Tutorium

Tutorium – BodenseeCampus Konstanz
Aufgabe 1:
In einem Behälter liegen blaue, weiße und rote Kugeln, wobei der Anteil derblauen
Kugeln 20 % beträgt, der der weißen 10 %. Aus diesem Kartonwerden rein zufällig Kugeln mit Zurücklegen entnommen.
a) (12) Es werden 15 Kugeln entnommen. Berechne Sie die Wahrscheinlichkeit zu diesen Ereignissen:
A: Es werden nur blaue Kugeln entnommen
B: Man erhält mindestens 5 weiße
C: Es werden höchstens 10 rote gezogen
D: Jede zweite Kugel ist rot
b) Wie viele Kugeln muss man mindestens ziehen, um mit mindestens50% Wahrsch einlichkeit mindestens 2 weiße zu ziehen?
c) Mit wie vielen roten Kugeln kann man unter 100 Kugeln rechnen?
Aufgabe 2:
Um das Sozialverhalten von Studenten besser einschätzen zu können, werden 8 Studenten danach befragt, wie viele Personen sie zu ihrer letzten Geburtstagsfeier eingeladen haben. Es wurden folgende Angabe gemacht (ein Wert pro befragten Studenten):
10
10
34
16
1
16
0
150
a) Bestimmen Sie die Extremwerte (Maximum, Minimum) und den Modalwert.
b) Berechnen Sie das arithmetische Mittel.
c) Berechnen Sie den Median
d) Berechnen Sie das untere und obere Quartil.
Aufgabe 3:
Der Intelligenzstrukturtest 70-Plus ist so normiert, dass die Testwerte normalverteilt
sind mit μ= 100 und  = 10. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig aus
der Population gezogene Person einen Testwert hat, ...
a) der über 130 liegt?
b) der zwischen 115 und 125 liegt?
c) Wie hoch muss der Testwert einer Person mindestens sein, damit diese Person zu
den 30% der Personen mit den höchsten Testwerten gehört?
1-10
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Aufgabe 4:
Ein Händler für Bürotechnik verkauft in den Jahren 2000 und 2001 drei Arten von Kopierern in folgenden Mengen:
Jahr
Typ A
Typ B
Typ C
Menge
Preis
Menge
Preis
Menge
Preis
2000
32
2000
15
5000
4
25000
2001
28
2100
18
4800
5
24000
2002
32
2200
19
4500
6
26000
2003
44
3000
25
5100
8
33000
Bestimmen Sie jeweils den Preis und Mengenindex zu Laspeyres und Paasche zum Basisjahr 2000 und dem Berichtsjahr 2001.
Aufgabe 5:
In einem Stapel spezieller Spielkarten gibt es Karten mit den Aufdrucken 1, 2 oder 3.
Und zwar jeweils in rot oder in schwarz
In einem dicken Spielkartenstapel befinden sich zur Hälfte Karten mit der 1,Karten mit
der 2 treten mit 20 % auf. Auf die Farbe wird zunächst nicht geachtet.
a) Aus diesem Stapel werden drei entnommen und jeweils wieder zu rückgelegt. Vor
dem Ziehen einer Karte wird gründlich gemischt. Die Zahlen der dreigezogenen Karten
werden der Reihe aufgeschrieben, so dass eine dreistellige Zahl entsteht.
Berechne die Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse:
A: (2) Man erhält die Zahl 123
B: (2) Man erhält genau eine drei
C: (2) Man erhält 3 verschiedene Zahlen
D: (2) Man erhält eine Zahl größer als 200
E: (2) Die Quersumme der Zahl beträgt 5
F: (2) Man zieht keine Karte mit der Zahl 3.
b) (4) Wie oft muss man mindestens ziehen, um mit 99 % Wahrscheinlichkeit mindestens einmal eine Karte mit der Zahl 2.
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Aufgabe 6:
Sie haben 9 verschiedene Farben (inklusive rot, blau, grün).
Auf wie viele Arten können Sie die oben dargestellten Felder färben, wenn:
a) keine Einschränkung besteht?
b) jedes Feld eine andere Farbe haben soll?
c) benachbarte Felder verschieden gefärbt werden sollen?
d) die beiden Felder links und rechts außen rot sein sollen?
e) 3 Felder rot, 2 blau und der Rest grün sein soll?
f) 3 nebeneinander liegende Felder rot, die übrigen beliebig, aber nicht rot gefärbt
sind?
Aufgabe 7:
In der schriftlichen Abiturarbeit im Fach Biologie gab es folgende Noten:
3; 4; 3; 2; 3; 1; 5; 5; 4; 3; 3; 2; 1; 4; 2; 5; 4; 2; 4; 3
a) Erstellen Sie eine Häufigkeitstabelle und berechnen Sie die absoluten Häufigkeiten,
relativen Häufigkeiten, absoluten Summenhäufigkeiten und die relativen Summenhäufigkeiten.
Aufgabe 8:
Zwischen dem Alter eines Menschen in Jahren (x) und dessen Ohrendurchmesser in cm
(y) wird ein Zusammenhang angenommen. Anhand der folgenden Daten sollen Sie diesen Zusammenhang überprüfen.
x
23
59
37
46
29
21
42
51
39
55
y
5,0
6,8
5,8
5,9
5,2
5,3
6,0
6,4
5,6
6,2
a) Berechnen und interpretieren Sie den Korrelationskoeffizienten!
3-10
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c) Berechnen Sie die Regressionsgerade.
4-10
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Aufgabe 9:
Auf dem Tisch liegen drei verschlossene Kuverts (A, B, C), von denen Sie eines blind
auswählen dürfen:
Jedes davon enthält drei Zahlen und zwar:
A: 2 3 3
B: 3 3 3
C: 2 3 4
Sie dürfen dem gewählten Kuvert zwei Zahlen entnehmen (ohne Zurücklegen), die Sie
miteinander multiplizieren.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt grö sser als 10 ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das erhaltenen Produkt gerade 6 ist?
Aufgabe 10:
1 0 1
𝐴 = (2 3 1
1 1 1
2
2
2
4) ; 𝐵 = (
3
1
1
2
0
)
1
2
Führen Sie folgende Rechenoperation durch:
𝐴∙𝐵
Aufgabe 11:
Transponieren Sie folgende Matrix.
1
𝐴 = (2)
3
Aufgabe 12:
Berechnen Sie folgende Determinante:
1
2
𝐷=|
2
0
1
5
1
1
2
5
−3
2
0
5
|
2
3
5-10
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Aufgabe 13:
Zwei Studentinnen, Andrea und Olga, verbrauchen wöchentlich unterschiedlich viele
Beauty-Produkte. Der wöchentliche Verbrauch der beiden sieht wie folgt aus (Angabe
in Mengeneinheiten; ME):
Woche 1:
Andrea:
4
ME
Lipgloss,
8
ME
Nagellack,
Olga: 3 ME Lipgloss, 6 ME Nagellack, 8 ME Haarspray
12
ME
Haarspray
7
ME
Haarspray
9
ME
Haarspray
5
ME
Haarspray
Woche 2:
Andrea:
2
ME
Lipgloss,
10
ME
Nagellack,
Olga: 5 ME Lipgloss, 8 ME Nagellack, 3 ME Haarspray
Woche 3:
Andrea:
6
ME
Lipgloss,
7
ME
Nagellack,
Olga: 4 ME Lipgloss, 3 ME Nagellack, 12 ME Haarspray
Woche 4:
Andrea:
1
ME
Lipgloss,
6
ME
Nagellack,
Olga: 5 ME Lipgloss, 4 ME Nagellack, 6 ME Haarspray
a) Stellen Sie den wöchentlichen Verbrauch der beiden Studentinnen in Matrizen dar.
b) Wie viele Einzelprodukte verbrauchen diese zwei innerhalb der vier Wochen? Führen
Sie dazu eine Matrizenoperation durch.
c) Nehmen wir an Andrea kann ihre Produkte bei zwei Drogerien kaufen. Nun möchte
Sie wissen, wo Sie ihre Produkte am günstigsten kaufen erhält. Führen Sie auch hier
eine Matrixoperation durch. Die Preise pro Mengeneinheit finden Sie in der nachfolgenden Tabelle. Es kann nur eine der beiden Drogerien ausgewählt werden. Dort müssen auch alle Produkte gekauft werden.
Tinis Beauty-Oase
Ellis Schönheitsinsel
Lipgloss
9
7
Nagellack
2
4
Haarspray
4
5
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Aufgabe 14:
Berechnen Sie das folgende Lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Verfahrens nach
Cramer (Cramersche Regel).
3𝑥
4𝑥
−2𝑥
+2𝑦
−5𝑦
+𝑦
+𝑧
−𝑧
+3𝑧
=
=
=
12
−4
4
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Aufgabe 15:
Lösen Sie folgende lineare Gleichungssysteme (LGS) mit dem Verfahren nach Gauß.
(1): 3𝑥
(2) : − 𝑥
(3): 5𝑥
−2𝑦
+3𝑦
+6𝑦
+5𝑧 = 13
+4𝑧= −1
−𝑧 = 3
Aufgabe 16:
Bilden Sie von der folgenden Funktion zwei Ableitungen.
1
1
4
𝑓(𝑥) = 𝑥³ − 𝑥² − 𝑥 +
9
3
9
Aufgabe 17:
Bilden Sie von der folgenden Funktion zwei Ableitungen.
1
𝑓(𝑥) = 𝑥 − 1 + 𝑒 −𝑥
2
Aufgabe 18:
Führen Sie für folgende Funktion eine Kurvendiskussion durch. Dabei soll von Ihnen die
Definitionsmenge, die Symmetrie, die Schnittpunkte mit den Achsen und Extremwerte
berechnet werden. Geben Sie berechnete Punkte immer explizit an.
𝑓(𝑥) = 𝑥 4 − 4𝑥²
Aufgabe 19:
Lösen Sie folgendes LOP mit Hilfe der grafischen Methode und bestimmen Sie den maximalen Z-Wert (verwenden Sie das Koordinatensystem im Anhang):
1) x1 , x 2  0
2) 4 x1  3x 2  600
2x1  2 x 2  320
3x1  7 x 2  840
3) 2x1  3x 2  Z  Max
8-10
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Aufgabe 20:
In einem Produktionsprozess werden zur Herstellung von 2 Zwischenprodukten Z1 und
Z2 drei verschiedene Rohstoffe R1, R2, und R3 benötigt. Aus den bei den Zwischenprodukten entstehen dann 3 verschiedene Endprodukte E1, E2 und E3.
Der untenstehenden Figur kann entnommen werden, wie viel Mengeneinheiten der
Rohstoffe für die jeweiligen Zwischenprodukte und wie viele Mengeneinheiten der Zwischenprodukte für die jeweiligen Endprodukte benötigt werden.
Gesucht ist der Rohstoffbedarf für die verschiedenen Endprodukte.
Aufgabe 21:
Hans-Udo teilt jede Woche 390 Prospekte aus und bekommt dafür 28,08 €.
a) Pia verteilt für dieselbe Firma in einem anderen Stadtteil 360 Prospekte. Was verdient sie?
b) Paul verdient mit derselben Arbeit 18 € in der Woche. Wie viele Prospekte trägt er
aus?
Aufgabe 22:
Ein Sparguthaben von 325 € bringt in einem Jahr 11,70 € Zinsen.
Mit welchem Zinssatz wurde das Sparguthaben verzinst?
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Aufgabe 23:
Herr Abelheimer hat Herrn Böness am 1.1.1995 einen Betrag von EUR 650,-geliehen.
Böness verpflichtet sich, den geliehenen Betrag mit 7% einfach zu verzinsen und ihn
zusammen mit den bis dahin fällig gewordenen Zinsen am 31.12.2004 zurückzuzahlen.
Wie hoch ist der zurückzuzahlende Betrag?
Aufgabe 24:
Ein Kapital ist nach fünf Jahren bei nachschüssiger Verzinsung von 8% pro Jahr auf 14
693,28 € angewachsen. Wie groß war das Startkapital? Das Startkapital wird berechnet,
indem das Endkapital fünf Jahre abgezinst wird:
Aufgabe 25:
Ein Sparer zahlt über 10 Jahre jeweils am Ende des Jahres 1.500 Euro ein. Dabei bewegt
sich der Zinssatz bei 7,5%.
Anschließend bleibt das angesparte Kapital über 10 Jahre liegen. Dabei bekommt der
Sparer in den ersten fünf Jahren 4% und in den zweiten fünf Jahren 6,5% Zinsen.
Anschließend möchte der Sparer ein über 20 Jahre laufende Rente jeweils am Anfang
des Jahres erhalten. Der Zinssatz beträgt in diesem Zeitraum 4%. Wie groß ist seine
Rate die er erhält?
10-10