Berechnungen am Dreieck

Berechnungen am Dreieck
1. Im Dreieck △OBA mit O (0 0), B (b 0) und A (0 a)
ist H (x y) der Fußpunkt der Höhe von O auf AB.
Weitere Bezeichnungen:
y
a
A
p
h = OH, p = AH, q = HB und c = AB.
y
Drücke c, h, p, q und die Koordinaten von H durch
a und b aus. Jeder Ansatz ist durch Nennung des
Satzes und des Dreiecks, auf das er sich bezieht,
kurz zu begründen. Vereinfache die Ergebnisse!
Berechne c, h, p, q und die Koordinaten von H für
a = 3 und b = 4.
Lösung: Pythagoras in △OBA: a2 + b2 = c2
Fläche von △OBA:
1
1
ab = hc
2
2
=⇒
=⇒
c=
h=
√
H(x|y)
h
q
B
O
x
ab
ab
12
=√
= 2,4
=
2
2
c
5
a +b
=⇒
p=
a2
9
a2
=√
= = 1,8
2
2
c
5
a +b
Kathetensatz in △OBA: qc = b2
=⇒
q=
b2
b2
16
=√
= 3,2
=
c
5
a2 + b 2
1
1
by = hq
2
2
Kathetensatz in △OBH: xb = h2
=⇒
=⇒
y=
x
a2 + b 2 = 5
Kathetensatz in △OBA: pc = a2
Fläche von △OBH:
b
hq
ab2
48
= 2
= 1,92
=
2
b
a +b
25
x=
h2
a2 b
36
= 2
=
= 1,44
b
a + b2
25
2. Im unteren Teil hat die Straße von Berchtesgaden zum Rossfeld eine Steigung von
25%.
(a) Zeigen Sie, dass die Steigung von 25% im abgebildeten Verkehrsschild nicht
richtig dargestellt ist. Messen Sie dazu geeignete Strecken in einem Steigungsdreieck. Machen Sie im Bild kenntlich, welche Strecken Sie abgemessen haben.
(b) Welcher der folgenden Terme gibt an, wie viele Meter man auf der unteren
Rossfeldstraße zurücklegen müsste, um einen Höhenunterschied von 100 m zu
erzielen?
1
4 · 100m
0, 25 · 100m
√
4002 · 1002
√
4002 + 1002
√
4002 − 1002
Quelle: Bayerischer Mathematik-Test für die Jahrgangsstufe 10 der Gymnasien 2008
25
Lösung: (a) Z. B. 1,5
2,6 6= 0, 2 100
√
(b) 4002 + 1002
3. Dreiecke im Quadrat
Oben abgebildet siehst du ein Dreieck, dass in ein Quadrat eingepasst“ wurde.
”
(a) Mache möglichst viele (mindestens 5) mathematische Aussagen über die Figuren (z.B. über Flächeninhalte, Winkel,. . . ).
(b) Verschiebe den Punkt C auf der Höhenlinie h so, dass das entstehende Dreieck
△ABC ′ gleichseitig ist. Wie groß ist dann h′ ? Beantworte die Frage mit und
ohne Trigonometrie!
(c) Wie viel Prozent der Gesamtfläche nimmt das neue Dreieck ein?
Lösung: (a) Z. B. Das Dreieck △ABC ist gleichschenklig. Die Fläche des Dreiecks halbiert die
Fläche des Quadrats. Im Dreieck △ABC gilt α = β. h ist Symmetrieachse von △ABC
und vom Quadrat. Das Quadrat hat 4 Symmetrieachsen.
′
(b) • Das Dreieck ist gleichseitig, also sind alle Winkel 60◦ und es gilt tan 60◦ = 2h
a .
√
√
Wegen tan 60◦ = 3 folgt: h′ = a2 3.
2
• Eine weitere Lösungsmöglichkeit: Die Kantenlänge des Quadrats ist a. Dann soll
für das Dreieck laut Pythagoras gelten: ( 12 a)2 + h′2 = a2 . Daraus folgt dann die
Lösung für h′ .
√
√
(c) A△ABC = 21 · a · a2 3 = 43 a2 ⇒ 43%
4. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Gib für die rechtwinkligen Dreiecke jeweils die Gleichung nach dem Satz des Pythagoras an.
Quellen: Welt der Mathematik 9 (1990), Mathematik heute 9 (1996), Lambacher
Schweizer 9 (1997), Schnittpunkt 9 (1995), MUED
Lösung: t2 = s2 + r 2 , u2 = v 2 + w2 , a2 = b2 + c2 , y 2 = x2 + z 2 , b2 = a2 + c2
5. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Berechne bei den rechtwinkligen Dreiecken die fehlenden Seitenlängen.
Lösung: (a)
(b)
(c)
(d)
(e)
x ≈ 9, 43 cm
y ≈ 9, 22 cm
z ≈ 11, 18 cm
u ≈ 35, 23 cm
v ≈ 8, 94 cm
6. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Berechne die Länge der Diagonalen des Rechtecks ABCD.
3
Lösung: Diagonale = 13 cm
7. Pyramiden
Wie viel Zeltstoff benötigt man für die Herstellung des Zeltes?
Quelle: Mathematik heute 9 (1996)
p
Lösung: Höhe im Dreieck: h = 22 + 1, 52 m = 2, 5 m
Fläche des Zeltstoffes: A = 4 · 21 · 3 m · 2, 5 m = 15 m2
8. Die ägyptischen Seilspanner
Lies die folgenden Zeitungsartikel.
Erkläre,worum es geht. Ein Artikel enthält Fehler.
Die ägyptischen Seilspanner (um 2000 v. Chr.) hatten eine sehr genaue Methode um
rechte Winkel zu konstruieren. Sie benutzten dazu ein Seil mit Knoten in gleichen
Abständen.
4
(a) Warum soll es wichtig sein, genau rechte Winkel konstruieren zu können? Hast
du eine Idee, wie das heute die Maurer machen?
(b) Nimm ein langes Stück Bindfaden und markiere darauf 12 gleich große Abschnitte. Finde möglichst viele Dreiecke, so dass jeder der drei Eckpunkte genau bei einem Knoten liegt. Welches haben wohl die ägyptischen Seilspanner
benutzt und warum gerade dieses?
Quelle: MUED
Variationen:
(a) Selbst Schnur hestellen, Schüler Tripel finden lassen.
(b) Alle 15 Dreiecke finden lassen, die man mit weniger als 12 Knoten legen kann.
(c) Streichhölzer statt Schnur verwenden.
Lösung: (a) Neueinteilung der Felder nach der jährlichen Nilschwemme. Maurer nutzen oft eine
analoge Lattenkonstruktion.
(b) 12 verschiedene Tripel.
9. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
In einem Wohnraum werden Fußsockelleisten montiert. Wie viele Meter dieser Leisten werden in der Kalkulation verrechnet, wenn die beiden Türen ausgespart werden
und ein Verschnittzuschlag von 15% einbezogen wird?
5
Lösung: U ≈ 17633, 26
Mit Verschnitt ≈ 20278, 25
10. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Elfmeter! Olaf knallt den Ball in einer Höhe von 1, 50 m an den Pfosten. Welche
Strecke legt der Ball dabei mindestens zurück?
Das Tor ist 7, 32, m breit und 2, 44, m hoch.
Lösung: Strecke (min.) ≈ 11, 69 m
11. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Berechne für jedes abgebildete Gebäude die Länge eines Dachsparren. Jeder Dachsparren soll dabei 40 cm überstehen.
Lösung: Sparrenlängen
(a) = 5, 4 m
(b) ≈ 9, 05 m
(c) ≈ 9, 67 m
6
12. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Wie hoch darf der Schrank höchstens sein, damit man ihn wie angegeben aufstellen
kann?
Lösung: Schrankhöhe (max.) ≈ 2, 32 m
13. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Auf einem ebenen Feld stehen zwei Türme, einer 60 Fuß hoch, der andere 80 Fuß
hoch. Ihr Abstand beträgt 100 Fuß. Für die beiden Vögel ist der Weg von der
Turmspitze bis zu einem Brunnen zwischen den Türmen gleich weit. Wie weit ist
der Brunnen von den Türmen entfernt?
7
Lösung: Entfernung Brunnen - Turm = 64 m bzw. 36 m
14. Anwendungen des Satzes des Pythagoras
Eine Schnur ist symmetrisch um einen Stab gewickelt. Die Schnur windet sich genau
4 mal um den Stab. Der Umfang des Stabes ist 4 cm und die Länge des Stabes ist
12 cm.
Wie lang ist die Schnur?
Lösung: Handlungsvorstellung: Küchenpapierrolle längs aufschneiden; Schnur = 20 cm
15. Wie groß ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Flächeninhalt 14, 43 m2?
Lösung: h ≈ 5, 00 cm
16. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Zeichnung) gelte
q = 9 cm,
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r
b
b = 15 cm.
Berechne a, c, p und h!
q
h
a
p
r
c
Lösung: a = 20 cm, c = 25 cm, p = 16 cm, h = 12 cm
17. Ein Dreieck ABC besitzt bei C einen rechten Winkel.
Es gilt: a = 3 cm und c = 5 cm.
Berechne die Kathetenlänge b und die Länge q des zugehörigen Hypotenusenabschnittes sowie die Hypotenusenhöhe h!
Lösung: b = 4 cm ; q = 3, 2 cm ; h = 2, 4 cm
√
18. In einem bei C rechtwinkligen Dreieck gilt h = 2 cm und b = 5 cm. Berechne
die fehlenden Seiten, die Hypotenusenabschnitte und den Flächeninhalt des Dreiecks.
8
√
Lösung: q = 1 cm ; c = 5 cm ; p = 4 cm ; a = 2 5 cm ; A = 5 cm2
19. In der nebenstehenden, nicht maßstabsgetreuen Figur sind bekannt:
h = 6, 0 cm und p = 18, 0 cm.
Berechne q, b, s und r.
D...
s
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C
r
r
b
r
A
q
a
h
p
r
c
B
Lösung: q = 2, 0 cm; b ≈ 6, 3 cm; s ≈ 2, 1 cm; r ≈ 6, 7 cm
20. Überprüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC mit A(2|1), B(1|10) und C(6|5)
rechtwinklig ist und gib den Flächeninhalt an! (Keine Zeichnung!)
Lösung: a2 + b2 = c2 ; A = 20
21. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die kleinere Kathete 18 cm lang. Die Hypotenusenabschnitte unterscheiden sich um 8, 4 cm. Berechne die Hypotenusenabschnitte
und die Höhe.
Lösung: q = 10, 8 cm; p = 19, 2 cm; h = 14, 4 cm;
22. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Basishöhe h =
5 cm gegeben. Erstelle zunächst eine saubere, maßstabsgetreue Zeichnung und berechne anschließend die exakten Längen
(a) der Schenkel,
(b) der Seitenhalbierenden der Schenkel.
√
Lösung: (a): 5 2 cm
(b):
5
2
√
10 cm
23. Im folgenden wird ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm zugrunde gelegt. Auf einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(3|1) liegt der Punkt Q(−2|−5, 25).
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel und berechne dann die Entfernung d
zwischen S und dem Parabelschnittpunkt mit der y-Achse.
Lösung: y = −0, 25 · (x − 3)2 + 1 ;
d = 3, 75 cm
9
24. Dem Kreis k(M; r) ist ein Drachenviereck ABCD
einbeschrieben.
Die Diagonale [BD] hat die Länge BD = 32 r.
√
Zeige, daß dann gilt:
z = MP = 4r 7 .
C
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qP
D
B
z
qM
r
A
Lösung:
25. In nebenstehendem Dreieck ABC sind gegeben:
Höhe ha = 60 mm;
Seitenhalbierende sa = 65 mm;
Flächeninhalt F = 2220 mm2 .
C
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a
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r
(a) Berechne die Seitenlänge AC des Dreiecks
ABC.
√
(Ergebnis: AC = 12 26 mm)
(b) Das Lot von H auf [AC] trifft [AC] im Punkt
G. Berechne CG.
H
M
h
s
A
Lösung: CG =
6
13
√
26 mm
√
26. In einem
Koordinatensystem
ist
durch
die
Punkte
C(5|3
6) und den Fußpunkt
√
F (5| 3) die Höhe hc eines gleichseitigen Dreiecks gegeben.
(a) Zeichne das Dreieck ABC in das Koordinatensystem (Längeneinheit: 1 cm) so
genau wie möglich ein und berechne dann die exakten Koordinaten der Punkte
A und B!
(b) Berechne den exakten Wert des Flächeninhalts von Dreieck ABC!
√ √
√ √
+
3
2| 3)
Lösung: (a): A(6 − 3 2|√3), B(4
√
(b): AABC = 19 3 − 6 6
10
B
27. Gegeben sind die Punkte A(−3| − 2), B(6|1) und C(−5|4).
Prüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
(Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!)
Lösung: (AB)2 + (AC)2 = (BC)2
28. In einem Dreieck seien c = 32 cm, hc = 24 cm und sc = 25 cm. Berechne die Längen
der Seiten a und b und zeige durch Rechnung, daß das Dreieck nicht rechtwinklig
ist.
Lösung: a =
√
√
1105, b = 657 (oder umgekehrt). Es ist a2 + b2 = 1762 6= 322 = 1024.
29. Gegeben sind die Punkte A(0| − 3), B(6| − 6) und C(3|3), sowie P (8|5), Q(10|4)
und R(9|7).
Entscheide durch Rechnung, ob die Dreiecke ABC und PQR zueinander ähnlich
sind.
(Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!)
Lösung: Die Berechnung der Seitenlängen liefert den Nachweis der Ähnlichkeit.
30. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basishöhe um 2 cm größer als die Basis
und um 1 cm kleiner als die Schenkel.
Berechne die erwähnten Stücke!
Lösung: Basis: 10 cm; Höhe: 12 cm; Schenkel: 13 cm;
Die Lösungsansätze führen auf eine quadratische Gleichung!
31. Im Quadrat ABCD der Seitenlänge a ist M die Mitte von [AB] und N die Mitte
von [BC]. Berechne die Fläche des Dreiecks MND in Abhängigkeit von a!
Lösung:
3 2
8a
11