Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (3)

Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (3)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete
• Eine Rakete mit der Masse m fliegt mit
der Geschwindigkeit v im leeren,
kräftefreien Raum
w dm
v
m
• Sie stößt in der Zeit dt die Masse dm
Treibstoff mit einer konstanten
Geschwindigkeit w aus
• Die Masse m(t) vermindert sich um dm,
daher ist dm negativ
• Die Impulserhaltung fordert, dass die
Geschwindigkeit v(t) der Rakete in der
Zeit dt um einen Betrag dv zunimmt
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−w
dm
dv
=m
= m⋅a
dt
dt
1 d m(t )
1 d v(t )
=−
m(t ) dt
w dt
2
1
Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete
• Mithilfe der Differentialgleichung aus
dem Impulssatz kann man einen
einfachen Zusammenhang zwischen
Masse und Geschwindigkeit herstellen
• Zeitabhängigkeit „herauskürzen“
(Trennung der Variablen)
• Integration beider Seiten über die
jeweilige Variable
• Integrationskonstante m0
• Die Masse der Rakete nimmt mit
zunehmender Geschwindigkeit v
exponentiell ab
1 d m(t )
1 d v(t )
=−
m(t ) dt
w dt
dm
1
= − dv
m
w
1
1
ln
m
v
=−
m0
w
∫ m dm = − w ∫ dv
m = m0 ⋅ e
−
v
w
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Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete
• Bei Brennschluss – Masse m1 – hat
die Rakete eine Geschwindigkeit v1
erreicht
• Ein realistisches Massenverhältnis
zwischen leerer und voll betankter
Rakete ist m1/m0 = 1/6
m1 = m0 ⋅ e
−
v1
w
v
− 1
m1
=e w
m0
• Damit beträgt v1 etwa das 1.8-fache
von w
• Die Geschwindigkeit der Brenngase
beträgt etwa 2 – 3 km/s, die
Endgeschwindigkeit der Rakete etwa
3 – 5 km/s
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2
Schwingungsenergie
• Die Kraft einer Feder ist proportional
zu ihrer Auslenkung aus der
Ruhestellung (Hooke‘sches Gesetz)
F = − D⋅x
F
0
x
m
• Die Größe D heißt Federkonstante,
Einheit [N m-1] = [kg s-2]
• Auslenkung der Feder durch eine
Masse m
x
Epot = − ∫ F dx
• Die potentielle Energie ist
0
=
1 2
Dx
2
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Schwingungsenergie
E = Ekin + Epot
• Gesamtenergie
1 2 1 2
mx& + Dx
2
2
= konstant
=
x(t ) = A ⋅ sin (ωt )
x& (t ) = A ⋅ ω ⋅ cos(ωt )
• Ansatz für die Funktion x(t)
• Aus der Gesamtenergie
E=
1
1
mA2ω 2 cos 2 (ωt ) + DA2 sin 2 (ωt )
2
2
ω2 =
• Kreisfrequenz
E=
(
D
m
)
1
1
1
1
DA2 cos 2 (ωt ) + DA2 sin 2 (ωt ) = DA2 cos 2 (ωt ) + sin 2 (ωt ) = DA2
2
2
2
2
• Federpendel führt harmonische Bewegung aus
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3
Stoßgesetze
• Stoß: sehr kurzzeitige Wechselwirkung
zwischen zwei Körpern
• Geschwindigkeiten vor dem Stoß v1, v2
• Geschwindigkeiten nach dem Stoß v‘1, v‘2
• Erhaltung des Gesamtimpulses
v1
m2
m1v1 + m2 v2 = m1v1′ + m2 v′2
• Erhaltung des Gesamtenergie –
elastischer Stoß
1
2
m1v12 + 12 m2 v22 = 12 m1v1′2 + 12 m2 v2′2
• Abnahme des Gesamtenergie (z. B.
Deformation)– anelastischer Stoß
1
2
v2
m1
m1
m2
V‘1
V‘2
m1
m2
m1v12 + 12 m2 v22 > 12 m1v1′2 + 12 m2 v2′2
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Stoßgesetze – Schwerpunktsystem
• Schwerpunktsystem: Ursprung des
Koordinatensystems ist der gemeinsame
Schwerpunkt der beiden Massen
• Gesamtimpuls verschwindet –
Einzelimpulse haben vor und nach dem
Stoß den gleichen Betrag
• Richtungsänderung der Bewegung durch
Impulsübertrag
r
r r
Δp = m1 (v1′ − v1 )
r
m1 ⋅ v1
ϑ
r
m1 ⋅ v1′
r
m2 ⋅ v2′
r
m2 ⋅ v2
r
Δp
ϑ
r
Δp = 2m1 ⋅ v1 ⋅ sin
2
• Energieübertrag ist Null
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Stoßgesetze
• Laborsystem: Ursprung des
Koordinatensystems ist durch die
experimentellen Bedingungen gegeben,
Schwerpunkt bewegt sich geradlinig
r
gleichförmig mit Geschwindigkeit vS
r r
v1′ + vS
r r
v1 + vS
r
vS
r r
v2′ + vS
r r
v2 + v S
• Der Impulsübertrag ist derselbe wie im
Schwerpunktsystem, da der
Gesamtimpuls sich nicht ändert
• Der Energieübertrag ist
[
r r 2 r r 2
ΔE = 12 m1 (v1 + vS ) − (v1′ + vS )
r r
= Δp ⋅ v S
]
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Reibungskräfte
•
•
•
•
FN
Reibung verwandelt kinetische Energie in
Wärmeenergie
Bewegte Körper verlieren unter dem Einfluss der
Reibung an Geschwindigkeit (Bremswirkung)
Man unterscheidet mehrere – meist empirische –
Gesetze für Reibungskräfte
Trockene Reibung (Coulomb-Reibung):
– tritt auf, wenn sich ein Körper auf einer trockenen
Unterlage ohne Schmierung bewegt
– Ist unabhängig von der Geschwindigkeit
– Haftreibung F‘R und Gleitreibung FR
– Normalkraft FN
– Reibungskoeffizient μ, μ‘
– Rollreibung zwischen rollendem Körper und
Unterlage – Reibungsdrehmoment DR
– Rollreibungskoeffizient μ‘‘, Einheit [m]
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FR
FN
DR
FR = μ ⋅ FN
FR′ = μ ′ ⋅ FN
DR = μ ′′ ⋅ FN
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Reibungskräfte
Stoffe
Bedingungen
μ‘ (Haft)
μ (Gleit)
Stahl / Stahl (20°)
trocken
Maschinenöl
0.5 – 0.8
0.08
0.4
0.06
Glas / Glas
trocken
Paraffinöl
0.9 – 1.0
0.5 – 0.6
0.4
Eis / Eis (trocken)
0 °C
-80 °C
0.05 – 0.15 0.02
0.09
Gummi / Asphalt
trocken
nass
Eis
1.2
0.6
μ‘‘ (Roll)
0.05
0.03-0.1
1.05
0.4
ca 0.1
Quellen: Demtröder, Physik; Pfeifer et al., Kompaktkurs Physik
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Reibungskräfte
• Viskose Reibung (Stokes-Reibung):
FS
– Bremskraft, die kleinere, langsame Körper in
einer Flüssigkeit erfahren
– Proportional zur Geschwindigkeit v
r
v
FR = 6π ⋅η ⋅ r ⋅ v
– Zähigkeit (Viskosität) η
• Newton-Reibung:
Dichte ρ
– Bremskraft, die größere, schnelle Körper in
einer Flüssigkeit erfahren
– Proportional zum Quadrat der
Geschwindigkeit
FR = ⋅ cW ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v
1
2
A
Turbulenz
v
2
• Widerstandskoeffizient cW
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Reibungskräfte
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Gerthsen Physik
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