauchbar. Berechnen Sie den Anteil der
brauchbaren Menge in Prozent.
M(t) = Error! = 80 t3 – 0,12 t5
M(20) = 256 000 L M(18) = 239 811,8 L
239 811
Anteil =
= 0,937
84;256 000
Es werden in zwanzig Stunden 256 000 L produziert, der Anteil der brauchbaren Substanz ist 93,7
%
3.
a)
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km. Berechnen Sie aus folgenden Daten
durch Regression den Parameter k:
r
P
in km
in W/m2
y = Error! =
Error! = a r2
10
40
20
10
30
3
F(a) = Error!(a ri2 – y)2  Min. 
Error!= 0  a Error!ri4
3
=;
; y2ri2
i=1
980 000 a = 342,5  k =
4.
980 000;342
= 2 861
5
b)
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km.
Berechnen Sie die Strahlungsdichte in 100 km Entfernung. Berechnen Sie, in welcher Entfernung die
Strahlungsdichte auf 1 W/m2 abgefallen ist.
L(100) = 025 W/m2 1 = Error!  r = 50 km
in 100 km ist die Strahlungsdichte 0,25 W/m2, in 50 km nur mehr 1 W/m2.
a)
Der Absatz q (in ME) eines Produktes ist vom verlangten Preis p (in GE/ME) abhängig. Eine
Beraterfirma ermittelt Werte wie folgt:
p
in GE/ME
5
6
7
8
q
in ME
100
80
50
20
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Funktion der Form q(p) = ap 3 + bp2 + c
a  p6 + b  p5 + c  p3 =  q p3
a  p5 + b  p4 + c  p2 =  q p2
a  p3 + b  p2 + c  1 =  q
 442 074 a + 60 476 b + 1 196 c = 57 170
 60 476 a + 8 418 b + 174 c = 9 110

1 196 a +
174 b +
4 c = 250
q(p) = –0,036 p3 – 1,723 p2 + 148
b)
Der Zusammenhang zwischen Absatz q (in ME) und Preis p (in GE/ME) wurde durch Daten im
Preisbereich zwischen 4 und 6 GE/ME ermittelt und beträgt: q(p) = 150 – 1,7p2 – 0,04p3.
Berechnen Sie den Preis für den man einen Absatz von 100 ME erzielen kann.
Nach dem Modell ist der Prohibitivpreis 8,6 GE/ME, d.h. bei einem Preis von 8,6 GE/ME wird kein
Absatz mehr erzielt. Argumentieren Sie, warum diese Aussage mit Vorsicht zu genießen ist.
100 = q(p)  p = 5,12 als einzig relevante Lösung.
Der Preis 8,6 GE/ME liegt außerhalb des Datenbereichs. Es handelt sich also um Extrapolation.
Diese ist eigentlich nicht zulässig.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 ak – riegler
Donnerstag, 13. Februar 2014
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
3.
4.
a)
Die Produktionsleistung bei einer chemischen Synthese verläuft nach dem Modell P(t) = at 4 + bt2.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die
Daten:
t
in h
2
4
6
8
P
in L/h
3.000
5.000
8.000
1.000
b)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t 2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie die maximale Produktionsleistung und den Zeitpunkt, zu dem diese Leistung auftritt.
Geben Sie ein vernünftiges Zeitintervall für dieses Modell an. Begründen Sie ihre Wahl.
a)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Der Funktionsgraph dieser Funktion ist symmetrisch bzgl. der y-Achse. Kreuzen Sie die fachlich
richtigen Begründungen für diese Tatsache an:
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur Exponenten > 0 vorkommen.
Die Funktion ist symmetrisch, weil algebraische Funktionen grundsätzlich symmetrisch sind.
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur geradzahlige Exponenten vorkommen und daher P(–t)
= P(t) ist.
Die Funktion ist symmetrisch, weil die geradzahligen Exponenten die Information über das
Vorzeichen der Argumente löschen, d.h. alle Summanden in der Angabe immer positive Werte
annehmen, gleichgültig ob t positive oder negative Werte annimmt.
b)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 2 400 t2 – 6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M(t), wenn M(0) = 0 ist.
Der Prozess endet zum Zeitpunkt t = 20. Berechnen Sie die Gesamtmenge.
Die Substanz in den letzten zwei Stunden der Produktion sind unbrauchbar. Berechnen Sie den Anteil der
brauchbaren Menge in Prozent.
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km. Berechnen Sie aus folgenden Daten
durch Regression den Parameter k:
r
in km
10
20
30
P
in W/m2
30
10
3
a)
b)
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km.
Berechnen Sie die Strahlungsdichte in 50 km Entfernung. Berechnen Sie, in welcher Entfernung die
Strahlungsdichte auf 0,64 W/m2 abgefallen ist.
a)
Der Absatz q (in ME) eines Produktes ist vom verlangten Preis p (in GE/ME) abhängig. Eine
Beraterfirma ermittelt Werte wie folgt:
p
in GE/ME
5
6
7
8
q
in ME
100
80
50
20
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Funktion der Form q(p) = ap 3 + bp2 + c
b)
Der Zusammenhang zwischen Absatz q (in ME) und Preis p (in GE/ME) wurde durch Daten im
Preisbereich zwischen 4 und 6 GE/ME ermittelt und beträgt: q(p) = 150 – 1,7p2 – 0,04p3.
Berechnen Sie den Preis für den man einen Absatz von 100 ME erzielen kann.
Nach dem Modell ist der Prohibitivpreis 8,6 GE/ME, d.h. bei einem Preis von 8,6 GE/ME wird kein
Absatz mehr erzielt. Argumentieren Sie, warum diese Aussage mit Vorsicht zu genießen ist.
3. Lernzielkontrolle aus Mathematik
5 ak – riegler
Donnerstag, 13. Februar 2014
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
1.
2.
a)
Die Produktionsleistung bei einer chemischen Synthese verläuft nach dem Modell P(t) = at 4 + bt2.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie nach der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion für die
Daten:
t
in h
2
4
6
8
P
in L/h
2.000
5.000
8.000
1.000
b)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t 2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie die maximale Produktionsleistung und den Zeitpunkt, zu dem diese Leistung auftritt.
Geben Sie ein vernünftiges Zeitintervall für dieses Modell an. Begründen Sie ihre Wahl.
a)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t 2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Der Funktionsgraph dieser Funktion ist symmetrisch bzgl. der y-Achse. Kreuzen Sie die fachlich
richtigen Begründungen für diese Tatsache an:
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur geradzahlige Exponenten vorkommen und daher
P(–t) = P(t) ist.
Die Funktion ist symmetrisch, weil algebraische Funktionen grundsätzlich symmetrisch sind.
Die Funktion ist symmetrisch, weil nur Exponenten > 0 vorkommen.
Die Funktion ist symmetrisch, weil die geradzahligen Exponenten die Information über das
Vorzeichen der Argumente löschen, d.h. alle Summanden in der Angabe immer positive Werte
annehmen, gleichgültig ob t positive oder negative Werte annimmt.
b)
3.
4.
a)
Die Produktionsleistung einer chemischen Analyse verläuft nach P(t) = 240 t2 – 0,6 t4.
t in Stunden (h) nach Beginn, P in Liter pro Stunden (L/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtmenge M(t), wenn M(0) = 0 ist.
Der Prozess endet zum Zeitpunkt t = 20. Berechnen Sie die Gesamtmenge.
Die Substanz in den letzten zwei Stunden der Produktion sind unbrauchbar. Berechnen Sie den Anteil der
brauchbaren Menge in Prozent.
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km. Berechnen Sie aus folgenden Daten
durch Regression den Parameter k:
r
in km
10
20
30
P
in W/m2
40
10
3
b)
Die Leistungsdichte L von Strahlung in Materie gehorcht dem Gesetz L(r) = Error!.
L ist dabei die Leistungsdichte in W/m2 und r die Entfernung in km.
Berechnen Sie die Strahlungsdichte in 100 km Entfernung. Berechnen Sie, in welcher Entfernung die
Strahlungsdichte auf 1 W/m2 abgefallen ist.
a)
Der Absatz q (in ME) eines Produktes ist vom verlangten Preis p (in GE/ME) abhängig. Eine
Beraterfirma ermittelt Werte wie folgt:
p
in GE/ME
5
6
7
8
q
in ME
100
80
50
20
Berechnen Sie mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate eine Funktion der Form q(p) = ap 3 + bp2 + c
b)
Der Zusammenhang zwischen Absatz q (in ME) und Preis p (in GE/ME) wurde durch Daten im
Preisbereich zwischen 4 und 6 GE/ME ermittelt und beträgt: q(p) = 150 – 1,7p2 – 0,04p3.
Berechnen Sie den Preis für den man einen Absatz von 100 ME erzielen kann.
Nach dem Modell ist der Prohibitivpreis 8,6 GE/ME, d.h. bei einem Preis von 8,6 GE/ME wird kein
Absatz mehr erzielt. Argumentieren Sie, warum diese Aussage mit Vorsicht zu genießen ist.