2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts - WWW-Docs for B-TU

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Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
Bei vielen Bewegungsaufgaben kann die
Drehbewegung eines Körpers vernachlässigt werden, wenn nur dessen translatorische Bewegung interessiert. In diesem
Fall darf der Körper als Massenpunkt betrachtet werden, der sich entlang einer vorgegebenen Linie bewegt. Ist die Linie eine
Gerade, spricht man von geradliniger Bewegung. Das im Folgenden entwickelte
Vorgehen ist jedoch auf beliebige eindimensionale Translationen sowie reine
Drehbewegungen um feststehende Achsen übertragbar.
Der Ort eines bewegten Massenpunkts auf einer Linie lässt sich durch eine einzelne Lagekoordinate beschreiben. Deren zeitliche Änderung entspricht seiner Momentangeschwindigkeit, die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit seiner Beschleunigung. Für eine geschlossene Beschreibung unstetiger Zeitverläufe kann das aus der Balkenstatik bekannte
Föppl-Symbol herangezogen werden.
Im Allgemeinen ergibt sich die Beschleunigung eines Massenpunkts mit Hilfe des
Newton’schen Axioms aus den auf ihn wirkenden Kräften in Wegrichtung. Bei gesteuerten
Bewegungen z.B. von Werkzeugmaschinen oder Fördereinrichtungen kann das Beschleunigungs- oder Geschwindigkeitsprofil jedoch auch als Weg- oder Zeitfunktion vorgegeben
sein. Allgemein wird eine Bewegungsaufgabe durch vier Variablen beschrieben: Zeit, Lage,
Geschwindigkeit und Beschleunigung. Dabei kann eine der Größen als unabhängige Variable gewählt, eine weitere als Funktion der unabhängigen Variablen vorgeschrieben werden.
Die beiden restlichen Größen sind durch die differentiellen Zusammenhänge zwischen
Lage und Geschwindigkeit einerseits sowie Geschwindigkeit und Beschleunigung andererseits eindeutig festgelegt, und können daraus berechnet werden.
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2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
2.1 Kinematische Größen
ÌÌ
Definitionen
0
s
Lage:
v(t), a(t)
s(t)
Ì
ÌÌ
s
Weg−Zeit−Diagramm
s + s(t)
t
Ableitung Integration
Steigung
v
Fläche
Geschwindigkeits−Zeit−Diagramm
Geschwindigkeit: v + lim Ds + ds + s
dt
Dt³0 Dt
.
t
Ableitung Integration
Steigung
a
Fläche
Beschleunigungs−Zeit−Diagramm
Beschleunigung: a + lim Dv + dv + v + s
dt
Dt³0 Dt
.
..
t
2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
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Beziehungen zwischen den Diagrammen
v(t) + ds ,
dt
a(t) + dv
dt
a(t)
>0
0
<0
v(t)
steigend
konstant
fallend
<0
s(t)
0
>0
<0
0
Linkskurve
fallend
>0
<0
0
Gerade
waagesteigend
rechte
Tangente
fallend
waagerecht
>0
Rechtskurve
steigend
fallend
waagesteigend
rechte
Tangente
Typische Verläufe
konstante
Geschwindigkeit
konstante
Beschleunigung
a
a
lineare
Beschleunigung
Kraftstöße
a
konstant
a
linear
a+0
t
v
t
v
t
v
konstant
t
v
quadratisch
linear
Sprung
t
s
t
s
linear
t
s
quadratisch
t
s
kubisch
Knick
t
t
t
t
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2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
Beschreibung unstetiger Zeitverläufe
Zur Beschreibung nur abschnittsweise stetiger Funktionen eignet sich das Föppl−Symbol:
ǂt * tjǃ
n
ȡ 0
n
+ȥ
ǒt * t j Ǔ
Ȣ
ǂt * t j ǃ
für
t t tj
für
t w tj
0
ǂt * t j ǃ
1
ǂt * t j ǃ
1
1
2
1
tj
t
tj
t
tj
Die Regeln für Differentiation und Integration entsprechen den üblichen Funktionen:
d ǂt * t ǃ n + nǂt * t ǃ n*1
j
j
dt
für
ŕ ǂt * t ǃ dt + n )1 1 ǂt * t ǃ
t
n
j
0
j
nw1,
n)1
.
t
2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
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2.2 Kinetik des Massenpunkts
Definitionen
Massenpunkt:
Größe des betrachteten Körpers vernachlässigbar gegen Bahnbewegung (auch Punktmasse, materieller Punkt)
³
Impuls:
³
³
v
³
p(t) + mv(t)
p
m
m + const.
.
.
³
Impulsänderung: ³
p + mv³ + ma
2. Newton’sches Grundgesetz (Impulssatz, Principia 1687)
Mutationem motus proportionalem esse vi motrici impressae, et fieri secundum lineam rectam qua vis illa imprimitur.
(Die Änderung der Bewegungsgröße ist der Einwirkung der bewegenden
Kraft proportional und erfolgt in der Richtung, in der diese Kraft wirkt.)
heutige Interpretation:
.
³
³
p+F
oder
³
³
ma + F
geradlinige Bewegung: ma(t) + F(t)
direktes Problem der Dynamik:
F(t) gegeben ³
inverses Problem der Dynamik: a(t) gegeben ³
³
F
³
a
m
ÌÌÌÌ
ÌÌ
Ì
ÌÌ ÌÌ
F(t)
F(t)
a(t) + m
F(t) + ma(t)
a(t)
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2 Geradlinige Bewegung eines Massenpunkts
2.3 Berechnung von Bewegungsabläufen
Grundaufgaben
unabh.
Variable
geg.
Fkt.
s(t)
1
gesuchte Funktionen
v(t) + ds
dt
³
ŕ v(t) dt
t
2
t
v(t)
s(t) + s 0 )
a(t) + dv
dt
a(t) + dv
dt
t0
ŕ a(t) dt
ŕ v(t) dt
t
a(t)
3
v(t) + v 0 )
t
³
s(t) + s 0 )
t0
v(s)
4
5
s
6
7
8
v
a(s)
v(s) +"
t(s) + t 0 )
s0
Ǹ
1
dtńds
³
t(s) + t 0 )
ŕ v(s)ds
s0
³ a(s) + v dv
ds
s(v)
a(v) + v
dsńdv
t(v)
)2
s
s0
³
t(v) + t 0 )
v0
ŕ
a(v) + 1
dtńdv
dv
ŕ a(v)
v
v
v0
9
ŕ a(s) ds
s
v 20
v(s) +
s(v) + s 0 )
ŕ v(s)ds
s
a(s) + v dv
ds
t(s)
a(v)
t0
v dv
a(v)
dv
ŕ a(v)
v
t(v) + t 0 )
v0
ŕ va(v)dv
v
³ s(v) + s 0 )
v0