Grundlagen der Elektrotechnik 1 Seminaraufgaben - ate.uni

Campus Duisburg
Grundlagen der Elektrotechnik 1
Seminaraufgaben
Allgemeine und Theoretische Elektrotechnik
Prof. Dr. sc. techn. Daniel Erni
Version 2006.10
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Grundlagen der Elektrotechnik 1
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Aufgabe 1:
Gegeben sind die Vektoren ~a, ~b und ~c:

 

  

  

4
cx
1
bx
4
ax

 

  

  

~a =  ay  =  3  cm, ~b =  by  =  3  cm und ~c =  cy  =  −2  cm.
0
cz
2
bz
2
az
Man weise mit den obigen Zahlenwerten nach, dass die folgenden Relationen richtig sind:
a)
~a × ~b · ~c = −~b · (~a × ~c) = −~c · ~b × ~a = −~a · ~c × ~b
b)
~a × ~b × ~c = ~b · (~a · ~c) − ~c · ~a · ~b
Aufgabe 2:
Man gebe für die Beziehungen
v=
r
2QU
,
m
a=
QE
m
zugeschnittene Größengleichungen an. Dabei soll die Geschwindigkeit v auf km
s , die Spannung U auf
V
Volt (V), die elektrische Feldstärke E auf cm , die Masse m auf Gramm (g), die Beschleunigung a auf
m
und die Ladung Q auf Coulomb (C) bezogen werden.
s2
Aufgabe 3:
Drei ortsfeste Ladungen der Größe Q1 , Q2 und Q3 befinden sich in den Eckpunkten eines gleichseitigen
Dreiecks der Seitenlänge a. Die Anordnung ist in Bild 3 gezeigt.
Im Schnittpunkt der Seitennormalen befindet sich eine weitere ortsfeste Ladung Q4 .
Q3
Q4
Q1
Q2
Bild 3
a)
Wie groß ist die auf die Ladung Q4 wirkende Kraft, die durch das Feld der Ladungen Q1 , Q2
und Q3 ausgeübt wird?
b)
Es sei Q1 = Q2 . Wie groß muss die Ladung Q3 sein, damit die Kraft auf die Ladung Q4 gleich
Null wird?
1
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Aufgabe 4:
Im Vakuum befinden sich drei Ladungen. Q1 sei eine ortsfeste Ladung. Die Ladungen Q2 und Q3
seien durch eine elektrisch nicht leitende Verbindung mechanisch fest gekoppelt und in x-Richtung
verschiebbar. Die Vorzeichen der Ladungen sind in Bild 4 festgelegt.
Q2 > 0
Q1 < 0
Q3 > 0
r1
R
x
Bild 4
a)
Für den Gleichgewichtsfall soll der Abstand r1 bestimmt werden.
b)
Wie groß ist r1 für den Fall Q3 = 4Q2 ?
c)
Wie lautet die zugeschnittene Größengleichung für die unter b) erhaltene Beziehung für r1 , wenn
r1 auf cm, R auf m,Q1 aufµC, Q2 auf mC und Q3 auf As bezogen werden soll?
Aufgabe 5:
Zwei leitende Elektroden der Fläche A = 4 cm2 werden aufeinander gelegt und in ein Ölbad (εr = 9)
gebracht (Bild 5). Dort werden sie getrennt und in diesem Zustand aus dem Olbad genommen.
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
01
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
01
1
0
1
εr
U
Bild 5
a)
Wie groß ist die auf den Flächen influenzierte Ladung, wenn im Öl ein elektrisches Feld zwischen
zwei ebenen Elektroden (Abstand d = 5 cm) durch die Spannung U = 25 V erzeugt wird?
b)
Wie groß ist die Spannung zwischen den Platten, nachdem sie aus dem Ölbad genommen wurden
und wenn sie einen Abstand von 6 cm haben?
2
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Aufgabe 6:
Innerhalb einer Kugel mit dem Radius r0 = 10 cm befindet sich gleichmäßig auf den Raum der Kugel
verteilt die Ladung Q = 25 µC.
a)
Es soll die elektrische Verschiebungsdichte und die elektrische Feldstärke im gesamten Raumbereich (0 ≤ r ≤ ∞, r = Abstand vom Kugelmittelpunkt) berechnet werden.
b)
Der Verlauf des Absolutbetrages der elektrischen Feldstärke soll als Funktion des Abstandes r
vom Mittelpunkt der Kugel gezeichnet werden.
Aufgabe 7:
Zwischen zwei ebenen Elektroden des Abstands d = 10 cm wird durch die Spannung U = 75 V ein
elektrisches Feld aufgebaut (Bild7).
P2
U
d
y
P1
P3
x
Bild 7
In einem Koordinatensystem nach Bild 7 sind drei Punkte P1 (4 cm, 4 cm), P2 (8 cm, 8 cm) und
P3 (12 cm, 4 cm) gegeben. Eine Ladung der Größe Q = 1, 743 · 10−12 C wird auf dem in Bild 7
gezeichneten Weg von P1 nach P3 transportiert.
Wie groß ist die bei diesem Transportvorgang vom elektrischen Feld geleistete Arbeit
a)
von P1 nach P2 ,
b)
von P2 nach P3 ,
c)
von P1 nach P3 .
3
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Aufgabe 8:
Zwei Anordnungen aus ebenen, parallelen Platten mit den im Bild 8 eingezeichneten Werten werden
hintereinander geschaltet. Die Summe der Ladungen auf der Elektrode 1 und 2 sei Null.
ε2 A2
ε1 A1
1
2
d1
d2
U
Bild 8
Zu berechnen sind
a)
die Ladung auf den Platten der Anordnung,
b)
die Feldstärken und Verschiebungsdichten in den beiden Feldräumen
c)
die Teilspannungen zwischen den zugehörigen Platten.
und
Aufgabe 9:
Bestimmen Sie die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien ri und ra sowie die Kapazität
eines Zylinderkondensators mit den Radien ri und ra und der Länge l.
Gegeben sind: ri , ra , l, ε0 und εr
Aufgabe 10:
In Bild 10.1 und Bild 10.2 sind zwei Kapazitätsanordnungen gezeichnet.
Für alle Kapazitäten gilt: Elektrodenfläche A = 0, 3 m2 ; Plattenabstand d = 1 mm
Dielektrizitätszahlen εr 1 = 1, εr 2 = 4
a)
Berechnen Sie die Gesamtkapazität beider Anordnungen.
b)
Wie groß sind die Energieinhalte der Einzelkapazitäten sowie der Gesamtanordnung nach Bild
10.1, wenn an die Schaltung eine Spannung von U = 1 V gelegt wird?
4
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εr 1
εr 2
εr 1
A
εr 2
d
Bild 10.1
Bild 10.2
Aufgabe 11:
Gegeben sind die Elektrodenanordnungen mit geschichtetem Dielektrikum nach Bild 11.1 und
Bild 11.2 (Querschnitte). Die Länge senkrecht zur Zeichenebene sei l.
Bestimmen Sie die jeweilige Kapazität C11′ (x) der beiden Anordnungen als Funktion der
Lagekoordinate x der Grenzfläche.
a)
x0
1
ε1
ε0
x
l
d
x0
1’
Bild 11.1
b)
1
x
l
ε0
d
ε1
1’
x0
Bild 11.2
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Aufgabe 12:
Gegeben ist eine Elektrodenanordnung nach Bild 12. Zwischen der gitterförmigen Elektrode G, die
für die Elektronen ideal durchlässig sei, und den beiden Außenelektroden E1 und E2 herrschen die
Spannungen U1 = 50 V und U2 = 80 V. Die Abstände zwischen den Platten betragen d1 = 3 cm und
d2 = 4 cm.
E2
d2
1
U2
U1
d1
y
x
G
v0 = 0 2
−e
E1
Bild 12
Vor der Elektrode E1 befinde sich ein Elektron in Ruhe (v0 = 0 ms ).
a)
Auf welche Geschwindigkeit v wird das Elektron bis zum Gitter G beschleunigt?
b)
Wie weit dringt das Elektron in den Laufraum 2 ein?
c)
Wie groß ist die Zeit, die das Elektron braucht, um von der Elektrode E1 durch den
Laufraum 1 und den Laufraum 2 zurück zur Elektrode E1 zu gelangen?
Aufgabe 13:
Die Ablenkeinheit einer Kathodenstrahlröhre ist in Bild 13 skizziert. Ein Elektron tritt nach einer
Beschleunigung mit der Spannung U0 in x-Richtung in das elektrische Ablenkfeld ein.
S
d
U0
y
K
x
U
s
l
L
Bild 13
Wie groß ist die Auslenkung s des Elektronenweges aus der Achse des Systems? (Hinweis: Man
betrachte die Bewegung in x- und y-Richtung getrennt.)
6
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Aufgabe 14:
Die Temperaturabhängigkeit eines Widerstandes sei durch
R(ϑ) = R20 [1 + α20 (ϑ − 20◦ C)]
gegeben.
a)
Der Temperaturbeiwert α20 sei bekannt. Gemessen werden die Widerstandswerte R(ϑ1 ) = R1
und R(ϑ2 ) = R2 bei den Temperaturen ϑ1 und ϑ2 . Man leite eine Beziehung für R(ϑ) ab, die
den unbekannten Wert R(20) nicht enthält.
b)
Bei der Temperatur ϑ1 = 40◦ C wird der Widerstand R(ϑ1 ) = R1 = 1 kΩ und bei der
Temperatur ϑ2 = 100◦ C der Widerstand R(ϑ2 ) = R2 = 1, 169 kΩ gemessen. Wie groß ist der
Temperaturbeiwert α20 und der Widerstand R20 bei ϑ = 20◦ C?
Aufgabe 15:
Die Temperaturabhängigkeit eines ohmschen Widerstand sei durch
R ≈ R20 1 + α20 (ϑ − 20◦ C) + β20 (ϑ − 20◦ C)2
beschrieben. Hierin sind R20 der Widerstand bei der Temperatur ϑ = 20◦ C sowie α20 und β20 die
sogenannten Temperaturbeiwerte für die Temperaturen ϑ = 20◦ C. Bis zu welcher Temperatur ϑ darf
die lineare Näherung
R ≈ R20 [1 + α20 (ϑ − 20◦ C)]
verwendet werden, wenn der Widerstand R im gesamten Temperaturbereich auf 10 % genau bestimmt
werden soll (Material Silber: α20 = 3, 8 · 10−3 /◦ C, β20 = 0, 7 · 10−6 /◦ C2 )?
Aufgabe 16:
Wie groß ist der Erdungswiderstand einer halbkugelförmigen Metallelektrode (d. h. der Widerstand
zwischen der Metallelektrode und der unendlich fernen Halbkugel), die so in die Erde gesenkt wird,
dass der Schnittkreis in der Erdoberfläche liegt?
Sm
Die Leitfähigkeit des Erdbodens sei κ = 10−8 mm
2.
DerRadius der Elektrode sei R0 = 5 cm.
R0
Erdoberfläche
κ
Erde
Bild 16
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Aufgabe 17:
In Bild 17 ist ein aufgeschnittener Hohlzylinder mit den Radien r0 und r1 dargestellt. Die Länge des
Zylinders L und die Leitfähigkeit κ des Materials sind bekannt. Die Schnittstellen seien ideal leitend
kontaktiert. Zwischen den Schnittflächen liegt die Spannung U .
Man berechne:
a)
die Feldstärke im Material,
b)
den Strom pro Flächeneinheit,
c)
den Widerstand zwischen den Schnittflächen.
r1
d ≪ r0
U
r0
Bild 17
Aufgabe 18:
a)
Bestimmen Sie für den in Bild 18 skizzierten kegelförmigen Leiter den Gesamtwiderstand zwischen
den Elektroden A und B. Die Größen l1 , l2 , κ1 , κ2 , d1 , d2 und d3 sind gegeben.
b)
Wie groß ist U1 für den Fall l1 = l2 = l, κ1 = 2κ2 , d3 = 3d1 ? U ist gegeben.
κ1
d1
r2
κ2
d2
d3
U1
l1
l2
U
Bild 18
8
r1
r3
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Aufgabe 19:
R′
κ=∞
~
B
l2
l1 = 10 cm
l2 = 5 cm
κ=∞
U
R′
y
z
I
l1
x
Bild 19
~ = 4 T befinden sich zwei
In einem homogenen Magnetfeld der magnetischen Induktionsflussdichte |B|
Leiter mit einem Widerstandsbelag (Widerstand pro Längeneinheit) von R′ = 10 Ω/m (Bild 19). Sie
sind durch ein bewegliches Leiterstück über reibungsfreie, ideale bewegliche Kontakte miteinander
verbunden. Das Leiterstück ist über eine nichtleitende Feder mit der Federkonstanten λ = 2 Ncm−1 so
an einer festen Wand befestigt, dass es sich bei Nichtfließen eines Stromes an der Stelle x = 0 befindet.
In welche Position verschiebt sich das Leiterstück, wenn gemäß der Skizze eine Spannung von U = 5
V an die Leiter gelegt wird?
Das vom fließenden Strom erzeugte Magnetfeld kann dabei vernachlässigt werden.
Hinweis: Die Gleichungen für die Kräfte sind als Vektorgleichungen unter Verwendung
des gegebenen Koordinatensystems aufzustellen!
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Aufgabe 20:
Ein leitender Stab (Länge l1 , Querschnitt A, Leitfähigkeit κ, Gewicht G) wird an gewichtslose,
leitende Fäden mit der Länge l2 aufgehängt. Die Fäden haben einen Widerstand pro Längeneinheit von
R′ = ∆R
∆l . Die Anordnung wird an eine Spannung U gelegt und in ein homogenes, vertikal gerichtetes
~ gebracht.
Magnetfeld der Induktionsflussdichte B
U
I
l2
~
B
α
l1
Bild 20
Um welchen Winkel α (Bild 20) wird der Stab aus seiner Ruhelage ausgelenkt?
Aufgabe 21:
Ein Elektron fliegt mit der Anfangsgeschwindigkeit ~v0 = v0 · ~ex in ein begrenztes homogenes
~ = Bz · ~ez . Die Anordnung ist in Bild 21 gezeigt.
Magnetfeld der Induktionsflussdichte B
y
~
B
x
−e
~v0
Bild 21
a)
Es ist zu zeigen, dass das Elektron im Magnetfeld eine Kreisbahn durchläuft.
b)
Mit welcher Geschwindigkeit und an welcher Stelle verlässt das Elektron das Magnetfeld?
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Aufgabe 22:
Ein Elektron fliegt im Vakuum mit der Geschwindigkeit ~v parallel zu den Elektrodenflächen durch
ein Elektrodenpaar mit dem Abstand d, an das die Spannung U angelegt ist (Bild 22). Gleichzeitig
existiert zwischen den Platten ein homogenes Magnetfeld senkrecht zum elektrischen Feld und
senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons.
~
B
−e
~v0
U d
Bild 22
Wie groß muss die Spannung U sein, damit das Elektron sich geradlinig fortbewegt?
Aufgabe 23:
Eine kreisförmige starre Leiterschleife vom Radius r (Bild 23), in der der Strom I fließt, wird sehr
langsam in ein homogenes, begrenztes Magnetfeld eingetaucht. Man bestimme die auf die Schleife
wirkende resultierende Kraft als Funktion der Eintauchtiefe.
I
r
~
B
Bild 23
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Aufgabe 24:
Durch einen Leiter fließt ein Gleichstrom von I = 500 A. Im Verlauf des Leiters befindet sich
gemäß Bild 24.1 ein Leiterstück, das längs zweier reibungsfrei beweglicher Kontakte in x-Richtung
verschiebbar ist.
Das Leiterstück ist mit einer Feder der Federkonstanten λ = 5 Ncm−1 so an einer festen Wand
befestigt, dass sich das Leiterstück ohnen Vorhandensein eines magnetischen Feldes an der
Stelle x = 0 befindet. In welche Position x verschiebt sich das Leiterstück, wenn ein Magnetfeld der
~ = 1 T senkrecht zur Zeichenebene eingeschaltet wird?
Induktionsflussdichte |B|
In Bild 24.2 ist eine ähnliche Anordnung gegeben, jedoch ohne das konstante Feld der Anordnung
nach Bild 24.1. Alle anderen Angaben sollen wie für Bild 24.1 gelten.
In welche Position x verschiebt sich das Leiterstück, wenn die Gleichströme I1 = 500 A und I2 = 10I1
eingeschaltet werden?
I
I1
~
B
λ
λ
I2
l = 3 cm
l = 3 cm
b = 2 cm
x
x
Bild 24.1
Bild 24.2
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Aufgabe 25:
In einem unendlich langen, geraden Draht fließt ein Wechselstrom i(t).
Bestimmen Sie die Spannung u(t).
Gegeben: a, b, c, R1 , R2 , R3 , R4 , î, ω und µr = 1
i(t) = î cos(ωt)
u(t)
R1
R4
R2
c
R3
a
b
Bild 25
Aufgabe 26:
In einem unendlich langen, geraden Draht fließt ein Wechselstrom i(t).
Bestimmen Sie die an den Klemmen 1 - 1’ induzierte Spannung u(t).
i(t) = î cos(ωt)
R
κ→∞
1
u(t)
2R
1’
d
R
κ→∞
a/2
a/2
Bild 26
13
κ→∞
a
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Aufgabe 27:
Eine kreisförmige Leiterschleife vom Radius r (Bild 27) wird mit einer konstanten Geschwindigkeit
~v in ein homogenes Magnetfeld gebracht, dessen magnetische Induktionsflussdichte senkrecht zu der
Schleifenebene steht. Man bestimme die in der Schleife induzierte Spannung in Abhängigkeit von der
Zeit, wenn die Schleife zur Zeit t = 0 in das Feld eintritt.
Uind
r
~v
~
B
Bild 27
Aufgabe 28:
|~v | = 1 cm/s
30◦
3 cm
x
y
1 cm
~ =1T
|B|
Bild 28
Durch ein Magnetfeld, das in x-Richtung unendlich weit, in y-Richtung über eine Breite von 1 cm
ausgedehnt ist (Bild 28), bewegt sich in y-Richtung ein dreieckförmiger Leiter mit der Geschwindigkeit
|~v | = 1 cm/s. Berechnen und skizzieren Sie die in der Leiterschleife induzierte Spannung als Funktion
der Zeit.
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Aufgabe 29:
Gegeben ist ein Magnetkreis nach Bild 29.
I, w
l3
A
δ
l4
l1
l2
Ai = const.; µ = const.(6= f (H))
Bild 29
Wie hängt der Strom I der Spule von der magnetischen Erregung Hδ im Luftspalt ab? Die
Windungszahl w und die geometrischen Abmessungen sind (wie skizziert) gegeben.
Aufgabe 30:
Gegeben ist der in Bild 30 dargestellte Magnetkreis, der überall den konstanten Querschnitt A
aufweist. Mit Ausnahme eines Bereichs des rechten Schenkels besitzt diese Anordnung die konstante
Permeabilitätszahl µr1 . Im rechten Aussenschenkel wird mittig über die Länge l2 ein hartmagnetischer
Werkstoff mit der Permeabilitätszahl µr2 eingesetzt. Der linke Aussenschenkel trägt eine Spule mit
Windungszahl w, die von einer konstanten Stromstärke I durchflossen wird.
Man bestimme die Induktivität L dieses magnetischen Kreises.
l1
l3
I, w
l4
l2
µr2
l3
µr1
A
Bild 30
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Aufgabe 31:
l2
I
l1
w
Be = f (He )
δ
A
Bild 31.1
Gegeben ist ein Magnetkreis aus ferromagnetischem Material mit einem streuungsfreien Luftspalt
der Länge δ (Bild 31.1). Der Eisenkern hat eine quadratische Querschnittsfläche der Größe A. Der
Zusammenhang der magnetischen Flussdichte Be im Eisenkern und der Feldstärke He ist durch die
Hysteresekurve in Bild 31.2 gegeben. Von der Anornung sind folgende Werte gegeben:
l1 = 6 cm, l2 = 6, 4 cm, δ = 1 cm, A = 5 cm2 und w = 5000
a)
Zeichnen Sie die gescherte Hysterekurve des Magnetkreises in Bild 31.2 ein. Berechnen Sie dazu
zunächst die Gleichung der Scherungsgerade.
b)
Bestimmen Sie mit Hilfe der gescherten Hysteresekurve die Stromstärke I(I > 0) so, dass für die
~ 1 und B
~2
beiden dabei möglichen , sich im Eisenkern einstellenden magnetischen Flussdichten B
~ 1 | = 2|B
~ 1 | gilt.
der Zusammenhang |B
Zeichnen Sie die beiden Punkte (H1 , B1 ) und (H2 , B2 ) auf der gescherten Hysteresekurve ein.
16
-0.5
0.5
1.0
Be/T
17
Bild32.2
0.5
1.0
1.5
Seminaraufgaben
A
He/105 m
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