Lösungen

Lösungen zu den Musteraufgaben des Flyers
Mathematik- und Logikspiele 2017
Roger Burkhardt
11. Dezember 2016
2
1
1
KURZE KERZEN
Kurze Kerzen
Zwei Kerzen haben die gleiche Länge. Die erste Kerze benötigt 5 Stunden um komplett abzubrennen, die zweite 4 Stunden. Beide Kerzen brennen regelmässig ab. Mathilda zündet beide
Kerzen am Mittag an und löscht sie später gleichzeitig aus. Der Rest der ersten Kerze ist vier
Mal so lang wie der Rest der zweiten Kerze.
Um wie viel Uhr hat Mathilda die beiden Kerzen ausgelöscht?
1.1
Lösung
Diese Aufgabe lässt sich elegant mit Hilfe von Funktionen lösen. Dabei werden die Kerzenlägen
(l4 und l5 ) in Abhängigkeit der Brennzeit (t) beschrieben. Ausgehend von der gemeinsamen
Anfangslänge L0 = l4 (0) = l5 (0) findet man die beiden folgenden Funktionsvorschriften:
t
4
t
l5 (t) = L0 1 −
5
l4 (t) = L0 1 −
Die entsprechenden Funktionsgraphen für diese beiden Funktionen:
L0
( )
l 5 (t)= L0 1−
t
5
( )
l 4 (t)=L0 1−
t
4
t
4
5
1.1
Lösung
3
Nun kann mittels der Funktionen die Kerzenhöhe in Abhängigkeit der Brenndauer beschrieben
werden. Sei t0 die Brenndauer nach welcher Mathilda beide Kerzen löscht, so haben die beiden
Kerzen die folgenden Längen:
t0
l4 (t0 ) = L0 1 −
4
t0
l5 (t0 ) = L0 1 −
5
Visualisierung:
L0
( )
l 5 (t 0)= L0 1−
t0
5
( )
l 4 (t 0)=L0 1−
t0
4
t
t0
4
5
Nach dieser Zeit ist der eine Kerzenrest viermal so gross wie der zweite Stummel. Dies kann nun
als Gleichung formuliert werden:
L0
l5 (t0 ) = 4 · l4 (t0 )
t0
t0
1−
= 4 · L0 1 −
5
4
Nach der gesuchten Brenndauer t0 auflösen:
L0
t0
1−
5
t0
1−
5
t0
t0 −
5
4
t0
5
= 4 · L0
t0
1−
4
= 4 − t0
= 3
= 3
t0 = 3 ·
5
15
=
= 3.75
4
4
Nach 3.75 h = 3h 45min hat Mathilda die beiden Kerzen ausgelöscht! Der entsprechende Zeitpunkt lautet somit 1545 .
4
2
2
ZAHLENPYRAMIDE
Zahlenpyramide
Die Ganzzahlen grösser gleich 1 werden wie abgebildet in Pyramidenform angeordnet.
Wie lautet die Summe der ersten hundert markierten (gelbe Felder) Zahlen?
2.1
Lösung
Um diese Aufgabe zu lösen sollte man die folgenden beiden endlichen Zahlenreihen kennen:
• Summe der ersten n natürlichen Zahlen (arithmetische Reihe):
sn = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + (n − 1) + n =
n
X
k=
k=1
n (n + 1)
2
• Summe der ersten n Quadratzahlen:
sn = 12 + 22 + 32 + 42 + . . . + (n − 1)2 + n2 =
n
X
k2 =
k=1
2.1.1
n (n + 1) (2n + 1)
6
Die Summanden
Es muss eine Summe mit hundert Summanden ak (k ∈ {1, 2, 3, . . . , 100}) berechnet werden:
s = a1 + a2 + a3 + . . . + a99 + a100
Dabei sind aus dem Bild in der Aufgabenstellung nur die ersten 5 Summanden (a1 = 1, a2 = 3,
a3 = 6, a4 = 10 und a5 = 15) gegeben. Als erstes werden die weiteren Summanden gesucht. Aus
der folgenden Skizze ist ein rekursives Berechnungsverfahren ersichtlich:
a1
a2
a3
a4
a5
a6
a7
a8
a9
1
3
6
10
15
21
28
36
45
+2
+3
+4
+5
+6
+7
Rekursives Berechnungsverfahren:
a1 = 1
ak+1 = ak + k + 1
+8
+9
...
+10
2.1
Lösung
5
Diese rekursive Darstellung hat den Nachteil, dass Summanden nicht direkt berechnet werden
können (es muss immer der vorangehende Summand bekannt sein). Hier einige der weiteren
Summanden:
a1 = 1
a2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3
a3 = a2 + 3 = 3 + 3 = 6
a4 = a3 + 4 = 6 + 4 = 10
a5 = a4 + 5 = 10 + 5 = 15
a6 = a5 + 6 = 15 + 6 = 21
a7 = a6 + 7 = 21 + 7 = 28
a8 = a7 + 8 = 28 + 8 = 36
..
..
.
.
Wenn man die Aufgabe etwas zeitaufwendiger lösen wollte, könnte man auf diese Art alle 100
Summanden berechnen und anschliessend die Summe bilden. Mit einem Hilfsmittel wie Excel
könnte diese einfach umgesetzt werden:
Für eine analytische Lösung muss eine explizite Beschreibung der Summanden gefunden werden.
Ausgehend von der rekursiven Darstellng findet man:
ak+1 = ak + (k + 1)
= ak−1 + (k) + (k + 1)
= ak−2 + (k − 1) + (k) + (k + 1)
..
.
= ak−3 + (k − 2) + (k − 1) + (k) + (k + 1)
..
.
= a1 + 2 + 3 + . . . + (k − 2) + (k − 1) + (k) + (k + 1)
= 1 + 2 + 3 + . . . + (k − 2) + (k − 1) + (k) + (k + 1)
ak+1 =
k+1
X
i=1
i
6
2
ZAHLENPYRAMIDE
Der k-te Summand ist somit gleich der Summe der ersten k natürlichen Zahlen und es gilt
(explizite Berechnungsvorschrift):
⇒ ak = 1 + 2 + 3 + 4 + . . . + k =
k
X
i=
i=0
2.1.2
1 2
k (k + 1)
k +k
=
2
2
Die Summe
Mit der expliziten Berechnungsvorschrift für die Summanden lässt sich die Aufgabenstellung
(Summe der markierten Zahlen) folgendermassen formulieren:
s100 = a1 + a2 + a3 + . . . + a100 =
100
X
ak =
k=1
100
X
1 2
k +k
k=1
2
Mit den beiden Summenformeln in der Einleitung findet man:

s100


100
100
X
X
1 2
1
1
=
k2 + k = 
k +k =
2
2 k=1
2

k=1

=

100
X
k2
100
X
+
k=1
| {z }
100·(100+1)·(2·100+1)
6
k
k=1
| {z }
=







100·(100+1)
2
1 100 · 101 · 201 100 · 101
1
5050
=
+
= [50 · 101 · 67 + 50 · 101] =
(67 + 1)
2
6
2
2
2
= 34 · 5050 = 171700
Der gesuchte Summenwert ist somit gleich 171700.
2.1.3
Eine alternative Berechnung
Die zu summierenden Zahlen findet man auch im Pascal’schen Zahlendreieck:
n=0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
k=0
1
1
2
1 1
1
2
1 3
1
3
3 1 4
1
4 6
4
1 5
6
1
5 10 10 5
1
7
1
6 15 20 15
6
1
1
7 21 35 35 21
7
1
8
1
8 28 55 70 55 28
8
1
9
1 9 36 83 125 125 83 36
9
1
Für die Zahlen im Pascal’schen Dreieck gibt es viele verschiedene Anwendungen:
• Algebra: Binom’sche Formel
• Kombinatorik: Anzahl Wege auf einem Galton-Brett, Anzahl Zahlen in binärer Darstellung
mit einer festen Zeichenzahl und einer bestimmten Anzahl Einern
• Wahrscheinlichkeitsrechnung: Binomialverteilung
• Analysis: Potenzreihen
• usw.
2.1
Lösung
7
Wenn n die Zeile und k die Spalte (es wird jeweils mit dem Wert 0 gestartet) der Zahlen im
Pascal’schen Dreieck bezeichnet so kann die entsprechende Zahl (Binomialkoeffizient "n tief k")
wie folgt berechnet werden:
n
k
!
=
n!
1 · 2 · 3 · ... · n
n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · (n − k + 1)
=
=
k! (n − k)!
(1 · 2 · 3 · . . . · k) · (1 · 2 · 3 · . . . · (n − k))
1 · 2 · 3 · ... · k
Die Summanden der gesuchten Summe befinden sich in der 2-ten Spalte und es gilt:
k+1
2
ak =
!
Hier einige der Summanden:
!
a1 =
2
2
!
a2 =
3
2
!
a3 =
4
2
!
a4 =
5
2
!
a5 =
6
2
!
a6 =
7
2
!
a7 =
8
2
..
.
=
2·1
2
= =1
1·2
2
=
3·2
6
= =3
1·2
2
=
12
4·3
=
=6
1·2
2
=
5·4
20
=
= 10
1·2
2
=
6·5
30
=
= 15
1·2
2
=
7·6
42
=
= 21
1·2
2
=
8·7
56
=
= 28
1·2
2
..
.
k+1
2
ak =
..
.
!
=
k (k + 1)
(k + 1) · k
=
1·2
2
..
.
a100 =
101
2
!
=
101 · 100
= 5050
1·2
Eine interessante Gesetzmässigkeit des Pascal’schen Dreiecks lautet:
Die Summe der Einträge der Elemente der k-ten Spalte bis!und mit dem Element
n+1
in der n-ten Zeile ist gleich dem Binomialkoffizient
, also:
k+1
n
X
i=k
i
k
!
=
k
k
!
+
k+1
k
!
+
k+2
k
!
+ ... +
n
k
!
=
n+1
k+1
!
8
2
ZAHLENPYRAMIDE
Für die gegebene Aufgabe müssen die Elemente der 2-ten Spalte bis zur 101-ten Zeile summiert
werden. Man findet:
s100 = a1 + a2 + a3 + a4 + . . . + a99 + a100 =
101
X
i=2
=
=
2
2
!
102
3
3
2
+
!
=
!
+
4
2
!
+ ... +
101
2
i
2
!
=
!
101
X
i=2
102 · 101 · 100
= 34 · 101 · 50 = 171700
1·2·3
i
2
!