abstand planet

Werbung
Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (4)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Gravitation
•
•
Die Gravitationswechselwirkung ist
eine der fundamentalen Kräfte in der
Physik
Sie wirkt zwischen zwei Massen m1 und
m2, die sich im Abstand r voneinander
befinden, anziehend
•
Gefunden im Jahre 1665 von Sir Isaac
Newton
•
Universelle Gravitationskonstante G
•
Zentralkraft
Dynamik des Massenpunkts 4
m1
r
m2
r
m1 ⋅ m2
F = −G
r2
r
r
⋅
r
G = 6.67 ⋅10 −11 [N m 2 kg -2 ]
2
Kraft F [N]
1 .10
8
1 .10
9
1 .10
10
1 .10
11
1 .10
12
1 .10
13
Gravitationskraft
1 kg
0.1
1
10
r
1 kg
100
Abstand r [m]
Dynamik des Massenpunkts 4
3
Gravitationsbeschleunigung der Erde
•
•
•
Körper umkreisen die Erde auf
annähernd kreisförmigen Bahnen
(Kreisbewegung)
Die in einem konstanten Abstand r
vom Erdmittelpunkt ausgeübte
Schwerkraft bewirkt eine konstante
Beschleunigung aG, welche von der
Zentripetalbeschleunigung aZ genau
aufgehoben wird
Die Beschleunigung nimmt mit
zunehmenden Abstand ab
Objekt
Oberfläche
Geostationärer
Satellit
Erdmond
Abstand
[km]
Periode
[s]
aG
aZ = ω 2 ⋅ r
Kreisfrequenz
[s-1]
Beschleunigung
[m s-2]
6.370
5.063
1.24 10-3
9.81
42.160
86.400
(1 Tag)
7.27 10-5
0.223
384.400
2.360.000
(27 Tage)
2.66 10-6
0.00273
Dynamik des Massenpunkts 4
4
Gravitationsbeschleunigung der Erde
100
Erdoberfläche
Beschleunigung a [m s^-2]
10
Geostationärer
Satellit
1
0.1
0.01
1 .10
Mond
3
1 .10
3
1 .10
4
1 .10
5
1 .10
6
Abstand vom Erdmittelpunkt [km]
Dynamik des Massenpunkts 4
5
Eigenschaften der Gravitation
•
•
•
•
Nach bisherigen Erkenntnissen gilt das 1/r2 – Abstandsgesetz über
einen Bereich von wenigen Metern bis zu kosmischen Distanzen
Die Newton‘sche Theorie der Gravitation ist 1916 von Albert
Einstein im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie erheblich
erweitert worden – geringe Abhängigkeit von Relativgeschwindigkeit
und Rotation in Extremfällen
Es sind keine Stoffe bekannt, die Gravitation „abschirmen“ können
Die Gravitation ist die schwächste der physikalischen
Fundamentalkräfte
– Die elektrostatische Anziehung zwischen Protonen und Elektronen ist
1040 größer als ihre Schwerkraft
•
•
Die Gravitation wirkt aber ausschließlich anziehend (keine
„negativen“ Massen) und kann daher nicht neutralisiert werden
Die Gravitation ist daher die stärkste Kraft, die über kosmische
Distanzen wirkt
Dynamik des Massenpunkts 4
6
Gravitationsfeld und Potential
•
Eine Masse m gibt Anlass zu einem
Gravitationskraftfeld, welches mit
einer „Probemasse“ mp untersucht
werden kann
m
r
r
Gm r
Fp = − m p ⋅ 2 ⋅
r r
•
Feldstärke g des Gravitationsfeldes
•
Wegen des Äquivalenzprinzips
(träge Masse = schwere Masse) ist
die Feldstärke unabhängig vom
Probekörper
Dynamik des Massenpunkts 4
mp
r
r
Gm r
g=− 2 ⋅
r r
7
Gravitationsfeld und Potential
•
Das Gravitationsfeld einer Punktmasse ist
konservativ – es gibt ein Potential
– Für sehr große Entfernungen wird das
Potential konstant
•
Vereinbarung: Nullpunkt der potentiellen
Energie einer Probemasse mp ist im
Unendlichen
– Kraft wird im Unendlichen Null
– Potentielle Energie ist für endliche
Abstände negativ
•
Potential ϕ(r)
•
Feldstärken
Dynamik des Massenpunkts 4
r r r
Epot (r ) = − ∫ F (r ′) dr ′
r
∞
r
Gm
= m p ⋅ ∫ 2 dr ′
r′
∞
Gm
= − mp ⋅
r′
ϕ (r ) = −
Gm
r
r
r
r
F (r ) = − ∇Epot (r )
r r
r
g (r ) = − ∇ϕ (r )
8
Gezeiten
•
•
Punktmassen sind eine Idealisierung, reale Massenverteilungen
ausgedehnt
Gravitationsfeld wird dadurch komplexer, aber
– immer konservativ
– es gibt immer ein Potential
•
Ausgedehnte Körper erfahren in einem Gravitationsfeld Gezeitenkräfte
⎛
1
1 ⎞ G ⋅ mMond
⎟=
aGez = G ⋅ mMond ⎜⎜
−
2
2 ⎟
2
r
r
(
)
r
r
±
M
M
⎝ M E
⎠
≈
G ⋅ mMond
rM2
Dynamik des Massenpunkts 4
⎛
⎜
⎜
1
⎜
rE
⎜⎛
⎜
1
±
⎜⎜ r
M
⎝⎝
⎛
⎞
r
G ⋅ mMond ⋅ rE
⎜⎜1 m 2 E − 1⎟⎟ = m 2
rM
rM3
⎝
⎠
Gerthsen Physik
⎞
⎟⎟
⎠
2
9
⎞
⎟
⎟
− 1⎟
⎟
⎟
⎠
Planetenbahnen
•
•
•
•
Die Bewegung zweier Massen im gemeinsamen Gravitationsfeld
kann mathematisch geschlossen beschrieben werden
(„Zweikörperproblem“)
Das beste Beispiel für ein Zweikörperproblem stellt der Umlauf
eines Planeten um die Sonne dar. Dabei kann der Einfluss der
Schwerkraft anderer Planeten zunächst vernachlässigt werden
Johannes Kepler (1571-1630) hat mithilfe umfangreicher
Beobachtungen von Tycho Brahe die drei Keplerschen Gesetze
(1609 und 1619), welche die Dynamik der Planeten umfassend
beschreiben
Isaac Newton formulierte später (1687) die Axiome der Mechanik
und das Gravitationsgesetz, welche eine Verallgemeinerung der
keplerschen Gesetze darstellen
Dynamik des Massenpunkts 4
10
Planetenbahnen
•
•
•
1. Keplersches Gesetz: „Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen.
Die Sonne befindet sich in einem der Brennpunkte.“
2. Keplersches Gesetz: „Die Verbindungslinie Sonne-Planet
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.“
3. Keplersches Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten
verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen
Bahnachsen.“
•
Das 2. Keplersche Gesetz ist eine direkte Folge der Erhaltung des
Drehimpulses
•
Das 1. und 3. Keplersche Gesetz folgen aus der Eigenschaft der
Gravitation, eine Zentralkraft mit einem 1/r2 – Abstandsgesetz zu
sein
Dynamik des Massenpunkts 4
11
Planetenbahnen – Ellipsen
•
Ellipsen
b
– Große Halbachse a, kleine Halbachse b
– Abstand Mittelpunkt-Brennpunkt e
– Exzentrizität ε
a
ϕ
r
•
•
•
Wähle den Brennpunkt, in dem sich die
Sonne befindet, als Ursprung des
Koordinatensystems
Die Bewegung findet in einer Ebene
statt, die senkrecht zum Drehimpulsvektor steht
Darstellung in Polarkoordinaten (r,ϕ),
welche dem Problem besser angepasst
sind
Dynamik des Massenpunkts 4
e
r‘
e2 = a 2 − b2
e
ε =
a
r + r ′ = 2a (Definition)
b2
r=
a(1 − ε cos ϕ )
12
Planetenbahnen – 2. Keplersches Gesetz
r ⎛r⎞
• Ort des Planeten: r = ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ϕ ⎠
• Geschwindigkeit r ⎛ vr ⎞ ⎛ r& ⎞
v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟
des Planeten:
⎝ vϕ ⎠ ⎝ rϕ& ⎠
•
Drehimpulsbetrag:
•
In der Zeit Δt von der
Verbindungslinie überstrichene Fläche
(Δt klein)
ϕ
r
v
L = m ⋅ r ⋅ vϕ = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ& = konstant
t + Δt
r r
1 r r
1 r
∫t m r × v dt ′ ≈ 2 m r × v ⋅ Δt = 2 L ⋅ Δt
A 1 r
= L = konstant
Δt 2
1
A=
2
Dynamik des Massenpunkts 4
13
Planetenbahnen
•
Man kann zeigen, dass Lösungen für
die Bewegungen im Gravitationsfeld
(einer Punktmasse) Kegelschnitte
sind
•
Allgemeiner Zusammenhang
zwischen r und ϕ
•
r=
p
1 + e cos ϕ
p
Parabel
Art der Bahn:
–
–
–
–
Kreis:
e = 0,
p=a=r
Ellipse: 0 < e < 1, p = b2/a
Parabel: e = 1, p bestimmt Öffnung
Hyperbel: e > 1,
p = b2/a
a
b
Dynamik des Massenpunkts 4
Hyperbel
14
Planetenbahnen
•
•
•
Gesamtenergie E (kinetische plus
potentielle Energie) bleibt erhalten
Potentielle Energie ist immer
negativ
Gesamtenergie E < 0:
–
–
–
–
•
Kreisbahnen (hoher Drehimpuls)
Elliptische Bahnen
Bahnen sind geschlossen
Planeten, Monde
Gesamtenergie E = 0
E = EKin + EPot
E>0
E=0
EPot = − G
E<0
– Parabelbahnen
– Kometen
•
Gesamtenergie E > 0
– Hyperbelbahnen
– Kometen
Dynamik des Massenpunkts 4
0
r
15
m
r
Planetenbahnen – 3. Keplersches Gesetz
•
Die Bahnen der Planeten sind in
guter Näherung Kreisbahnen
– Exzentrizität ε ≤ 0.05 für alle
Planeten außer Merkur
•
Gravitationsbeschleunigung
unabhängig von Planetenmassen
mSonne
aG = − G 2
rPlanet
2
aZ = − ωPlanet rPlanet
2
– alle kleiner als 0.001 mSonne
•
•
Gravitationsbeschleunigung aG
und Zentripetalbeschleunigung aZ
sind gleich groß
Das Verhältnis von Quadrat der
Umlaufzeit TPlanet und der dritten
Potenz des Radius der
Planetenbahn rPlanet hängt nur von
konstanten Größen ab
Dynamik des Massenpunkts 4
⎛ 2π ⎞
⎟⎟ rPlanet
= ⎜⎜
⎝ TPlanet ⎠
2
⎛ 2π ⎞
mSonne
⎜
⎟
rPlanet = − G 2
−⎜
⎟
rPlanet
⎝ TPlanet ⎠
2
TPlanet
4π 2
= 3
= konstant
G ⋅ mSonne
rPlanet
16
Dynamik des Massenpunkts 4
17
Herunterladen