Aufgaben zum Physikclub Thema: Newton und die Gravitation

Aufgaben zum Physikclub
Thema: Newton und die Gravitation
8. Februar 2007
Aufgabe 1: Keplers Gesetze
Noch bevor Newton seine Theorie der allgemeinen Gravitation verfasste, entdeckte Johannes Kepler drei wichtige Gesetze der Bewegung der Planeten um die Sonne. Newtons
spätere Arbeit Fußte stark auf Keplers Entdeckungen. Wir wollen im heutigen Physikclub diese Gesetze verstehen und zum Teil sehen, wie sie aus Newtons Formel folgen.
Erstes Gesetz
Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, wobei sich die Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse befindet. Die oft als kreisförmig beschriebenen Planetenbahnen sind
in Wirklichkeit Ellipsen. Die Abweichungen von einer Kreisbahn sind sehr klein, aber
dennoch messbar. Kepler erkannte richtig die elliptische Gestalt der Planetenorbits.
Zweites Gesetz
Der Fahrstrahl eines Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. Mit dem
Fahrstrahl ist die Verbindungslinie zwischen Planet und Sonne gemeint. Aus diesem Gesetz leitet man die folgende Tatsache ab: Soll der Ortsvektor des Planeten in Sonnennähe
und -ferne innerhalb der gleichen Zeit die gleiche Fläche überstreichen, muss der Planet
in Sonnennähe eine höhere Geschwindigkeit haben. In der Tat ist dies ein Resultat aus
der Lösung der Newtonschen Gleichungen.
Drittes Gesetz
Das Quadrat der Umlaufszeit eines Planeten um die Sonne ist proportional zur dritten
Potenz seiner großen Halbachse. Nach Auswertung der Newtonschen Bewegungsgleichungen erhält man sogar den Proportionalitätsfaktor. Es gilt nämlich
P
2π
2
=
a3
,
G(M + m)
wobei M die Sonnenmasse, m die Masse des Planeten, a seine große Halbachse, P die
Umlaufzeit und G die Newtonsche Gravitationskonstante ist.
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