Kapitel 6 Zweite Quantisierung

Kapitel 6
Zweite Quantisierung
6.1 Identische Teilchen
6.1.1 Ununterscheidbarkeit, Permutationen
Aus der klassischen Mechanik ist man es gewohnt, daß in einem System mit N identischen
Teilchen jedes eindeutig identifiziert werden kann (man könnte z. B. Nummern verteilen). In
der Quantenmechanik ist das grundlegend anders: Hier sind identische Teilchen grundsätzlich
ununterscheidbar! Das bedeutet, daß der Hamiltonian des Systems invariant unter Vertauschung irgend zweier Teilchen ist:
H(1, 2, 3, . . ., N) = H(2, 1, 3, . . ., N)
Die guten Quantenzahlen des i-ten Teilchens (Ort, Spin etc.) sind hier einfach mit ‘i’ bezeichnet. Man sagt auch, die Permutation zweier Teilchen ist eine “Symmetrie des Systems”. Ein
Hamiltonian, der dieser Forderung genügt, ist beispielsweise
N
H
=
∑
i=1
~pi2
+Vext (~ri ) +
2m
N
∑ V (~ri −~r j ) .
i, j=1
i< j
Produkt der Hilberträume
Da man N Teilchen betrachtet, die alle einzeln durch je einen Satz dynamischer Variablen bestimmt sind (Ort, Impuls, Spin), folgt, daß der Hilbert-Raum des Gesamtsystems ein direktes
Produkt ist:
H = H1 ⊗ H2 ⊗ · · · ⊗ HN
Ein Zustand ist deshalb auch ein Produkt (eigentlich ein direktes Produkt) von Zuständen aus
den Einzel-Hilbert-Räumen, bzw. eine Linearkombination von solchen Produkten,
Ψ(1, 2, . . ., N) = Ψ1 (x1 ) Ψ2 (x2 ) . . .ΨN (xN )
+ Ψ′1 (x1 ) Ψ′2 (x2 ) . . .Ψ′N (xN ) + . . . .
(6.1)
Im folgenden untersuchen wir die Eigenschaften der Wellenfunktion (6.1) unter Vertauschung
der Indizes.
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80
Zweite Quantisierung
Permutationen
Zunächst führen wir den Operator P ein, der eine Permutation der Argumente von ψ bewirkt,
P ψ(1, 2, . . ., N) ≡ ψ(α1 , α2 , . . . , αN ) .
Die Symbole (α1 , . . . αN ) stehen dabei für eine Umnumerierung der alten Argumente 1 . . . N,
wie z.B.

 1 → 2
2 → 1
(α1 , α2 , α3 ) = (2, 1, 3)
bedeutet

3 → 3
Es gibt bekanntlich genau N! solcher Umnumerierungen. Die Invarianz des Hamiltonian unter
einer solchen Permutation scheibt sich dann als
P H P −1 = H
⇔
[P , H] = 0 ,
denn ein Operator P ist genau dann eine Symmetrie des Systems wenn er mit dem HamiltonOperator vertauscht.
Transpositionen
Bei einer Transpositionen Pi j werden einfach die i-te mit der j-ten Quantenzahl vertauscht,

 i → j
j → i
Pi j
bedeutet

k → k, ∀k 6= i, j
Bei einem N-Teilchen-System gibt es N(N − 1)/2 Transpositionen, es gilt
Pii = 1,
Pi j = Pji .
Zwei Transpositionen Pi j und Pkl vertauschen dann, wenn die Zahlen i, j, k, l paarweise verschieden (oder gleich) sind.
Permutationen als Produkt von Transpositionen
Jede beliebige Permutation P läßt sich als ein Produkt von Transpositionen Pi j darstellen, wie
z.B.


 1 → 2 
2 → 3
(α1 , α2 , α3 ) = (2, 3, 1)
⇔
⇔
P23 P21 ,


3 → 1
denn
P23 P21 (1, 2, 3) = P23 (2, 1, 3) = (2, 3, 1) .
Eigenschaften von Transpositionen
Transpositionen sind speziellen Pertmutationen und vertauschen daher mit dem Hamiltonian.
Es gilt:
[Pi j , H] = 0,
Pi2j = 1,
Pi†j = Pi j = Pi−1
j .
Pi j had die Eigenwerte ±1 und daher is Pi j hermitesch und unitär.
6.1 Identische Teilchen
81
Gerade und ungerade Permutationen - Parität
Eine Permutation P heißt ungerade, wenn sie aus einer ungeraden Zahl von Transpositionen
aufgebaut ist, sonst gerade. Man spricht von der ‘Parität’ der Permutation.
N-Teilchen Zustand in Ein-Teilchen-Basis
Es gilt nun herauszufinden, wie ein N-Teilchen-Zustand genau aussieht. Man geht am besten
von einer Einteilchen-Basis {|λi i} aus. Ein Zustand des Gesamtsystems kann dann z. B. so
aussehen:
|λ1 , λ2 , . . . , λN i = |λ1i1 |λ2 i2 · · · |λN iN
(6.2)
Das bedeutet, das Teilchen 1 (Index ‘1’ am Ket-Vektor) befindet sich im Einteilchen-Zustand
|λ1 i usw. Die Transposition P12 wirkt dann so:
P12 |λ1 , λ2 , λ3 , . . ., λN i = |λ2 , λ1 , λ3 , . . . , λN i = |λ2i1 |λ1i2 |λ3i3 · · · |λN iN
(6.3)
Jetzt befindet sich also Teilchen 1 im Zustand |λ2 i und Teilchen 2 im Zustand |λ1 i.
Beispiel: 2 Teilchen
Es ist N! = 2, und P ∈ {1, P12 }, mit
1|λ1 , λ2 i = |λ1, λ2 i,
P12 |λ1 , λ2 i = |λ2 , λ1 i .
Durch Anwendung der Transposition können nur die beiden Zustände |λ1 , λ2 i und |λ2, λ1 i
erzeugt werden. Da P mit H vertauscht, kann man ein gemeinsames Eigenfunktions-System
finden. Eigenvektoren zu P12 gehören zu den Eigenwerten ±1. Also bilden wir die symmetrische und die antisymmetrische Linearkombination der beiden Zustände:
1 |λ1, λ2 iS ≡ √ |λ1 , λ2i + |λ2 , λ1 i
: symmetrisch
2
1 : antisymmetrisch
|λ1 , λ2 iA ≡ √ |λ1 , λ2i − |λ2 , λ1 i
2
Es gilt dann
P12 |λ1, λ2 iS = +|λ1 , λ2 iS
P12 |λ1 , λ2 iA = −|λ1 , λ2 iA
Antisymmetrische (symmetrische) Zustände kehren ihr Vorzeichen unter Vertauschung der
Indizes (nicht) um.
Beispiel: 3 Teilchen
N = 3: Es ist N! = 6, und es gibt die drei Transpositionen P12 , P23 und P13 . Die symmetrischen
und antisymmetrischen Linearkombinationen aus den sechs Zuständen |λ1 , λ2 , λ3 i, |λ2 , λ1, λ3 i
usw. lauten:
1 |λ1 , λ2 , λ3iS := √ |λ1, λ2 , λ3 i + |λ1 , λ3 , λ2i + |λ2 , λ1 , λ3 i
6
|λ1 , λ2 , λ3 iA
+ |λ2 , λ3 , λ1 i + |λ3 , λ1 , λ2i + |λ3 , λ2 , λ1 i
1
:= √ |λ1, λ2 , λ3 i − |λ1 , λ3 , λ2i − |λ2 , λ1 , λ3 i
6
+ |λ2 , λ3 , λ1 i + |λ3 , λ1 , λ2i − |λ3 , λ2 , λ1 i
82
Zweite Quantisierung
Nun gilt wieder
Pi j |λ1 , λ2 , λ3 iS/A = ±|λ1 , λ2 , λ3 iS/A
bei
i 6= j .
(6.4)
Außer der symmetrischen und der antisymmetrischen Linearkombination gibt es noch vier
weitere, die auf den beiden bereits gefundenen senkrecht stehen, jedoch nicht gleichzeitig
Eigenfunktionen aller drei Transpositionen sind. Es stellt sich die Frage, welche dieser sechs
Kombinationen physikalische Bedeutung haben.
Symmetrie für N Teilchen
Es ist zu bemerken, dass die Pi j ja i.A. nicht miteinder vertauschen, es also nicht unbedingt
gemeinsame Eigenfunktionen geben müsste. Die total antisymmetrische |λ1 , . . ., λN iA und die
symmetrischen Wellenfuktionen |λ1 , . . ., λN iS kann man jedoch definieren und per Konstruktrution zeigen, dass
P |λ1 , . . . , λN iS = |λ1 , . . . , λN iS
P |λ1 , . . ., λN iA = (−1)πP |λ1 , . . ., λN iA ,
wobei πP die (minimale) Zahl der Transpositionen angibt, aus denen P aufgebaut ist, so daß
1 falls P gerade
πP
.
(−1) =
−1 falls P ungerade
Die symmetrischen bzw. antisymmetrischen N-Teilchen-Zustände lauten dann in voller Allgemeinheit:
1
|λ1 , . . . , λN iS = √ ∑ P |λ1 , . . . , λN i
N! P
1
|λ1, . . . , λN iA = √ ∑(−1)πP P |λ1 , . . ., λN i
N! P
(6.5)
(6.6)
Der Ket |λ1 , . . ., λN i bedeutet dabei einen Produktzustand wie in (6.2). Die Summe geht über
alle N! Permutationen.
Die Erfahrung zeigt, daß andere als symmetrische oder antisymmetrische Zustände in der
Natur für identische Teilchen nicht vorkommen.
Slater Determinante
Die antisymmetrische Kombination (6.6) läßt sich auch noch anders schreiben. Es handelt sich
nämlich genau um die Definition einer Determinante mit den Einteilchen-Wellenfunktionen
als Einträge:
|λ1 i1 |λ1 i2 · · · |λ1 iN |λ
i
|λ
i
·
·
·
|λ
i
1 2 1
2 2
2 N (6.7)
|λ1 , . . . , λN iA = √ ..
.. ..
..
.
N! .
. .
|λN i1 |λN i2 · · · |λN iN Dieser Ausdruck heißt Slater-Determinante. Durch die Determinantenform wird die Antisymmetrie unter Transpositionen sofort deutlich: Ein Austausch zweier Teilchen entspricht
nämlich dem Austausch zweier Zeilen in der Determinante. Andere Zustände aus H mit komplizierterer Symmetrie als (6.5) und (6.6) bzw. (6.7) kommen aller Erfahrung nach in der Natur
nicht vor.
6.1 Identische Teilchen
83
6.1.2 Bosonen und Fermionen
Nach den Ausführungen des vorigen Abschnittes kann der gesamte Hilbert-Raum N identischer Teilchen als direkte Summe dreier Räume geschrieben werden:
H = H1 ⊗ H2 ⊗ · · · ⊗ HN
= HS ⊕ HA ⊕ HR
Dabei enthält HA alle antisymmetrischen und HS alle symmetrischen Linearkombinationen
aus den Einteilchen-Zuständen, und in HR stecken alle Zustände komplizierterer Symmetrie.
Observablen
Wir betrachten nun eine Observable A (also einen hermiteschen Operator). Die Anteile von A,
die auf die Einzelteilchen separat wirken, seien mit A(1) bezeichnet. Es gilt
A(1) =
N
∑ A(i) .
(6.8)
i=1
Hier ist i die Nummer eines Teilchens und A(i) der Einteilchen-Operator, der eben auf dieses
eine Teilchen wirkt. Ein gemeinsames Potential für alle Teilchen wäre ein Beispiel. Die Anteile in A, die Zweiteilchen-Wechselwirkungen beschreiben, bezeichnen wir mit A(2) . Es gilt
dann
A(2) =
N
∑ A(i, j) ,
(6.9)
i, j=1
i< j
wobei A(i, j) eine Wechselwirkung des i-ten mit dem j-ten Teilchen beschreibt. Der Operator
A ist offensichtlich invariant gegen eine Vertauschung i ↔ j. Das heißt: Nur die symmetrischen Funktionen der Observablen der Einzelteilchen bilden eine physikalische Observable
des Gesamtsystems.
Observable und Permutations-Symmetrie
Wir zeigen nun, daß die Anwendung einer Observablen auf einen Zustand die SymmetrieEigenschaft dieses Zustandes nicht verändert, daß also
AHS ⊂ HS
und
AHA ⊂ HA .
⇒
[A, P ] = 0 .
(6.10)
Zunächst ist festzustellen, daß
[A, Pi j ] = 0
Wenn aber die Wahl einer bestimmten Permutation keine Rolle spielen soll, dann ist jeder
Meßprozeß am System nur bis auf eine Austauschentartung eindeutig. Das heißt insbesondere,
daß durch solche Messungen niemals der Zustand jedes einzelnen Teilchens festgelegt werden
kann. Es gilt
Pi j |ψiS/A = ±|ψiS/A ,
und weiter
Pi j A|ψiS/A = APi j |ψiS/A = ±ApsiiS/A ,
also bleibt die Symmetrie-Eigenschaft des Zustandes auch nach Anwendung des Operators A
erhalten. Es folgt, daß es keine Matrixelemente für Observablen gibt, die symmetrische und
84
Zweite Quantisierung
antisymmetrische Zustände mischen. Das gilt auch, wenn man die zeitliche Entwicklung der
Zustände mit in Betracht zieht, da [U, P ] = 0.
Spin-Statistik-Theorem
Die Erfahrung zeigt, dass die Wellenfunktionen ununtscheidbarer Teilchen (der Elementarteichen) entscheidenen Einschränkungen unterliegt. Das Spin-Statistik-Theorem kann man zudem auch mit Hilfe der Quantenfeldtheorie herleiten.1
Spin-Stastik-Theorem
Die Zustände eines Systems aus N ununterscheidbarer Teilchen sind entweder total symmetrisch oder total
antisymmetrisch bzg. Teilchenaustausch. Diese Symmetriebedingung für die N-Teilchen Wellenfunktionen
werden eineindeutig durch den Spin der Elementarteilchen bestimmt.
Gemischte Symmetrien kommen in der Natur nicht vor. Damit lassen sich alle Elementarteilchen in zwei Gruppen einteilen.
• Bosonen
Man nennt Teilchen mit symmetrischen N-Teilchen-Wellenfunktionen Bosonen, sie haben ganzahligen Spin.
Photonen, Gluonen, π-Mesonen und die Austauschteilchen der schwachen Wechselwirkung W ± und Z 0 sind Bosonen.
• Fermionen
Fermionen haben antisymmetrischen Wellenfunktionen und halbzahligen Spin.
Beispiele für Fermionen sind Leptonen (Elektron) und Quarks bzw. Baryonen (Neutron,
Proton).
Wir bemerken noch am Rande, dass Elementarteilchen nach Definition keine innere Struktur
haben, also Punktteilchen sind. en nach dem heutigen
Pauli Prinzip
Die Forderung nach Antisymmetrie bei Fermionen hat wichtige Konsequenzen. Zwei identische Fermionen können niemals den gleichen Einteilchen-Zustand einnehmen. Dieses Gesetz ist als Pauli-Prinzip bekannt. Zum Beweis betrachte man einen antisymmetrischen NTeilchen-Zustand, in dem zwei Einteilchen-Zustände gleich sind. Es gilt:
|λ1 , . . ., λi , . . ., λ j , . . ., λN i = −|λ1 , . . . , λ j , . . ., λi , . . . , λN i
Es folgt hiermit sofort, daß
|λ1 , . . . , λi , . . . , λ j , . . . , λN i = 0,
1 Ein
falls
|λi i = |λ j i .
Beweis findet sich in R. F. Streater und A. S. Wightman. “PCT, Spin and Statistics, and all that.”
Benjamin/Cummings, Reading, Mass., 1964.
6.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
85
Zwei identische Fermionen dürfen also nie in allen Einteilchen-Quantenzahlen gleichzeitig
übereinstimmen, denn das hätte zur Folge, daß der N-Teilchen Zustand nicht existierte (man
sieht das auch schon in (6.7): Die Determinante verschwindet, wenn zwei Zeilen gleich sind).
Folglich muß bei der Auffüllung von Zuständen mit Fermionen stets das Pauli-Prinzip beachtet
werden. Das Periodensystem der Elemente entsteht auf diese Art.
6.2 Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
6.2.1 Fockraum
Großkanonischer Zustandsraum
Bisher haben wir immer einen Hilbertraum mit fester Teilchenzahl betrachtet, z.B. N = 2.
Wir können nun aber den Raum Hilbertraum erweitern und eine beliebige Anzahl von (hier:
identischen) Teilchen zulassen:
(2)
(1)
(0)
⊗ HA/S ⊗ HA/S ⊗ . . . ,
HA/S = HA/S
(N)
wobei der hochgestellte Index (N) die Anzahl Teilchen im Raum HA/S anzeigt. Den (Produkt-)
Raum HA/S nennt man den Fockraum, es ist der Zustandsraum der großkannoischen Statistik.
Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
Man kann nun “Absteige-” und “Aufsteigeoperatoren” zwischen Segmenten des Fockraums
mit verschiedenen Teilchenzahlen definieren. Diese Operatoren erzeugen und vernichten als
Teilchen, man nehnt sie demzufolge die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren. Sie spielen
eine zentrale Rolle bei allen ernsthaften Rechnungen innerhalb der Quantenmechanik.
Zweite Quantisierung
Das Segment des Fockraumes ohne ein einziges Teilchen nennt man das Vakuum, wir bezeichnen es mit
|0i
: Vakuum .
Die (basisunabhängige) Notation für einen Zustand mit N Teilchen mit (vollständigen) Quantenzahlen α1 , . . . , αN (z.B. (αi = ki , σi für Elektronen) bezeichnen wir mit
|α1 , . . ., αN i
: N-Teilchen Zustand .
Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren bezeichnen wir mit c†α und cα für Fermionen
und b†α und bα für Bosonen. Sie sind via
c†α |0i = |αi ,
b†α |0i = |αi ,
cα |αi = |0i
bα |αi = |0i
: Fermionen ,
: Bosonen
definiert, diese Darstellung nennt man auch zweite Quantisierung. Für einen allgemeinen NTeilchenzustand gilt analog
c†α |α1 , . . ., αN i = |α, α1 , . . . , αN i ,
b†α |α1 , . . ., αN i = |α, α1 , . . . , αN i ,
cα |α, α1, . . . , αN i = |α1 , . . . , αN i ,
bα |α, α1, . . . , αN i = |α1 , . . . , αN i .
86
Zweite Quantisierung
Das Vakuum enthält keine Teilchen, also
cα |0i ≡ 0 ,
denn es ist nicht möglich Teilchen aus dem Vakuum zu entfernen.
6.2.2 Vertauschungsrelationen
Zentral ist nun die folgende Fragestellung (hier am Beispiel von 2-Fermionen): Sind die
Zustände
c†α c†β |0i
und
c†β c†α |0i
gleich oder unterscheiden sie sich durch eine Phase? Mehr als durch eine Phase können sie sich
nicht unterscheiden, denn c†α c†β |0i und c†β c†α |0i haben identische Quantenzahlen. Die Anwort
hierauft wird durch die Vertauschungsrelationen gegeben. Wir definieren denn Kommutator
[ , ]− und den Antikommutator [ , ]+ via
[A, B]− = A B − B A ,
[A, B]+ = A B + B A .
Zudem ist auch dass Sympol {A, b} für den Antikommutator gebräuchlich.
Bosonen
Für Bosonen und diskrete Quantenzahlen sind die Vertauschungsrelationen
[bα , bβ ]− = 0,
[b†α , b†β ]− = 0,
[bα , b†β ]− = δα,β .
gültig. Für kontinuierliche Quantenzahlen ersetzen wir δα,β → δ(α−β). Bosonen unterschiedlicher Quantenzahlen vertauschen also. Bezüglich der Eingangsfrage gilt:
|α, βi = b†α b†β |0i = b†β b†α |0i = |β, αi.
Eine Permutation von zwei Indizes führt also nicht zu einer zusätzlichen Phase.
Fermionen
Für Fermionen lauten die Vertauschungsrelationen
[cα , cβ ]+ = 0,
[c†α , c†β ]+ = 0,
[cα , c†β ]+ = δα,β .
Bezüglich der Eingangsfrage gilt:
|α, βi = c†α c†β |0i = −c†β c†α |0i = −|β, αi.
Eine Permutation von zwei Indizes führt also nicht zu einer zusätzlichen Phase. Insbesondere
folgt hieraus für α = β das Pauli-Prinzip,
|α, βi = −|β, αi = 0 .
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
87
Zwei Fermionen können nicht die gleichen Quantenzahlen haben.
Teilchenzahl-Operator
Aus den Vertauschungsrelationen folgt zudem, daß die Operatoren
nα = c†α cα ,
nα = b†α bα
die Teilchenzahloperatoren für Fermionen und Bosonen sind. Für Fermionen gilt
nα |0i = c†α cα |0i = 0
nα |αi = c†α cα c†α |0i = c†α 1 − c†α cα |0i = c†α |0i − c†α c†α cα |0i = |αi .
Für Bosonen gilt
N
N
nα b†α |0i = N b†α |0i ,
wie man leicht rekursive beweisen kann.
Normierung
Fermi-Zustände sind von sich aus normiert, da die Besetzungszahlen nur Null oder Eins sind:
hα|αi = h0|cα c†α |0i = h0|1 − c†αcα |0i = h0|0i = 1.
Der normierte bosonische Zustand mit N Bosonen im gleichen Orbital α ist
1 † N
√
|α i =
bα |0i,
N!
N
wie man rekursiv beweisen kann. Hieraus folgt für das Matrixelement:
b†α |αN i
√
√
N + 1 1 † N+1
√
bα
|0i = N + 1 |αN+1 i.
= √
N + 1 N!
√
Man beachte, dass der Normierungsfaktor 1/ N! auch im kohärente Zustand (5.39) des Lichtfeldes auftritt. Dieses ist kein Zufall, den Photonen sind Bosonen.
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
Wir wollen nun, in Verbindung mit Kapitel 5, die Wechselwirkung von Licht mit Materie untersuchen. Die Darstellung der Materie-Zustände in zweiter Quantisierung wird es uns dabei
erlauben, das Konzept der Feynman Diagramme einzführen, welches sowohl in der Vielteilchentheorie wie auch in der Theorie der Elementarteilchen eine zentrale Rolle spielt.
Da wir jezt alles in zweiter Quantisierung aufschreiben werden, verzeichten wir darauf
Operatoren durch Fettdruck auszuzeichnen.
88
Zweite Quantisierung
6.3.1 Licht-Materie Hamiltonian in zweiter Quantisierung
Wir beschreiben die Wechselwirkung von Photonen und Elektronen komplett in zweiter Quantisierung. Der Hamiltonian lautet
H = Hmat + HI + Hem ,
wobei Hmat die Anteile jeweils die Elektronen alleine, HI die Wechselwirkung mit dem Strahlungsfeld (5.46), und Hem das elektromagnetische Feld alleine beschreiben:
Z
h̄2
3
†
(6.11)
Hmat =
d r ψ (~r) − ∆ +V (~r) ψ(~r)
2m
Z
e ~
e2 ~ 2
3
†
HI =
d r ψ (~r) − Aop · ~p +
Aop
ψ(~r)
(6.12)
mc
2mc2
1
†
(6.13)
Hem = ∑ h̄ω~q a~q a~q +
2
~q
Dabei ist
~Aop =
∑
~q
s
2π h̄c2 i~q·~r
a~q e + a~†q e−i~q·~r ~u~q
V ω~q
das Vektorpotential des Lichtfeldes, vergleiche (5.21) und (5.46).
• Die Operatoren ψ† (~x) und ψ(~x) sind die Erzeugunns- und Vernichtungsoperatoren für
Elektronen am Orte ~x.
• Die Summation über den Polarisationsindex ist in die ~q-Summation gesteckt worden.
• Die Kletter-Operatoren a~†q und a~q für das Lichtfeld sind im Heisenberg-Bild, also
zeitabhängig.
• Der gesamte Hamiltonian wirkt in einem Produkt-Raum aus den beiden Fock-Räumen
für Elektronen und Photonen:
HMaterie ⊗ HPhotonen .
Feldoperatoren
Wir wollen zunächst freie Elektronen untersuchen, es ist also V (~r) = 0. Als vollständiges
Orthonormalsystem für die Feldoperatoren der Elektronen bieten sich dann ebene Wellen an,
ψ~k (~r) =
∑
~k
~
eik·~r
√ c~k ,
V
ψ~† (~r) =
k
∑
~k
~
e−ik·~r †
√ c~ ,
V k
mit dem (Anti-) Kommutationrelationen
[ψ† (~x), ψ† (~y)]+ = 0,
[c~† , c~†p ]+ = 0,
k
[ψ(~x), ψ(~y)]+ = 0,
[c~k , c~p ]+ = 0,
[ψ(~x), ψ† (~y)]+ = δ(~x −~y) ,
[c~k , c~†p ]+ = δ~k,~p .
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
89
Dispersionsrelation
Damit können wir Hmat vollständig in Kletter-Operatoren ausdrücken:
Z
1
h̄2
~′
3 −i~k·~r
Hmat = ∑
− ∆ eik ·~r c~† c~k′ ,
d re
k
V
2m
~k,~k′ |
{z
}
= δ~k,~k′ h̄2~k2 /2m
wobei εk = h̄2~k2 /2m als Dispersionsrelation bezeichnet wird, also
Hmat =
∑
~k
h̄2~k2 †
c c~ =
2m ~k k
∑ εk n~k ,
(6.14)
~k
wenn wir den Besetzungszahloperator n~k verwenden.
Die Interpretation von (6.14) ist sehr einfach: Die Energie eines Vielteichenzustanden ist
(ohne Wechselwirkung) einfach die Summe der besetzen Einteilchenniveaus. Man beachte,
dass dies einfache Darstellung zusammenbricht, sobald man die Coulomb-Wechselwirkung
zwischen den Elektronen berücksichtigt.
Paramagentischer Störterm
Mit dem Anteil HI werden wir später Störungsrechnung betreiben. Ihn spaltet man am besten
in seine beiden Summanden auf: HI = HI′ + HI′′ , wobei der paramagnetische Term HI′ linear im
Vektorpotential ist und der diagmagnetische Term HI′′ quadaratisch. Wir behandeln zunächst
den paramagnetischen Anteil.
s
!
Z
2
2π
h̄c
e
h̄
1
~
~
HI′ =
d 3 r ∑ e−ik1~r c~† −
a~q ei~q·~r + a~†q e−i~q·~r ~u~q · ~∇ ∑ eik2 ·~r c~k
∑
2
k1
V
imc ~q
V ω~q
~k1
~k2
= ∑ M1 (~k1 ,~k2 ,~q ) c~† c~k a~q + M1 (~k1 ,~k2 , −~q ) c~† c~k a~q† ,
(6.15)
~k1 ,~k2 ,~q
k1
2
k1
2
wobei ~q wieder den Polarisationsindex beinhaltet. Es ist
s
!
Z
2
1
2π
h̄c
e
h̄
~
~
M1 (~k1 ,~k2 ,~q ) =
e−ik1~r −
ei~q·~r~u~q · i~k2 eik2 ·~r d 3 r
V
imc
V ω~q
s
Z
2π h̄c2 ~ e h̄
~ ~
~u~q · k2
ei(~q+k2 −k1 )·~r d 3 r
= −
V mc
V ω~q
s
e h̄ 2π h̄c2 ~ = −
~u~q · k2 δ~k ,~q+~k .
1
2
mc
V ω~q
(6.16)
Der letzte Ausdruck (6.16) ist nichts weiter als die Impulserhaltung. Der Anteil HI′ beschreibt
durch seine zwei Terme in (6.15) zwei Arten von Prozessen:
90
Zweite Quantisierung
• Der erste Term vernichtet ein Photon ~q und ein Elektron ~k2 und erzeugt ein Elektron ~k1 ,
dabei ist der totale Impuls erhalten: ~k1 = ~q +~k2 .
• Der zweite Term erzeugt ein Photon ~q und ein Elektron ~k1 und vernichtet ein Elektron
~k2 . Der Gesamtimpuls ist wegen ~k2 = ~q +~k1 . erhalten.
Vereinfachung
Man kann leicht zeigen, daß der zweite Term in (6.15) das hermitesch Konjugierte des ersten
ist. Im ersten Term steht nämlich
~
~
~u~q · k2 = ~u~q · k1 −~q = ~u~q ·~k1 ,
also kann man beim Übergang zum zweiten Term statt ~q → −~q auch den Austausch ~k1 ↔ ~k2
vornehmen. Dann ist das hermitesch Konjugierte des zweiten Terms gleich


∑
~k1 ,~k2 ,~q
†
M1 (~k2 ,~k1 ,~q ) c~† c~k2 a~†q  =
k1
∑
~k1 ,~k2 ,~q
M1 (~k2 ,~k1 ,~q ) c~† c~k1 a~q =
k2
∑
~k1 ,~k2 ,~q
M1 (~k1 ,~k2 ,~q ) c~† c~k2 a~q ,
k1
und das ist gleich dem ersten Term. Der paramagentische Anteil HI′ der Licht-MaterieWechselwirkung schreibt sich also einfach als
HI′
=
∑
~k1 ,~k2 ,~q
†
~
~
M1 (k1 , k2 ,~q ) c~ c~ a~q + h.c. .
k1 k2
(6.17)
Feynman-Diagramme
Die beiden Prozesse, die HI′ beschreibt, können durch einfache Diagramme visualisiert werden. Abb. 6.1 links zeigt den ersten Prozeß, die Vernichtung eines Photons ~q unter Streuung
eines Elektrons ~k2 nach ~k1 . Das rechte Diagramm stellt den dazu hermitesch konjugierten
Prozeß dar, die Erzeugung eines Photons unter Streuung eines Elektrons.
c~† c~k2 a~q
k1
~k1 = ~q +~k2
~k2
~
k1
6
~q
c~† c~k2 a~q†
k1
~k2 = ~q +~k1
~k2
~
k1
6
~q
⌢⌢
⌣⌢⌣
⌣
Abbildung 6.1: Prozesse erster Ordnung Störungsrechnung in HI′ . Der rechte Prozeß ist der
hermitesch Konjugierte des linken.
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
91
Feynman-Diagramme
Feynman-Diagramme sind die graphische Darstellung
störungstheoretischer Prozesse. Dabei entsprechen die
Linien den beteiligten ein- und ausgehenden Teilchen
und die Vertizes den Matrixelementen der Wechselwirkung.
Feynman-Diagramme dienen nicht nur der Veranschaulichung. In der Vielteichentheorie und
in der Theorie der Elementarteilchen steht jedes Feynman-Diagramm für einen präzisen mathematischen störungstheoretischen Ausdruck.
Impulserhaltung an den Vertices
Ein Punkt, an dem sich verschiedene Teilchenlinien treffen, heißt Vertex. Das KroneckerDelta in M1 verlangt, daß an einem Vertex der Gesamtimpuls der vernichteten gleich dem
Gesamtimpuls der erzeugten Teilchen ist.
Diamagnetischer Störterm
Der Anteil HI′′ im Hamiltonian enthält vier Terme, die aus dem Produkt ~A2 kommen:
′′
HI = ∑ ∑ M2 (~k1 ,~k2 ,~q1 ,~q2 ) c~† c~k a~q1 a~q2 +
k1
~k1 ,~k2 ~q1 ,~q2
2
+ M2 (~k1 ,~k2 , −~q1 ,~q2 ) c~† c~k a~q†1 a~q2 +
k1
=
∑
2
+ M2 (~k1 ,~k2 ,~q1 , −~q2 ) c~† c~k a~q1 a~q†2 +
k1 2
†
†
†
(6.18)
+ M2 (~k1 ,~k2 , −~q1 , −~q2 ) c~ c~k a~q1 a~q2 =
k1 2
†
†
†
∑ M2(~k1,~k2 ,~q1,~q2) c~ c~k a~q1 a~q2 + M2 (~k1,~k2 , −~q1,~q2) c~ c~k a~q1 a~q2 + h.c.
k1
~k1 ,~k2 ~q1 ,~q2
k1
2
2
Dabei ist
M2 (~k1 ,~k2 ,~q1 ,~q2 ) =
=
1
1 e2
2π h̄c2
√
V
ω~q1 ω~q2 V 2mc2
Z
~
~
e−ik1 ·~r ei(~q1 +~q2 )·~r eik2 ·~r ~u~q1 ·~u~q2 d 3 r
e2
1
2π h̄c2
~u~q1 ·~u~q2 δ~k ,~k +~q +~q .
√
2
1 2
1
2
V
ω~q1 ω~q2 2mc
(6.19)
Die vier Terme in (6.18) beschreiben Vertices, an denen jeweils zwei Elektronen und zwei
Photonen beteiligt sind. Abb. 6.2 zeigt die zugehörigen Feynman-Graphen. Die Größen M1
und M2 legen jeweils fest, mit welcher Wahrscheinlichkeit die zugehörigen Prozesse auftreten
können.
Compton Streuung
Die mittleren beiden Graphen in der Abbildung zeigen die Streuung eines Photons an einem
92
Zweite Quantisierung
c~† c~k a~q1 a~q2
c~† c~k a~†q1 a~q2
c~† c~k a~q1 a~†q2
c~† c~k a~q†1 a~q†2
k1 2
k1 2
k1 2
k1 2
~k1 = ~q1 +~q2 +~k2 ~k1 +~q1 = ~q2 +~k2 ~k2 +~q1 = ~q2 +~k1 ~k2 = ~q1 +~q2 +~k1
~k2
~k1 ?
6
~q1
~q
2
~k2
~k1 6
6
~q1
~q
2
~k2
~k1 ?
6
~q1
2
-~q
~k2
~k1 6
6
~q1
2
-~q
Abbildung 6.2: Prozesse erster Ordnung Störungsrechnung in HI′′ . Die mittleren beiden Graphen beschreiben Beiträge zur Compton-Streuung. Die rechten beiden Diagramme sind die hermitesch Konjugierten der linken.
(freien) Elektron, also die Compton-Streuung (“ein Photon” ist es ja eigentlich nicht — es wird
ein Photon vernichtet und ein anderes erzeugt, zumindest kann man es sich so veranschaulichen). Die anderen beiden Diagramme beschreiben Emissions- und Absorptionsprozesse mit
zwei Photonen. An einem Vertex, der durch HI′′ erzeugt wird, sind immer zwei Photonenlinien
beteiligt.
6.3.2 Nichtrelativistische Bremsstrahlung
Im folgenden untersuchen wir die Streuung eines Elektrons an einem Potential, z. B. einem
feststehenden (weil im Vergleich zum Elektron schweren) Kern. Das geladene Teilchen wird
dabei beschleunigt und strahlt Energie in Form von Photonen ab. Dieser Effekt ist als Bremsstrahlung bekannt, er wird in jeder Zahlartzpraxis benutzt um geeignete Strahlung für Röntgenaufnahmen zu produzieren. Es soll v/c ≪ 1, also der nichtrelativistische Grenzfall gelten.
Störterme
Wir interessieren uns nur für die Emission eines einzigen Photons, also ist HI′ der Wechselwirkungsterm. Außerdem soll auch das Potential VK (~r) eines Kerns aus dem Target als Störung
behandelt werden. Der gesamte Störoperator lautet somit
V0 = HI′ + VK (~r) .
Wir bemerken, dass HI′′ hier nicht vorkommt, da der diamagnetische Term in niedrigster Ordnung die Rutherford-Streuung beschreibt. In zweiter Quantisierung haben wir
HI′ = ∑ M1 (~k1 ,~k2 ,~q ) c~† c~k a~q + h.c.
(6.20)
k1
~k1 ,~k2 ,~q
und
VK =
Z
d 3 r ψ~r†VK (~r) ψ~r
mit
Keine Impulserhaltung
Die explizite Form des Störpoentials ist
Z
1
~ ~
d 3 r e−i(k1 −k2 )·~r VK c~† c~k =
VK =
∑
k1 2
V~ ~
k1 ,k2
2
1
ψ~r = √
V
∑ eik·~r c~k .
~
~k
B"! +"' FH0"#!/"'1"' A4# I'1"#-4$4'6 C)' 81#"40#)A"--"' $%1 /%' "- !' +"# J"6"5 A4
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6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung
in zweiten
Quantisierung
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93
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#
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!%
$
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Abbildung 6.3: ZurD&&!5+4'6
Geometrie>!!der
Streuung.
Die Fläche ∆σ des einfallenden
P !"elastischen
#$%&'(')& *$+
,("$!-!$"+/&'((+0
Strahles ist ∆σ = 2π∆b und der ausfallende Raumwinkel ∆Ω.
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~
~
~
ṼK (k1 − k2 ) c~ c~k
mit
ṼK (k) = !'
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d r.
=
∑
2
k
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Das +"/
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VK ist$ reell,
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ist die
ṼK hermite-symmetrisch,
d. h.
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+"#Fourier-Transformierte
%5- #N4/5!$ 4'+ A"!15!$ :)'-1%'1
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∗
~
~
ṼK (−81#)/+!$1"
k ) = ṼK (k).
0#)0)#1!)'%5 -"!';
Wir beachten, dass der Gesamtimpuls
ist, denn der Hamiltonian
!' # ( $$ !nicht
* # ( $$erhalte
&+
, >!!"2 ist nicht
translationsinvariant. Bei der Streuung an VK kann Implus an das Gitter abgegeben werden.
R!# "#$%51"' +"' !")*+*)",(-&!!
Goldene Regel
!' D'A%$5 7"!5$"'; +!" 0#) 8":4'+" !' !" 6"-1#"41 ("#+"' !* !"+
!* Störoperator
Mit dem
V0 sollen
nun+!"
Übergänge
werden. Fermis
&
D'A%$5
7"!5$"';
0#) 8":4'+"induziert
4'+ !! "!'<%55"'
!" goldene Regel für
!
die Übergangsrate lautet
Γi→ f =
mit
2
2π!##
δ(Ei − E f ) Mi f h̄
(1)
(6.21)
(2)
Mi f = M i f + Mi f .
Die Energien Ei und E f bedeuten die Gesamtenergien von Elektronen und Strahlungsfeld vor
und nach dem Übergang. Anfangs- und Endzustand sind
|ii =
c~† |0i
k
: Kein Photon, ein Elektron h̄~k.
| f i = c~†′ a~q† |0i : Ein Photon h̄~q, ein Elektron h̄~k′ .
k
Dabei ist q = |~q |.
h̄2~k2
Ei =
2m
h̄2~k′2
Ef =
+ h̄cq
2m
(6.22)
(6.23)
Übergangsraten.
Mit Hilfe der Goldenen Regel wollen wir einen differentiellen Streuquerschnitt berechnen,
und betrachten zunächst den allgemeinen Ausdruck für die Übergangsrate. Wir wiederholen
hier kurz die definition des differentiellen Streuquerschnittes, wie er aus der Mechanik bekannt
ist.
Angenommen, ein Teilchenstrom der Dichte ji (Teilchenzahl pro Fläche und Zeit, i für
‘initial’) trifft auf ein Streupotential. Dann wird ein Detektor, der im Raumwinkel-Element
94
Zweite Quantisierung
dΩ und im Bereich der Impulsbeträge zwischen k′ und k′ + dk′ die gestreuten Teilchen zählt,
eine gewisse Zählrate (Ereignisse pro s) messen. Diese Rate ist gleich
V
k′2 dk′ dΩ Γi→ f = ji dσ ,
(2π)3
(6.24)
wobei dσ ein differentialles Flächenelement senkrecht zu einfallenden Teilchenstrom ji ist
und Γi→ f die Übergangsrate in den Endzustand ~k′ , siehe Abb. 6.3.
Der Ausdruck (6.24) leitet sich aus der Erhaltung des Teilchenstorm her und beinhaltet eine
Integration der Übergangsrate über ein kleines Element d 3 k′ = k′2 dk dΩ des Impulsraumes,
nämlich genau das Element, in dem der Detektor empfindlich ist. Jetzt kommt es darauf an,
wie man den Meßvorgang genau gestaltet.
Allgemeiner Streuquerschnitt
Wir müssen im folgenden etwas genauer spezifizieren, was der Detektor eigentlich mißt. Falls
der Detektor wellenlängendispersiv arbeitet, ist die interessierende Größe
1 V
d2σ ′
(k , Ω) =
k′2 Γi→ f .
′
dk dΩ
ji (2π)3
Der Streuquerschnitt ist ein Maß dafür, wie stark das Streuzentrum in den Raumwinkel dΩ
und in den Impulsbereich zwischen k′ und k′ + dk′ streut.
Differentieller Streuquerschnitt
Angenommen, der Detektor ist nicht nur für den Impulsbereich dk′ um k herum empfindlich,
sondern zählt einfach alle in dΩ gestreuten Teilchen ohne Rücksicht auf ihre Energie. Man
integriert dann die linke Seite von (6.24) über dk′ und nennt
dσ
1 V
(Ω) :=
dΩ
ji (2π)3
Z
k′2 Γi→ f dk′
den differentiellen Streuquerschnitt für die Streuung nach Ω.
Endzustände bei der Bremsstrahlung
Im Fall der Bremsstrahlung gibt es allerdings noch eine Komplikation. Man hat es ja nach
der Streuung mit zwei Teilchen zu tun, dem Elektron h̄~k′ und dem Photon h̄~q. Die Energie
des Photons ist nicht festgelegt, sondern gehorcht einer gewissen Verteilung. Der Detektor für
die Photonen soll wellenlängendispersiv arbeiten, der für die gestreuten Elektronen dagegen
nicht. Den bei der Brensstrahlung interessieren wir uns in erster Sicht für die Wellenlänge
des erzeugten Photons (wichtig für Anwendungen wie Röntgenaufnahmen), aber nicht für die
Energie des gestreuten Elektrons.
Wir fragen also jetzt nach dem differentiellen Streuquerschnitt für die Streuung eines Elektrons in den Raumwinkel dΩ~k′ unter Aussendung eines Photons mit einem Impuls zwischen
h̄q und h̄(q + ∆q) in den Raumwinkel dΩ~q . Man schreibt diese Größe als
d 3σ
(Ω ′ , q, Ω~q) .
dΩ~k′ dΩ~q dq ~k
Es erweist sich als günstig, die Geschwindigkeiten
h̄~k
~v :=
m
und
h̄~k′
~v :=
m
′
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
95
einzuführen. Die eintreffende Teilchenstromdichte ist einfach gleich
ji =
v
,
V
und der gesuchte Streuquerschnitt ergibt sich zu
d3σ
V
=
dΩ~k′ dΩ~q dq
v
V
(2π)3
2
q
2
Z
Γi→ f k′2 dk′ .
(6.25)
Das Periodiserungsvolumen fällt heraus, denn wie gleich klar wird, enthält Γi→ f einen Faktor
V −3 . Unser Ziel ist die Berechnung von (6.25). Dazu benötigt man zunächst die Matrixelemente Mi f in der goldenen Regel (6.21).
Störungsrechnung erster Ordnung
Der Anteil VK enthält keine Erzeuger für Photonen, also kann er in erster Ordnung keine Übergänge zwischen (6.22) und (6.23) verursachen. Den einzigen Beitrag wird der h.c.Term in HI′ liefern. Seine Terme sind proportional zu c~† c~k a~q† , und das zugehörige Feynmank1 2
Diagramm zeigt Abb. 6.1 rechts. Allerdings gilt Impuls- und Energie-Erhaltung, und diese
beiden Forderungen lassen sich nicht gleichzeitig erfüllen. Das sieht man so ein:
Sei pµ der Viererimpuls des eintreffenden und p′µ der des austretenden Elektrons, ferner
qµ der des Photons (wir setzen temporär h̄ = 1). Dann gilt
m2 c2 = pµ pµ = p′µ + qµ p′µ + qµ .
Die rechte Seite ergibt mit qµ qµ = 0 (das Photon ist massenlos):
m2 c2 + 0 + p′µ qµ + qµ p′µ = m2 c2 + 2p′µ qµ
Daraus folgt p′µ qµ = 0. Im Ruhesystem des austretenden Elektrons ist
h̄ω~q
′µ
µ
p = (mc, 0)
und
q =
,~q ,
c
also gilt
p′µ qµ = mc h̄ω~q = 0 .
Die Energie des Photons verschwindet, den betrachteten Prozeß gibt es also nicht. Die Bremsstrahlung ist ein Effekt zweiter Ordnung Störungsrechnung mit V0 .
Störungsrechnung zweiter Ordnung
(2)
Das Matrixelement Mi f lautet
(2)
Mi f =
∑
m
h f |V0 |mihm|V0|ii
,
Ei − Em + iη h̄
mit
V0 = HI′ +VK ,
(6.26)
was wir aus der QM-I, Theorie der Störungsrechung, wissen. Um in der folgenden Rechnung
nicht den Überblick zu verlieren, bedarf es etwas Buchhaltung. Für den Zwischenzustand |mi
gibt es zwei Möglichkeiten, damit der Zähler unter der Summe nicht verschwindet.
96
Zweite Quantisierung
(a) Zwischenzustand ohne Photon
Der Zwischenzustand enthält kein Photon, sondern nur ein “intermediäres” Elektron mit Impuls h̄~kz ,
h̄2~kz2
†
a
.
|ma i = c~ |0i,
Em =
kz
2m
Der Zähler von (6.26) lautet
h f |HI′ +VK |ma ihma|HI′ +VK |ii = h f |HI′ |ma ihma |VK |ii ,
(6.27)
denn HI′ erzeugt mit seinem h.c.-Anteil genau das im Endzustand benötigte Photon, VK hingegen gar keines. Den Feynman-Graphen zeigt Abb. 6.4 links.
(b) Zwischenzustand mit Photon
Der Zwischenzustand enthält ein Photon mit Impuls q und ein Elektron mit Impuls h̄~kz , Ein
Photon h̄~q, ein Elektron h̄~kz .
|mb i = c~† a~q† |0i,
Emb =
kz
h̄2~kz2
+ h̄cq .
2m
Der Zähler von (6.26) lautet
h f |VK |mb ihmb |HI′ |ii ,
(6.28)
und der Feynman-Graph ist in Abb. 6.4 rechts zu sehen. Von HI′ in den Matrixelementen
(2)
schlägt immer nur der h.c.-Teil zu, der andere liefert keinen Beitrag. Die Summe in Mi f geht
dann über alle ~kz des imtermidiären Elektrons und über die Fälle (a) und (b).
@ ~k′
6
~q
@
I
@ (a)
@ ~k′
@
I V
@ Kt
6
~k
VK
~6
kz =~k −~q
(b)
~kz =~k′ +~q
t
~k
~q
?
Abbildung 6.4: Beiträge zweiter Ordnung Störungsrechnung zur Bremsstrahlung. Der Zwischenzustand enthält entweder kein (links) oder ein (rechts) Photon. Impulserhaltung gilt nur am Vertex mit dem Photon. Die gepunktete Linie bedeutet
die Wechselwirkung mit dem Kernpotential.
Die Emission der Bremsstrahlung läuft also in zwei Stufen ab: der Streuung am Kern und der
Emission eines Photons (oder umgekehrt). Es folgt die Berechnung der Matrixelemente.
(a) Zwischenzustand ohne kein Photon - Matrixelemente
Zu berechnen ist (6.27). Es ist
hma |VK |ii = h0|c~kz
=
~k1 ,~k2
†
†
~
~
∑ h0| c~kz c~ ṼK (k1 − k2 ) c~k c~ |0i
~k1 ,~k2
=
∑ c~†k1ṼK (~k1 −~k2 ) c~k2 c~†k |0i
k1
∑ δ~kz ,~k1ṼK (~k1 −~k2 ) δ~k2,~k
~k1 ,~k2
2
k
= ṼK (~kz −~k )
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
97
und
h f |HI′ |ma i = h0|c~k′ a~q
=
∑
~k1 ,~k2 ,~q1
=
∑
~k1 ,~k2 ,~q1
M1 (~k1 ,~k2 , −~q1 ) c~† c~k a~†q1 c~† |0i
k1
2
kz
h0| c~k′ c~†
a~q a~q†1 c~k c~† |0i M1 (~k1 ,~k2 , −~q1 )
~k1 ,~k2 ,~q1
e h̄
= −
mc
∑
k1
2
δ~k′ ,~k δ~q,~q1 δ~k
s
~
2 ,kz
1
kz
M1 (~k1 ,~k2 , −~q1 )
2π h̄c2
δ~kz ,~q+~k′ ~u~q ·~kz .
V ω~q
(2)
Der erste Beitrag zu Mi f ist also unter Beachtung von ~u~q~q = 0
(2)
Mi f (a) =
h f |HI′ |ma ihma|VK |ii
Ei − Ema + iη h̄
~kz
∑
η→0
= −
s
e h̄
mc
2π h̄c2
V ω~q
ṼK (~q +~k′ −~k ) ~u~q ·~k′
.
h̄2 ~k2 − (~q +~k′ )2 /2m
Der Nenner des letzten Bruches verdient eine genauere Betrachtung. Er lautet
h̄2 ~ ′2
h̄2~k2
2
′
~
k +~q + 2~q · k .
−
Na =
2m
2m
Wegen der Erhaltung der Energie,
Ef =
h̄2~k2
h̄2~k′2
+ h̄cq = Ei =
,
2m
2m
läßt er sich auch als
h̄ ~ ′
h̄~q ·~k′
h̄~q 2
Na = h̄cq −
− ~q · k = h̄cq 1 −
−
2m
m
mcq
2mcq
h̄2~q 2
2
!
(6.29)
schreiben. Der zweite Term in der Klammer ist aber
p ′ ν′ q
v′
h̄~k′ ~q
·
≈ ′
≈
,
m cq
νm c q
c
wobei ν′ die Geschwindigkeit des Elekrtons nach dem Stoss ist. Der dritte Term von (6.29)
ist nochmals von der Größenordnung v/c kleiner, da q wesentlich kleiner als die ElektronenImpulse sein soll. Deswegen nähert man für den nichtrelativistischen Fall Na ≈ h̄cq = h̄ω~q .
(b) Zwischenzustand mit Photon - Matrixelemente
(2)
Die Rechnung geht analog zum Fall (a) und das Ergebnis für den zweiten Beitrag in Mi f ist
(2)
Mi f (b)
=
h f |VK |mb ihmb |HI′ |ii
Ei − Emb + iη h̄
~kz
∑
e h̄
= −
mc
η→0
s
Ṽ (~q +~k′ −~k )~u~q ·~k
2π h̄c2
.
V ω~q h̄2 ~k2 − (~q −~k )2 /2m − h̄cq
98
Zweite Quantisierung
Für den Nenner gilt wieder
Nb
!
h̄2~q 2 h̄2~k2 h̄2~q ·~k
− h̄cq =
+
−
=
2m
2m
m
!
h̄~q 2
h̄~q ·~k
= − h̄cq 1 +
≈ − h̄ω~q .
−
2mcq
mcq
h̄2~k2
−
2m
Summe der Matrixelemente - Kernpotential
Die beiden Zwischenzustände (mit und ohne Photon) zusammen ergeben nun
s
′
~
~
e h̄ 2π h̄c2 k − k ·~u~q
(2)
(2)
(2)
Mi f = Mi f (a) + Mi f (b) = −
ṼK (~q +~k′ −~k ) .
mc
V ω~q
h̄ω~q
(6.30)
Bisher haben wir über das Kernpotential keine genauere Aussage gemacht. Ab jetzt soll jedoch
VK (~r) = −
Ze2
r
sein. Für die Fourier-Transformierte ṼK~k gilt dann
2Z
Ze
ṼK~k = −
V
~
V
Ze2
e−ik·~r 3
d r = −
r
V
Z V
1
− 2
k
~
∆e−ik··~r 3
d r.
r
Zweimalige partielle Integration und die Ersetzung
∆
ergibt
Ze2
ṼK~k =
V k2
Damit wird
(2)
Mi f =
1
= −4πδ(~r)
r
Z V
4π Ze3 h̄
mc
1
∆
r
s
~
e−ik·~r d 3 r = −
2π h̄c2
V ω~q
4π Ze2
.
V k2
(6.31)
~k′ −~k ·~u~q
2 .
′
~
~
V h̄ω~q ~q + k − k
Niederenergiestreuung
Wir nehmen nun an, daß die Energie des Photons ω := ω~q viel kleiner ist als die der Elektronen, und setzen
2
2
2
m2
:= ∆~k
= 2 (∆~v )2 .
~q +~k′ −~k
≈ ~k′ −~k
h̄
Daraus folgt gleichzeitig |~v| = |~v ′ |, denn wenn das Photon vernachlässigt wird, ist die Streuung
des Elektrons elastisch. Für die Übergangsrate ergibt sich so
Γi→ f =
2π
64π4 Z 2 e6 h̄2 (~u∆~v )2
(2) 2
δ(E f − Ei ) Mi f = . . . =
δ(Ei − E f ) .
h̄
V 3 ω3 m4 (∆~v )4
6.3 Licht-Materie-Wechselwirkung in zweiten Quantisierung
99
Ist ϑ der Winkel zwischen der Geschwindigkeiten ~v und ~v ′ vor und nach dem Stoss, dann gilt
noch
ϑ
|∆~v| = 2v sin .
2
Differentielle Streuquerschnitt für die Bremsstrahlung
Der differentielle Streuquerschnitt (6.25) kann jetzt berechnet werden:
V
d3σ
=
dΩ~k′ dΩ~q dq
v
=
V
(2π)3
2
q2
64π4 Z 2 h̄2 e6 q2
(2π)6ω3 m4
Z
Z
Γi→ f k′2 dk′ =
(~u · ∆~v )2 k′2
δ(Ei − E f ) dk′
4ϑ
5
16v sin 2
Hier bahnt sich schon ein Rutherford-Streuquerschnitt an. Im Integranden hängt nur k′2 und
die δ-Funktion von k′ ab, außerdem ist
!
h̄2~k′2 h̄2~k2
2m
δ(Ei − E f ) = δ
= 2 δ(~k′2 −~k2 ) .
−
2m
2m
h̄
Das Integral läßt sich jetzt leicht ausführen:
Z
k′2 δ(~k′2 −~k2 ) dk′ =
Zusammen mit q = ω/c wird dann
Z
k
mν
ζ
p δ(ζ −~k2 ) dζ =
=
.
2
2 h̄
2 ζ
d 3σ
Z 2 e4
(~u · ∆~v )2 e2
.
=
dΩ~k′ dΩ~q dω
m2 v4 sin4 ϑ2 16π2 c2 h̄ω
(6.32)
Im ersten Faktor erkennt man den Rutherford-Streuquerschnitt wieder, und der zweite Faktor
gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte dafür an, zusätzlich noch die Emission eines Photons der
Energie h̄ω~q im Raumwinkel dΩ~q zu beobachten.