2. SA

2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ak - löffler
Mittwoch, 18. März 2015
Gruppe A
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Verkehr
Die Schallemission S entlang einer Straße wird gemessen und ihre Abhängigkeit von der Entfernung d
zur Straße erfasst:
Entfernung d in Meter (km)
Schalldruck in Pascal (pa)
0,5
40
1
20
2
5
Der Zusammenhang zwischen S und d sei S(d) = Error!. k ist dabei eine für die Situation spezifische
Konstante. Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion
dieser Form und die Größe von k.
Substitution y = Error! = a d2

y = 0,0502 d2
daher S(d) =
Error!
b)
Die Straßenbaugesellschaft befragt zwei mal je 500 Personen zu den Schallschutzmaßnahmen. In der
ersten Befragung waren 450 Leute dafür, in der zweiten nur mehr 420. Berechnen Sie die beiden
Konfidenzintervalle für den wahren Anteil der Pro-Leute mit z = 2. Geben Sie die
Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Interpretieren Sie, ob bzw. wie sich die Meinung der Leute geändert hat.
1. Befragung: p12 = 0,9  2 Error! = 0,9  0,027
daher [87,3 / 92,7 ]
2. Befragung: p12 = 0,84  2 Error! = 0,84  0,033
daher [80,7 / 87,3 ]
Signifikanzniveau = 2 (2) – 1 = 95,5 %
die beiden Konfidenzintervalle schneiden einander nicht, daher Meinungsänderung
c)
Die Verkehrsbelastung dieser Straße pro Tag ist normalverteilt um den Mittelwert µ = 30 000. Die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 000 Fahrzeuge pro Tag gezählt werden, sei nur mehr 2 %.
Berechnen Sie die Streuung.
W(x > 40 000) = 1 – (40 000, 30 000, s) = 0,02  s = 4 869
d)
Nur zwei der folgenden Aussagen für die nebenstehende Dichte einer
Normalverteilung sind korrekt. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
Der Mittelwert der Verteilung ist 6
Werte größer als 9 kommen praktisch nicht vor
Werte größer als 10 haben die Wahrscheinlichkeit 0, kommen also
auch theoretisch nicht vor
Die Wahrscheinlichkeit für x > 7 ist größer als für x < 4
Die Wahrscheinlichkeit für x ≤ 5 ist genau 50 %
X
X
A
Beispiel 2:
a)
Verkehr
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = at 4 + bt3 + ct2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Gemessen wurde:
Uhrzeit
6:00
8:00
12:00
18:00
Verkehrsdichte in F/h
300
200
100
500
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für diese Daten.
11 468 399 104 a + 650 428 928b + 37 307 008 c = 55 769 600
650 428 928 a + 37 307 008 b + 2 178 944 c = 3 256 000
37 307 008 a + 2 178 944 b + 131 104 c = 200 000
V(t) = 0,1t4 – 2,84t3 + 20,3t2
b)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße
verläuft wie V(t) = t4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die
Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie, wann die Verkehrsbelastung
maximal ist und die Größe dieses Wertes.
Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion im
Bereich 0 ≤ t ≤ 17
Error! = 4t3 – 84t2 + 400 t = 0
t1 = 0 mit V(0) = 0
t2 = 7,3 mit V(7,3) = 2 605 → Maximum
t3 = 13,7 mit V(13,7) = 767,7
c)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtbelastung für einen Tag. Berechnen Sie die
Gesamtbelastung zwischen 6:00 Uhr und 15:00 Uhr.
G(t) = Error! = 0,2t5 – 7t4 + 66,67t3 + C
G(15) – G(6) = Error! = 15 617 FZ
d)
Am Morgen startet die Verkehrsbelastung V(t), t in Stunden, V in Fahrzeugen pro Stunde (F/h) wie
V(t) = Error! mit t ∈ [0 / 3]. Berechnen Sie die Parameter dieser Funktion so, dass V gegen 50
konvergiert und nach 2 Stunden 80 % der Maximalbelastung erreicht ist. Stellen Sie die
Funktionsgleichung mit ganzzahligen Parametern im Zähler und Nenner des Bruches dar.
lim;
V(t) = a = 50
V(2) = 0,8 · 50 = 40 = Error!  80 + 40b = 100  40 b = 20  b =
t→∞
0,5
V(t) =
A
mit G(0) = 0  C = 0
50 t; t + 0
=
5
Error!
Beispiel 3:
a)
Reinigung
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil
verringerts sich dabei exponentiell. Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Berechnen Sie für diese Daten eine exponentielle Regression für die Funktion S(t).
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Argumentieren Sie, ob diese Funktion die vorliegenden
Daten gut oder schlecht modelliert.
S(t) = 17,321 e–0,276 t
mit r = –99,5 %
sehr gute Anpassung
b)
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil S(t) – S
in Prozent, t in Minuten - verringerts sich dabei mit S(t) = 17 · e–0,3 t.
Berechnen Sie
die Halbierungszeit des Verschmutzungsgrades
die relative Verminderungsrate für eine, bzw. 10 Minuten.
Als „rein“ gilt der Behälter bei einer Verschmutzung unter 0,5 %. Berechnen Sie wann der Behälter rein
ist.
0,5 = e–0,3 τ  τ = 2,3 Minuten
e–0,3 = 0,74 also –26%
e–3 = 0,05 also – 95 %
–0,3 t
0,5 = 17 e
 t = 11,8 Minuten
c)
Der Spülvorgang beim Reinigen eines Behälters verläuft exponentiell mit einer Halbierungszeit von 7
Minuten. Die Zeit wird dabei in Minuten gemessen, die Verschmutzung in Prozent, wobei die
Anfangsverschmutzung nicht 100 % beträgt.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn er nur mehr eine Verschmutzung von 2 % aufweist. Diese Reinigung
dauert 20 Minuten. 3 der folgenden Aussagen sind richtig. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an:
Bis zum Verschmutzungsgrad 0 muss man 27 Minuten spülen
In jeweils 7 Minuten verringert sich der Verschmutzungsgrad um 20 %
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 1 % haben möchte, verlängert sich die Reinigungszeit
um 7 Minuten.
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 4 % toleriert, braucht man nur mehr 13 Minuten zu
reinigen.
Die relative Verringerungsrate des Verschmutzungsgrades ist konstant und man kann sie mit dem
Ansatz 0,5 = (1 + x)7 berechnen
d)
X
X
X
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt.
Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Vom Betrieb wird ein lineares Modell für den Verschmutzungsgrad angewendet.
Berechnen Sie die Gleichung durch Regression und den Korrelationskoeffizient.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn der Verschmutzungsgrad unter 2 % sinkt. Berechnen Sie, wie lange
das dauert. Wenn man 10 Minuten lang spült, ergibt die Regressionsgleichung einen Verschmutzungsgrad
von –1,5 %, ein Wert, der natürlich unsinnig ist. Argumentieren Sie, welcher Fehler dabei aufgetreten ist.
S(t) = 12 – 1,35t mit r = –97 %
2 = 12 – 1,35 t  t = 7,4 Minuten
also sehr gut
Extrapolation
A
Beispiel 4:
a)
Kosten
Die folgende Tabelle gibt die Kosten und den Erlös für die Produktion eines Produktes an. Kosten in GE,
Menge in ME.
Produzierte Menge in ME
Kosten in GE
Erlös in GE
2
800
600
5
1300
1200
7
1800
2300
10
2600
3000
Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion durch Regression. Verwenden Sie dabei
ein möglichst einfaches mathematisches Modell (also einen Polynomansatz von möglichst geringem
Grad).
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Erlösfunktion mit konstantem Preis.
K(x) = 10x2 + 106,5 x + 541
E(x) = 299,4 x
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 100x + 490 und den konstanten Preis p = 300.
Die Kapazität des Betriebes beträgt 20 ME.
Berechnen Sie
die langfristige Preisuntergrenze
die Gewinngrenzen
den maximalen Gewinn
und geben Sie die Produktionsmenge als Beschäftigungsgrad (also in Prozent der Kapazität an)
–
K; (x) = 10x + 100 + Error! Error! = 10 – Error! = 0  x = BO = 7 mit LPU = Error!
(7) = 240 GE/ME
E(x) = K(x)  x1 = 2,86 ME = 14,3 % und x2 = 17,14 ME = 85,7 %
Maximum von G(x )
c)
d)
E‘ = K‘

x = 10 ME = 50 % BG mit Gmax(10) = 510 ME.
Bei einem linear-progressiven Kostenverlauf verläuft der erste Teil der Kosten mit konstanten
Grenzkosten und der Kostenverlauf geht dann in eine zumindest quadratische Kostenfunktion stetig über.
Berechnen Sie die Gleichung eines quadratischen Modells einer Kostenfunktion, wenn die Grenzkosten
bis zur Produktionsmenge 8 ME mit 300 GE/ME konstant sind. Die Fixkosten sind 1000 GE.
Der Übergang in den progressiven Teil verläuft stetig und stetig differenzierbar. Die Grenzkosten im
progressiven Teil betragen bei einer Produktion von 20 ME 600 GE/ME.
K1(x) = 300x + 1000
K1(8) = 3 400 es gilt: K1(8) = K2(8)
K1‘(8) = K2‘(8) K2‘(20) = 600
64a + 8b + c = 3 400
16a + b = 300 40a + b = 600
K2(x) = 12,5 x2 + 100x + 1800
Der Zusammenhang zwischen Preis p (in GE/ME) und Menge x (ME) sei wie p(x) = Error!.
Berechnen Sie für folgende Daten eine möglichst gut passende Funktion dieser Form:
Menge
Preis
1
100
3
60
4
50
Berechnen Sie dann für p(x) = Error! den Prohibitivpreis. Interpretieren Sie den Begriff
Sättigungsmenge für diese Nachfragefunktion. Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion.
Berechnen Sie den maximalen Erös.
Substitution mit y = Error! = ax +b  y = 0,0333x + 0,00667
daher p(x) = Error! = Error!
Prohibitivpreis = 150 GE/ME = p(0)
Es existiert keine Sättigungsmenge, weil die Funktion keine Nullstellen hat, der Preis konvergiert
gegen 0
E(x) = Error! konvergiert gegen 300
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ak - löffler
Mittwoch, 18. März 2015
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Verkehr
Die Schallemission S entlang einer Straße wird gemessen und ihre Abhängigkeit von der Entfernung d
zur Straße erfasst:
Entfernung d in Meter (km)
Schalldruck in Pascal (pa)
0,5
20
1
10
2
2,5
Der Zusammenhang zwischen S und d sei S(d) = Error!. k ist dabei eine für die Situation spezifische
Konstante. Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion
dieser Form und die Größe von k.
Substitution y = Error! = a d2

y = 0,1 d2
daher S(d) =
Error!
b)
Die Straßenbaugesellschaft befragt zwei mal je 1 000 Personen zu den Schallschutzmaßnahmen. In der
ersten Befragung waren 900 Leute dafür, in der zweiten nur mehr 840. Berechnen Sie die beiden
Konfidenzintervalle für den wahren Anteil der Pro-Leute mit z = 2. Geben Sie die
Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Interpretieren Sie, ob bzw. wie sich die Meinung der Leute geändert hat.
1. Befragung: p12 = 0,9  2 Error! = 0,9  0,019
daher [88,1 / 91,9 ]
2. Befragung: p12 = 0,84  2 Error! = 0,84  0,023
daher [81,7 / 86,3 ]
Signifikanzniveau = 2 (2) – 1 = 95,5 %
die beiden Konfidenzintervalle schneiden einander nicht, daher Meinungsänderung
c)
Die Verkehrsbelastung dieser Straße pro Tag ist normalverteilt um den
Mittelwert µ = 30 000. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 000
Fahrzeuge pro Tag gezählt werden, sei nur mehr 3 %. Berechnen Sie die
Streuung.
W(x > 40 000) = 1 – (40 000, 30 000, s) = 0,03  s = 5 317
d)
Nur zwei der folgenden Aussagen für die nebenstehende Dichte einer
Normalverteilung sind korrekt. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
Die Wahrscheinlichkeit für x ≤ 5 ist genau 50 %
Werte größer als 9 kommen praktisch nicht vor
Werte größer als 10 haben die Wahrscheinlichkeit 0, kommen also auch theoretisch nicht vor
Die Wahrscheinlichkeit für x > 7 ist größer als für x < 4
Der Mittelwert der Verteilung ist 6
X
X
B
Beispiel 2:
a)
Verkehr
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = at 4 + bt3 + ct2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Gemessen wurde:
Uhrzeit
6:00
8:00
12:00
18:00
Verkehrsdichte in F/h
300
200
100
500
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für diese Daten.
11 468 399 104 a + 650 428 928b + 37 307 008 c = 55 769 600
650 428 928 a + 37 307 008 b + 2 178 944 c = 3 256 000
37 307 008 a + 2 178 944 b + 131 104 c = 200 000
V(t) = 0,1t4 – 2,84t3 + 20,3t2
b)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße
verläuft wie V(t) = t4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die
Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie, wann die Verkehrsbelastung
maximal ist und die Größe dieses Wertes.
Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion im
Bereich 0 ≤ t ≤ 17
Error! = 4t3 – 84t2 + 400 t = 0
t1 = 0 mit V(0) = 0
t2 = 7,3 mit V(7,3) = 2 605 → Maximum
t3 = 13,7 mit V(13,7) = 767,7
c)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 300t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtbelastung für einen Tag. Berechnen Sie die
Gesamtbelastung zwischen 6:00 Uhr und 15:00 Uhr.
G(t) = Error! = 0,2t5 – 7t4 + 100t3 + C
G(15) – G(6) = Error! = 120 917 FZ
d)
Am Morgen startet die Verkehrsbelastung V(t), t in Stunden, V in Fahrzeugen pro Stunde (F/h) wie
V(t) = Error! mit t ∈ [0 / 3]. Berechnen Sie die Parameter dieser Funktion so, dass V gegen 40
konvergiert und nach 2 Stunden 80 % der Maximalbelastung erreicht ist. Stellen Sie die
Funktionsgleichung mit ganzzahligen Parametern im Zähler und Nenner des Bruches dar.
lim;
V(t) = a = 40
V(2) = 0,8 · 40 = 32 = Error!  64 + 32b = 80  32 b = 16  b =
t→∞
0,5
V(t) =
B
mit G(0) = 0  C = 0
40 t; 0
=
5+t
Error!
Beispiel 3:
a)
Reinigung
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil
verringerts sich dabei exponentiell. Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
20
4
12
6
6
8
4
Berechnen Sie für diese Daten eine exponentielle Regression für die Funktion S(t).
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Argumentieren Sie, ob diese Funktion die vorliegenden
Daten gut oder schlecht modelliert.
S(t) = 34,6 e–0,276 t
b)
mit r = –99,5 %
sehr gute Anpassung
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil S(t) – S
in Prozent, t in Minuten - verringerts sich dabei mit S(t) = 34 · e–0,3 t.
Berechnen Sie
die Halbierungszeit des Verschmutzungsgrades
die relative Verminderungsrate für eine, bzw. 3 Minuten.
Als „rein“ gilt der Behälter bei einer Verschmutzung unter 0,5 %. Berechnen Sie wann der Behälter rein
ist.
0,5 = e–0,3 τ  τ = 2,3 Minuten
e–0,3 = 0,74 also –26%
–0,3 t
0,5 = 34 e
 t = 14 Minuten
c)
e–0,9 = 0,41 also – 51 %
Der Spülvorgang beim Reinigen eines Behälters verläuft exponentiell mit einer Halbierungszeit von 7
Minuten. Die Zeit wird dabei in Minuten gemessen, die Verschmutzung in Prozent, wobei die
Anfangsverschmutzung nicht 100 % beträgt.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn er nur mehr eine Verschmutzung von 2 % aufweist. Diese Reinigung
dauert 20 Minuten. 3 der folgenden Aussagen sind richtig. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an:
Bis zum Verschmutzungsgrad 0 muss man 27 Minuten spülen
In jeweils 7 Minuten verringert sich der Verschmutzungsgrad um 20 %
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 1 % haben möchte, verlängert sich die Reinigungszeit
um 7 Minuten.
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 4 % toleriert, braucht man nur mehr 13 Minuten zu
reinigen.
Die relative Verringerungsrate des Verschmutzungsgrades ist konstant und man kann sie mit dem
Ansatz 0,5 = (1 + x)7 berechnen
d)
X
X
X
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt.
Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Vom Betrieb wird ein lineares Modell für den Verschmutzungsgrad angewendet.
Berechnen Sie die Gleichung durch Regression und den Korrelationskoeffizient.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn der Verschmutzungsgrad unter 2 % sinkt. Berechnen Sie, wie lange
das dauert. Wenn man 10 Minuten lang spült, ergibt die Regressionsgleichung einen Verschmutzungsgrad
von –1,5 %, ein Wert, der natürlich unsinnig ist. Argumentieren Sie, welcher Fehler dabei aufgetreten ist.
S(t) = 12 – 1,35t mit r = –97 %
2 = 12 – 1,35 t  t = 7,4 Minuten
also sehr gut
Extrapolation
B
Beispiel 4:
a)
Kosten
Die folgende Tabelle gibt die Kosten und den Erlös für die Produktion eines Produktes an. Kosten in GE,
Menge in ME.
Produzierte Menge in ME
Kosten in GE
Erlös in GE
2
80
60
5
130
120
7
180
230
10
260
300
Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion durch Regression. Verwenden Sie dabei
ein möglichst einfaches mathematisches Modell (also einen Polynomansatz von möglichst geringem
Grad).
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Erlösfunktion mit konstantem Preis.
K(x) = x2 + 10,65 x + 54,1
E(x) = 29,94 x
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 100x + 490 und den konstanten Preis p = 300.
Die Kapazität des Betriebes beträgt 20 ME.
Berechnen Sie
die langfristige Preisuntergrenze
die Gewinngrenzen
den maximalen Gewinn
und geben Sie die Produktionsmenge als Beschäftigungsgrad (also in Prozent der Kapazität an)
–
K; (x) = 10x + 100 + Error! Error! = 10 – Error! = 0  x = BO = 7 mit LPU = Error!
(7) = 240 GE/ME
E(x) = K(x)  x1 = 2,86 ME = 14,3 % und x2 = 17,14 ME = 85,7 %
Maximum von G(x )
c)
d)
E‘ = K‘

x = 10 ME = 50 % BG mit Gmax(10) = 510 ME.
Bei einem linear-progressiven Kostenverlauf verläuft der erste Teil der Kosten mit konstanten
Grenzkosten und der Kostenverlauf geht dann in eine zumindest quadratische Kostenfunktion stetig über.
Berechnen Sie die Gleichung eines quadratischen Modells einer Kostenfunktion, wenn die Grenzkosten
bis zur Produktionsmenge 8 ME mit 300 GE/ME konstant sind. Die Fixkosten sind 1000 GE.
Der Übergang in den progressiven Teil verläuft stetig und stetig differenzierbar. Die Grenzkosten im
progressiven Teil betragen bei einer Produktion von 20 ME 600 GE/ME.
K1(x) = 300x + 1000
K1(8) = 3 400 es gilt: K1(8) = K2(8)
K1‘(8) = K2‘(8) K2‘(20) = 600
64a + 8b + c = 3 400
16a + b = 300 40a + b = 600
K2(x) = 12,5 x2 + 100x + 1800
Der Zusammenhang zwischen Preis p (in GE/ME) und Menge x (ME) sei wie p(x) = Error!.
Berechnen Sie für folgende Daten eine möglichst gut passende Funktion dieser Form:
Menge
Preis
1
100
3
60
4
50
Berechnen Sie dann für p(x) = Error! den Prohibitivpreis. Interpretieren Sie den Begriff
Sättigungsmenge für diese Nachfragefunktion. Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion.
Berechnen Sie den maximalen Erös.
Substitution mit y = Error! = ax +b  y = 0,0333x + 0,00667
daher p(x) = Error! = Error!
Prohibitivpreis = 150 GE/ME = p(0)
Es existiert keine Sättigungsmenge, weil die Funktion keine Nullstellen hat, der Preis konvergiert
gegen 0
E(x) = Error! konvergiert gegen 300
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ak - löffler
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Mittwoch, 18. März 2015
Gruppe A
Beispiel 1:
a)
Verkehr
Die Schallemission S entlang einer Straße wird gemessen und ihre Abhängigkeit von der Entfernung d
zur Straße erfasst:
Entfernung d in Meter (km)
Schalldruck in Pascal (pa)
0,5
40
1
20
2
5
Der Zusammenhang zwischen S und d sei S(d) = Error!. k ist dabei eine für die Situation spezifische
Konstante. Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion
dieser Form und die Größe von k.
b)
Die Straßenbaugesellschaft befragt zwei mal je 500 Personen zu den Schallschutzmaßnahmen. In der
ersten Befragung waren 450 Leute dafür, in der zweiten nur mehr 420. Berechnen Sie die beiden
Konfidenzintervalle für den wahren Anteil der Pro-Leute mit z = 2. Geben Sie die
Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Interpretieren Sie, ob bzw. wie sich die Meinung der Leute geändert hat.
c)
Die Verkehrsbelastung dieser Straße pro Tag ist normalverteilt um den
Mittelwert µ = 30 000. Die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 000
Fahrzeuge pro Tag gezählt werden, sei nur mehr 2 %. Berechnen Sie die
Streuung.
d)
Nur zwei der folgenden Aussagen für die nebenstehende Dichte einer
Normalverteilung sind korrekt. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
Der Mittelwert der Verteilung ist 6
Werte größer als 9 kommen praktisch nicht vor
Werte größer als 10 haben die Wahrscheinlichkeit 0, kommen also auch theoretisch nicht vor
Die Wahrscheinlichkeit für x > 7 ist größer als für x < 4
Die Wahrscheinlichkeit für x ≤ 5 ist genau 50 %
Beispiel 2:
a)
Verkehr
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = at 4 + bt3 + ct2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Gemessen wurde:
Uhrzeit
6:00
8:00
12:00
18:00
Verkehrsdichte in F/h
300
200
100
500
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für diese Daten.
b)
A
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie, wann die Verkehrsbelastung maximal ist und die Größe dieses Wertes.
Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion im Bereich 0 ≤ t ≤ 16
c)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtbelastung für einen Tag. Berechnen Sie die
Gesamtbelastung zwischen 6:00 Uhr und 15:00 Uhr.
d)
Am Morgen startet die Verkehrsbelastung V(t), t in Stunden, V in Fahrzeugen pro Stunde (F/h) wie
V(t) = Error! mit t ∈ [0 / 3]. Berechnen Sie die Parameter dieser Funktion so, dass V gegen 50
konvergiert und nach 2 Stunden 80 % der Maximalbelastung erreicht ist. Stellen Sie die
Funktionsgleichung mit ganzzahligen Parametern im Zähler und Nenner des Bruches dar.
Beispiel 3:
a)
Reinigung
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil
verringerts sich dabei exponentiell. Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Berechnen Sie für diese Daten eine exponentielle Regression für die Funktion S(t).
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Argumentieren Sie, ob diese Funktion die vorliegenden
Daten gut oder schlecht modelliert.
b)
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil S(t) – S
in Prozent, t in Minuten - verringerts sich dabei mit S(t) = 17 · e–0,3 t.
Berechnen Sie
die Halbierungszeit des Verschmutzungsgrades
die relative Verminderungsrate für eine, bzw. 10 Minuten.
Als „rein“ gilt der Behälter bei einer Verschmutzung unter 0,5 %. Berechnen Sie wann der Behälter rein
ist.
c)
Der Spülvorgang beim Reinigen eines Behälters verläuft exponentiell mit einer Halbierungszeit von 7
Minuten. Die Zeit wird dabei in Minuten gemessen, die Verschmutzung in Prozent, wobei die
Anfangsverschmutzung nicht 100 % beträgt.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn er nur mehr eine Verschmutzung von 2 % aufweist. Diese Reinigung
dauert 20 Minuten. 3 der folgenden Aussagen sind richtig. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an:
Bis zum Verschmutzungsgrad 0 muss man 27 Minuten spülen
In jeweils 7 Minuten verringert sich der Verschmutzungsgrad um 20 %
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 1 % haben möchte, verlängert sich die Reinigungszeit
um 7 Minuten.
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 4 % toleriert, braucht man nur mehr 13 Minuten zu
reinigen.
Die relative Verringerungsrate des Verschmutzungsgrades ist konstant und man kann sie mit dem
Ansatz 0,5 = (1 + x)7 berechnen
A
d)
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt.
Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Vom Betrieb wird ein lineares Modell für den Verschmutzungsgrad angewendet.
Berechnen Sie die Gleichung durch Regression und den Korrelationskoeffizient.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn der Verschmutzungsgrad unter 2 % sinkt. Berechnen Sie, wie lange
das dauert. Wenn man 10 Minuten lang spült, ergibt die Regressionsgleichung einen Verschmutzungsgrad
von –1,5 %, ein Wert, der natürlich unsinnig ist. Argumentieren Sie, welcher Fehler dabei aufgetreten ist.
Beispiel 4:
a)
Kosten
Die folgende Tabelle gibt die Kosten und den Erlös für die Produktion eines Produktes an. Kosten in GE,
Menge in ME.
Produzierte Menge in ME
Kosten in GE
Erlös in GE
2
800
600
5
1300
1200
7
1800
2300
10
2600
3000
Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion durch Regression. Verwenden Sie dabei
ein möglichst einfaches mathematisches Modell (also einen Polynomansatz von möglichst geringem
Grad).
Für die Erlösfunktion wird ein konstanter Preis angenommen.
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 100x + 490 und den konstanten Preis p = 300.
Die Kapazität des Betriebes beträgt 20 ME.
Berechnen Sie
die langfristige Preisuntergrenze
die Gewinngrenzen
den maximalen Gewinn
und geben Sie die Produktionsmenge als Beschäftigungsgrad (also in Prozent der Kapazität an)
c)
Bei einem linear-progressiven Kostenverlauf verläuft der erste Teil der Kosten mit konstanten
Grenzkosten und der Kostenverlauf geht dann in eine zumindest quadratische Kostenfunktion stetig über.
Berechnen Sie die Gleichung eines quadratischen Modells einer Kostenfunktion, wenn die Grenzkosten
bis zur Produktionsmenge 8 ME mit 300 GE/ME konstant sind. Die Fixkosten sind 1000 GE.
Der Übergang in den progressiven Teil verläuft stetig und stetig differenzierbar. Die Grenzkosten im
progressiven Teil betragen bei einer Produktion von 20 ME 600 GE/ME.
d)
Der Zusammenhang zwischen Preis p (in GE/ME) und Menge x (ME) sei wie p(x) = Error!.
Berechnen Sie für folgende Daten eine möglichst gut passende Funktion dieser Form:
Menge
Preis
1
100
3
60
4
50
Berechnen Sie dann für p(x) = Error! den Prohibitivpreis. Interpretieren Sie den Begriff
Sättigungsmenge für diese Nachfragefunktion. Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion.
Berechnen Sie den maximalen Erös.
2. Schularbeit aus Mathematik und angewandter Mathematik
5 ak - löffler
Mittwoch, 18. März 2015
Gruppe B
ACHTUNG:
Fehlerhafte und unübliche Notationen sind bewertungsrelevant und führen zu Punkteabzügen.
Beantworten Sie Anwendungsbeispiele in ganzen Sätzen.
Dokumentieren Sie Lösungswege (Ansätze, Nebenrechnungen, Überlegungen)
Beispiel 1:
a)
Verkehr
Die Schallemission S entlang einer Straße wird gemessen und ihre Abhängigkeit von der Entfernung d
zur Straße erfasst:
Entfernung d in Meter (km)
Schalldruck in Pascal (pa)
0,5
20
1
10
2
2,5
Der Zusammenhang zwischen S und d sei S(d) = Error!. k ist dabei eine für die Situation spezifische
Konstante. Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate eine möglichst gut passende Funktion
dieser Form und die Größe von k.
b)
Die Straßenbaugesellschaft befragt zwei mal je 1 000 Personen zu den Schallschutzmaßnahmen. In der
ersten Befragung waren 900 Leute dafür, in der zweiten nur mehr 840. Berechnen Sie die beiden
Konfidenzintervalle für den wahren Anteil der Pro-Leute mit z = 2. Geben Sie die
Irrtumswahrscheinlichkeit an.
Interpretieren Sie, ob bzw. wie sich die Meinung der Leute geändert hat.
c)
Die Verkehrsbelastung dieser Straße pro Tag ist normalverteilt um den Mittelwert µ = 30 000. Die
Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 000 Fahrzeuge pro Tag gezählt werden, sei nur mehr 3 %.
Berechnen Sie die Streuung.
d)
Nur zwei der folgenden Aussagen für die nebenstehende Dichte einer
Normalverteilung sind korrekt. Kreuzen Sie die richtigen Aussagen an:
Die Wahrscheinlichkeit für x ≤ 5 ist genau 50 %
Werte größer als 9 kommen praktisch nicht vor
Werte größer als 10 haben die Wahrscheinlichkeit 0, kommen also
auch theoretisch nicht vor
Die Wahrscheinlichkeit für x > 7 ist größer als für x < 4
Der Mittelwert der Verteilung ist 6
Beispiel 2:
a)
Verkehr
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = at4 + bt3 + ct2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Gemessen wurde:
Uhrzeit
6:00
8:00
12:00
18:00
Verkehrsdichte in F/h
300
200
100
500
Berechnen Sie eine möglichst gut passende Funktion für diese Daten.
b)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 200t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie, wann die Verkehrsbelastung maximal ist und die Größe dieses Wertes.
Skizzieren Sie den Verlauf der Funktion im Bereich 0 ≤ t ≤ 16
B
c)
Die tägliche Verkehrsbelastung auf dieser Straße verläuft wie V(t) = t 4 – 28t3 + 300t2.
t ist dabei die Uhrzeit in Stunden, V die Verkehrsdichte in Fahrzeugen pro Stunde (F/h).
Berechnen Sie eine Gleichung für die Gesamtbelastung für einen Tag. Berechnen Sie die
Gesamtbelastung zwischen 6:00 Uhr und 15:00 Uhr.
d)
Am Morgen startet die Verkehrsbelastung V(t), t in Stunden, V in Fahrzeugen pro Stunde (F/h) wie
V(t) = Error! mit t ∈ [0 / 3]. Berechnen Sie die Parameter dieser Funktion so, dass V gegen 40
konvergiert und nach 2 Stunden 80 % der Maximalbelastung erreicht ist. Stellen Sie die
Funktionsgleichung mit ganzzahligen Parametern im Zähler und Nenner des Bruches dar.
Beispiel 3:
a)
Reinigung
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil
verringerts sich dabei exponentiell. Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
20
4
12
6
6
8
4
Berechnen Sie für diese Daten eine exponentielle Regression für die Funktion S(t).
Geben Sie den Korrelationskoeffizienten an. Argumentieren Sie, ob diese Funktion die vorliegenden
Daten gut oder schlecht modelliert.
b)
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt. Der Schmutzanteil S(t) – S
in Prozent, t in Minuten - verringerts sich dabei mit S(t) = 34 · e–0,3 t.
Berechnen Sie
die Halbierungszeit des Verschmutzungsgrades
die relative Verminderungsrate für eine, bzw. 3 Minuten.
Als „rein“ gilt der Behälter bei einer Verschmutzung unter 0,5 %. Berechnen Sie wann der Behälter rein
ist.
c)
Der Spülvorgang beim Reinigen eines Behälters verläuft exponentiell mit einer Halbierungszeit von 7
Minuten. Die Zeit wird dabei in Minuten gemessen, die Verschmutzung in Prozent, wobei die
Anfangsverschmutzung nicht 100 % beträgt.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn er nur mehr eine Verschmutzung von 2 % aufweist. Diese Reinigung
dauert 20 Minuten. 3 der folgenden Aussagen sind richtig. Kreuzen Sie die zutreffenden Aussagen an:
Bis zum Verschmutzungsgrad 0 muss man 27 Minuten spülen
In jeweils 7 Minuten verringert sich der Verschmutzungsgrad um 20 %
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 1 % haben möchte, verlängert sich die Reinigungszeit
um 7 Minuten.
Wenn man einen Verschmutzungsgrad von 4 % toleriert, braucht man nur mehr 13 Minuten zu
reinigen.
Die relative Verringerungsrate des Verschmutzungsgrades ist konstant und man kann sie mit dem
Ansatz 0,5 = (1 + x)7 berechnen
B
d)
Bei der Produktion eines Produktes werden Behälter durch Spülen gereinigt.
Es werden folgende Daten erhoben:
Zeit in Minuten
Verschmutzung in Prozent
2
10
4
6
6
3
8
2
Vom Betrieb wird ein lineares Modell für den Verschmutzungsgrad angewendet.
Berechnen Sie die Gleichung durch Regression und den Korrelationskoeffizient.
Als „rein“ gilt ein Behälter, wenn der Verschmutzungsgrad unter 2 % sinkt. Berechnen Sie, wie lange
das dauert. Wenn man 10 Minuten lang spült, ergibt die Regressionsgleichung einen Verschmutzungsgrad
von –1,5 %, ein Wert, der natürlich unsinnig ist. Argumentieren Sie, welcher Fehler dabei aufgetreten ist.
Beispiel 4:
a)
Kosten
Die folgende Tabelle gibt die Kosten und den Erlös für die Produktion eines Produktes an. Kosten in GE,
Menge in ME.
Produzierte Menge in ME
Kosten in GE
Erlös in GE
2
80
60
5
130
120
7
180
230
10
260
300
Berechnen Sie die Gleichung einer progressiven Kostenfunktion durch Regression. Verwenden Sie dabei
ein möglichst einfaches mathematisches Modell (also einen Polynomansatz von möglichst geringem
Grad).
Für die Erlösfunktion wird ein konstanter Preis angenommen.
b)
Berechnen Sie für die Kostenfunktion K(x) = 10x2 + 100x + 490 und den konstanten Preis p = 300.
Die Kapazität des Betriebes beträgt 20 ME.
Berechnen Sie
die langfristige Preisuntergrenze
die Gewinngrenzen
den maximalen Gewinn
und geben Sie die Produktionsmenge als Beschäftigungsgrad (also in Prozent der Kapazität an)
c)
Bei einem linear-progressiven Kostenverlauf verläuft der erste Teil der Kosten mit konstanten
Grenzkosten und der Kostenverlauf geht dann in eine zumindest quadratische Kostenfunktion stetig über.
Berechnen Sie die Gleichung eines quadratischen Modells einer Kostenfunktion, wenn die Grenzkosten
bis zur Produktionsmenge 8 ME mit 300 GE/ME konstant sind. Die Fixkosten sind 1000 GE.
Der Übergang in den progressiven Teil verläuft stetig und stetig differenzierbar. Die Grenzkosten im
progressiven Teil betragen bei einer Produktion von 20 ME 600 GE/ME.
d)
Der Zusammenhang zwischen Preis p (in GE/ME) und Menge x (ME) sei wie p(x) = Error!.
Berechnen Sie für folgende Daten eine möglichst gut passende Funktion dieser Form:
Menge
Preis
1
100
3
60
4
50
Berechnen Sie dann für p(x) = Error! den Prohibitivpreis. Interpretieren Sie den Begriff
Sättigungsmenge für diese Nachfragefunktion. Interpretieren Sie den Verlauf der Erlösfunktion.
Berechnen Sie den maximalen Erös.