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Fortsetzung: Spannende Aufgaben für Schülerinnen und Schüler
mit Lernschwierigkeiten im Fach
Mathematik
Monika Doebeli,
SAL-Bulletin Nr.103
Seite 1
März 2002
Summen aufeinander folgender Zahlen
dipl. math. ETH
MathematikAtelier
Aufgabe 1
st. Gallen
Wähle eine Zahl und stelle sie als Summe von aufeinander folgenden
Zahlen dar.
Beispiel:
Wähle die Zahl 28
28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7
Zunächst scheint es eine etwas langweilige Rechenaufgabe zu sein.
Aber je mehr Beispiele gerechnet sind, desto interessanter kann es
werden! Für gewisse Zahlen gibt es nämlich mehr als eine Lösung.
Beispiel:
Wähle die Zahl 30
30=9+10+11.
Damit wQllen wir uns aber nicht begnügen. Es gibt noch zwei weitere
Lösungen.
30 = 6 + 7 + 8 + 9 und 30 = 4 + 5 + 6 + 7 + 8
In einer freien Erkundungsphase sollen Schülerinnen und Schüler nun
mit verschiedenen Zahlen experimentieren. Ausser 1 und 2 gibt es
weitere Zahlen, die man nicht als Summe von aufeinander folgenden
Zahlen darstellen kann. Auffällig ist, dass es bei anderen Zahlen nur
auf eine einzige Art geht, wieder bei anderen (wie zum Beispiel bei der
Zahl 30) auf zwei, drei oder noch mehr Arten!
Nun kann man die Lernenden anregen, das Vorgehen umzudrehen
und systematisch alle Additionsaufgaben mit zwei, dann mit drei, vier,
fünf ... aufeinander folgenden Summanden zu notieren.
Aufgabe 2
Welche Zahlen kann man als Summe von genau zwei aufeinander
folgenden Zahlen darstellen? Welche als Summe von genau drei,
vier, fünf, ... Zahlen?
Die Tabelle 1 zeigt einen Teil der Lösung dieser Aufgabe.
Mögliche Beobachtungen (Siehe Tabelle 1):
alle ungeraden Zahlen grösser als 1 lassen sich als Summe von zwei
aufeinander folgenden Zahlen schreiben
alle Dreierzahlen grösser als 3 lassen sich als Summe von drei aufeinander folgenden Zahlen schreiben
beginnend mit 10 lässt sich jede vierte Zahl als Summe von vier aufeinander folgenden Zahlen schreiben
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alle Fünferzahlen grösser als 10 lassen sich als Summe von fünf aufeinander folgenden Zahlen schreiben
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1. Alle ungeraden Zahlen lassen sich als Summe von zwei aufeinander
folgenden Zahlen darstellen.
beginnend mit 21 lässt sich jede sechste Zahl als Summe von sechs
aufeinander folgenden Zahlen schreiben
2. Zahlen der ungeraden Reihen ab einer bestimmten Anfangszahl
alle Siebnerzahlen grösser als 21 lassen sich als Summe von sieben
aufeinander folgenden Zahlen schreiben
ist die Anzahl Summanden gleich wie die Zahl, die der Reihe den
beginnend mit 36 lässt sich jede achte Zahl als Summe von acht
Namen gibt. Hierbei soll man beachten, dass es Zahlen gibt, die mehr
aufeinander folgenden Zahlen schreiben
als einer Reihe angehören.
alle Neunerzahlen grösser als 36 lassen sich als Summe von neun
aufeinander folgenden Zahlen schreiben
Beispiel: Die Zahl 21 gehört zur Dreier- und zur Siebnerreihe. Somit
lassen sich als Summe aufeinanderfolgender Zahlen schreiben. Dabei
kann man sie als Summe mit drei und als Summe mit sieben Summanden schreiben. Ausserdem ist sie ungerade, also lässt sie sich auch als
Tabelle 1
Summe mit zwei Summanden darstellen.
1
Somit kann man nun weitere Fragen stellen in der Art:
2
3
Aufgabe ~:
1+2
Kann man die Zahl 123 als Summe von drei aufeinander folgenden
4
5
6
7
Zahlen schreiben?
2+3
1+2+3
Die Antwort heisst:
3+4
8
Ja! Denn 123 ist die 41. Zahl der Dreierreihe. (123 = 41
9
123 = 40 + 41 + 42.
4+5
2+3+4
10
11
13
aufeinander folgenden Summanden schreiben. (Die kleinste Zahl, die
5+6
man mit 41 aufeinander folgenden Summanden darstellen kann, ist
3+4+5
nämlich 861).
6+7
14
15
Umgekehrt kann man aber die Zahl 123 nicht als Summe von 41
1+2+3+4
12
2+3+4+5
7+8
usw.
4+5+6
zwei aufeinander
8+9
18
19
5+6+7
3+4+5+6
9 + 10
10 + 11
die beim Teilen durch 4 den Rest 2 haben, kann man als Summe mit
folgenden Summanden schreiben.
6+7+8
usw. (Die Tabelle muss noch weitergeführt werden.)
Beim schriftlichen Festhalten der Beobachtungen ist es wichtig, die
Sprache möglichst einheitlich einzusetzen. Es ist viel schwieriger, eine
Gesetzmässigkeit aufzudecken, wenn die Sätze auf zwei Zeilen, anstatt
wie oben auf einer Zeile stehen.
So zeigt sich aber, wie man im folgenden sieht, ein ganz einfacher
Sachverhalt.
folgenden Summanden schreiben.
vier aufeinander
20
21
3. Alle Zahlen ...
die beim Teilen durch 2 den Rest 1 haben, kann man als Summe mit
16
17
3)
die beim Teilen durch 6 den Rest 3 haben, kann man als Summe mit
sechs
folgenden Summanden schreiben.
usw.
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Weiterführung in der Oberstufe:
baren, wenn man eine Aufgabe systematisch ausgelotet hat.. Keith
Oberstufenschülerinnen und -schüler sind in der Lage, solche Sach-
Devlin meint: «Als Schönheit, die nur in einer Symbolwelt existiert, ist
verhalte mit Hilfe von Variablen eleganter auszudrücken. Zum Bei-
mathematische Schönheit sowohl ein Produkt des menschlichen
spiel in der folgenden Art.
Geistes als auch etwas, worin sich dieser widerspiegelt. Und daher ist
es äusserst schade, dass das meiste dieser Schönheit den meisten
Satz 1: Alle Zahlen der Form 2 n + 1 (wobei nE N) lassen sich als
Menschen verborgen bleibt und nur denjenigen zugänglich ist, die die
Summe von zwei aufeinander folgenden Zahlen darstellen. Die beiden
entsprechenden Bereiche ausreichend beherrschen.» Es ist selbstver-
Summanden heissen n und n + 1.
ständlich, dass es nicht allen Lernenden gelingt, alle Facetten dieser
Satz 2: Alle Zahlen der Form (2 n+ 1) k (wobei nE N und k >ni
Muster und Gesetzmässigkeiten zu sehen. Ganz einfache Einzelteile
lassen sich als Summe von 2 n + 1 aufeinander folgenden Summan-
dieser Muster werden sich allerdings jedem zugeneigten Lernenden
den schreiben.
offenbaren.
Satz 3: Alle Zahlen der Form 2m n + m (wobei n, m E N und n m)
lassen sich als Summe von 2 m aufeinander folgenden Zahlen schrei-
Literatur:
ben.
Selter/Spiegel: Wie Kinder rechnen, Ernst Klett Grundschulverlag,
Stuttgart .1997
Nun sieht man sehr schön, dass der Satz 1 ein Spezialfall von Satz 3
Devlin: Das Mathe-Gen, Klett-Cotta 2001
ist. (Man muss nur im Satz 3 für die Variable m die Zahl 1 einsetzen.)
Der Sachverhalt kann folglich noch eleganter zusammengefasst werden!
Satz 1: Alle Zahlen der Form 2m n + m (wobei n, m EN und n m)
lassen sich als Summe von 2 m aufeinander folgenden Zahlen
Elisabeth Moser Opitz. or.phil.
Heilpädagogischer Kommentar zum Zahlenbuch 1
Margret schmassmann.
Das "Zahlenbuch 1-6" ist als mittlerweile weit verbreitetes Lehrmittel
dipl. math. ETH
in den Primarschulen fast aller Kantone der deutschen Schweiz zuge-
. Heilpädagogischer Kommentar
lassen. Es wird mehr und mehr nicht nur in Regelklassen, sondern
schreiben.
zum zahlenbuch 1
auch in integrativen Schulungsformen oder Kleinklassen und in der
Satz 2: Alle Zahlen der Form (2 n+ 1) k (wobei nE N und k > n)
Hinweise zur Arbeit mit Kindern mit
a usserschulischen Lernförderung eingesetzt.
lassen sich als Summe von 2 n+1 aufeinander folgenden Zahlen
mathematischen Lernschwierigkeiten
Aktiv-entdeckendes Lernen, wie es im "Zahlenbuch" vorgeschlagen
schreiben.
45 Seiten, Formar A4, gelocht
wird, strebt die Auseinandersetzung mit den individuellen Denkwegen
ISBN 3-264-83352-2, Fr. 39.--
der Lernenden an und eignet sich deshalb in seiner Grundkonzeption
Noch etwas eleganter hat J.J.Sylvester( 1814-1897), ein schon als Kind
Erscheint Januar 2002
für die Lernförderung bei Schwierigkeiten im Mathematiklernen.
sehr begabter Mathematiker, gesagt:
Kommentar zum zahlen buch 2
Damit diese optimal gestaltet werden kann, erarbeiten Elisabeth
ISBN 3-264-83356-5
Moser Opitz und Margret Schmassmann einen "Heilpädagogischen
Erscheint Oktober 2002
Kommentar", welcher den Begleitband zum "Zahlenbuch" ergänzt
Satz von Sylvester: Jede Zahl lässt sich auf so viele Arten als Summe
von aufeinander folgenden Zahlen schreiben, wie die Zahl ungerade,
und unterstützt.
von 1 verschiedene Teiler hat.
Der "Heil pädagogische Kommentar zum Zahlenbuch 1" umfasst
folgende Bereiche:
In der Auseinandersetzung mit dieser Aufgabe lässt sich meines Erach-
•
Lernstanderfassung für den Erstunterricht
tens sehr schön erleben, wie Mathematik entstehen kann. Es geht
•
Hinweise zur Bedeutung allgemeiner Lernvoraussetzungen
(Wahrnehmung, Motorik usw.) für mathematisches Lernen
darum, Muster und Gesetzmässigkeiten systematisch zu erfassen und
aus einer tabellarischen Übersicht (mit konkreten Zahlen) in eine
•
Hinweise zu den Zahlenbuchseiten: - didaktische und mathemati-
allgemeine Formelsprache zu übersetzen. Die Schönheit der Mathema-
sche Schwerpunkte - wichtige Fähigkeiten und Vorkenntnisse -
tik liegt nicht in den Rechnungen (die nötig waren, um zu den oben-
Bechreibung möglicher Schwierigkeiten beim Mathematiklernen -
stehenden Sätzen zu kommen) sondern in den Mustern, die sich offen-
darauf abgestimmte Förderhinweise und zusätzliche Übungen.