Natürliche Zahlen - robert

Natürliche Zahlen
1.) Stellentafel – Große Zahlen
5
Impuls: Lehrer schreibt in Kästchen an die Tafel folgende Ziffern:
3
6
Wer kann aus diesen Ziffern eine Zahl basteln? 356928
Wer kann aus diesen Ziffern die kleinste und die größte Zahl basteln? 235689
2
9
8
986532
Zwei Ziffern werden weggewischt, so dass noch 3 übrig bleiben.
Wer kann alle möglichen Zahlen aus diesen Ziffern basteln und sie der Größe nach ordnen?
356, 365, 536, 563, 635, 653
MERKE:
Die 10 Ziffern 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sind die Bausteine für unsere Zahlen. Mit ihnen lassen sich alle
Natürliche Zahlen zusammen setzen.
Natürliche Zahlen sind:
= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12....}
Sie beginnen mit der Zahl 1 und gehen bis unendlich.
Niemand ist in der Lage, die letzte natürliche Zahl zu
nennen.
Der Wert einer Ziffer ist davon abhängig, an welcher Stelle sie innerhalb der Zahl vorkommt.
Lehrer schreibt die Zahl 93184037509632 an die Tafel. Wer kann diese Zahl lesen? Wie kann man
diese Zahl besser lesbar machen? 93.184.037.509.632
Diese Zahl heißt gelesen: 93 Billionen 184 Milliarden 37 Millionen 509 Tausend 635
Die Stellentafel unseres Zahlensystems:
Billionen
H
1.)
Milliarden
5
E
H
Z
E
H
Z
E
H
Z
E
H
Z
E
9
3
1
8
4
0
3
7
5
0
9
6
3
5
2
5
0
0
0
4
5
2
4
0
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
7
0
9
0
8
0
0
5
6
4
0
2
3
4
9
5
0
0
0
5
6
7
8
4.)
5.)
Tausender
Z
2.)
3.)
Millionen
3
0
0
Notiere die Zahlen mit ihren Stellennamen von Aufgabe 2 bis Aufgabe 5. Schreibe dann die Zahlen mit ihren
Stellenpunkten auf:
2.) 25 Milliarden 452 Tausend 400
3.) 567 Billionen 898 Milliarden 765 Millionen 432 Tausend 101
4.) 7 Milliarden 90 Millionen 800 Tausend 564
5.) 3 Billionen 234 Millionen 950 Tausend 5
Buch M.h. S.9 – S.11
Seite 1 von 12
25.000.452.400
567.898.765.432.101
7.090.800.564
3.000.234.950.005
Die Stellentafel
Billionen
H
Z
E
Milliarden
H
1.)
8
2.)
3.)
1
Tausender
Z
E
H
Z
E
H
Z
E
H
Z
E
6
0
3
7
0
3
1
4
6
5
3
4
0
3
7
0
0
0
0
6
5
4
2
1
7
0
0
5
0
0
0
8
9
7
0
1
9
6
0
4
0
3
9
0
1
0
2
0
4
0
7
9
2
6
4
4
9
8
5
4.)
5.)
Millionen
9
8
6.)
7.)
8.)
9.)
10.)
11.)
12.)
13.)
14.)
15.)
16.)
17.)
18.)
19.)
20.)
1.) In der Stellentafel findest du 5 vorgegebene Zahlen. Schreibe sie wie folgt auf:
60370314653 = 60.370.314.653 = 60 Milliarden 370 Millionen 314 Tausend 653
2.) Übertrage folgende Zahlen in die Stellentafel:
a.) 15 Millionen 43
d.) 56.732.956.870.341
h.) 67098432
l.) 203050678789556
b.) 245 Milliarden 7 Tausend 971
e.) 790564321
f.) 90800563230
i.) 26.789.000.092
j.) 775.025
m.) 1234567890
n.) 97865342
Seite 2 von 12
c.) 34 Tausend 2
g.) 100000567893445
k.) 345.980.743
o.) 900000001
Stufenzahlen als Zehnerpotenzen
Unser Zahlensystem ist ein 10er-System, das in 10er-Schritten weitergezählt wird.
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
⋅10
E 

→ Z 

→ H 

→ T 
→ ZT 

→ HT 

→ EM 
→ ZM 

→ HM 

→ ......
Dahinter lässt sich folgendes System erkennen:
E:
1
=1
= 100
Z:
10
= 10
= 101
H:
100
= 10 ⋅ 10
= 10 2
ET :
1000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 103
ZT :
10000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 10 4
HT :
100000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 105
EM :
1000000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 10 6
ZM :
10000000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 107
HM :
100000000
= 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10
= 108
Tausender
Millionen
MERKE:
1.) Für 10 ⋅ 10 ⋅ 10 ⋅ 10 schreibt man kürzer 10 4 (10 hoch 4)
2.) 103 bedeutet: Nimm die 10 drei mal mit sich selbst mal: 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000
3.) Die Potenzschreibweise:
10
3
Hochzahl (Exponent)
Potenz
Grundzahl (Basis)
Anwendung für unsere Zahlen:
Schreibe mit Hilfe von Zehnerpotenzen:
= 7 ⋅ 103
7000
= 7 ⋅ 1000
2.000.000
= 2 ⋅ 1.000.000 = 2 ⋅ 106
60
= 6 ⋅ 10
2090
= 2 ⋅ 1000 + 9 ⋅ 10
= 2 ⋅ 103 + 9 ⋅ 101
46.804
= 4 ⋅ 10.000 + 6 ⋅ 1000 + 8 ⋅ 100 + 4
= 4 ⋅ 10 4 + 6 ⋅ 103 + 8 ⋅ 102 + 4
= 6 ⋅ 101
Gib die Zahlen ohne Zehnerpotenzen an:
3 ⋅ 10 4 + 2 ⋅ 103 + 5 ⋅ 102 + 4 ⋅ 101 + 8 = 3 ⋅ 10.000 + 2 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 100 + 4 ⋅ 10 + 8
= 30.000 + 2000 + 500 + 40 + 8 = 32.548
8 ⋅ 105 + 2 ⋅ 103 + 5 ⋅ 101 + 1
= 8 ⋅ 100.000 + 2 ⋅ 1000 + 5 ⋅ 10 + 1
= 800.000 + 2000 + 50 + 1 = 802.051
Buch: M.h. S.13/14
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Natürliche Zahlen und Zehnerpotenzen
1.) Berechne die folgenden Zehnerpotenzen:
a.) 103 = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 = 1000
b.) 106 =
c.) 109 =
d.) 107 =
e.) 101 =
2.) Fülle die leeren Felder in der Stellentafel durch Zehnerpotenzen oder Abkürzungen (E, Z, H, ET, usw)
Milliarden
H
Millionen
Tausender
Z
E
HM
ZM
EM
HT
ZT
T
H
Z
E
7
5
0
8
6
3
0
1
0
2
9
Milliarden
H
Millionen
E
1010
7
ZM
Tausender
EM
10 8
5
0
T
H
10 5 10 4
8
6
3
0
E
101
1
0
2
9
Man kann die Zahl 75.086.301.029 nun mit Hilfe der Zehnerpotenzen wie folgt aufschreiben:
75. 086. 301. 029 = 7 ⋅ 1010 + 5 ⋅ 10 9 + ( 0 ⋅ 10 8 ) + 8 ⋅ 107 + 6 ⋅ 10 6 + 3 ⋅ 10 5 + ( 0 ⋅ 10 4 ) + 1⋅ 10 3 + ( 0 ⋅ 10 2 ) + 2 ⋅ 101 + 9
Notiere entsprechend und lasse die Stelle für die Null frei:
a.) 67.098.345
b.) 45.009
=
=
c.) 201.350.965 =
Und nun das ganze umgekehrt. Übersetze die Potenzschreibweise in eine natürliche Zahl:
a.) 5 ⋅ 107 + 3 ⋅ 105 + 9 ⋅ 10 4 + 7 ⋅ 10 2 + 8 ⋅ 101 + 2 =
b.) 9 ⋅ 106 + 8 ⋅ 105 + 2 ⋅ 10 4 + 7 =
c.) 8 ⋅ 108 + 7 ⋅ 107 + 4 ⋅ 10 4 + 2 ⋅ 102 + 6 =
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Vorgänger und Nachfolger
Aufgabe:
Wie heißt der Vorgänger und der Nachfolger der Zahl 2099?
MERKE:
1.) Jede Natürliche Zahl hat einen Nachfolger. Deshalb gibt es unendlich viele Natürliche Zahlen. Man erhält den Nachfolger einer Zahl, indem 1 zu der Zahl addiert.
2.) Jede Natürliche Zahl, außer der Zahl 1 hat einen Vorgänger. Man erhält den Vorgänger einer Zahl, indem man 1 von der Zahl subtrahiert.
Aufgabe:
Welche Zahl liegt in der Mitte von:
60 und 90?
60 + 90 = 150
150 : 2 = 75
96 und 148?
96 + 148 = 244
244 : 2 = 122
223 und 475?
223 + 475 = 698
698 : 2 = 349
25 und 74?
25 + 74 = 99
99 : 2 = 49 + 1 : 2
Es gibt keine Mitte!
Eine natürliche Zahl kann nur Mitte von 2 Zahlen sein, wenn beide gerade oder beide ungerade sind!
Aufgabe:
Wie viele 2-stellige Zahlen gibt es?
Wie viele 3-stellige Zahlen gibt es?
Wie viele 4-stellige Zahlen gibt es?
90
900
9000
99 – 10 = 89
999 – 100 = 899
9999 – 1000 = 8999
(+ 1 für die Zahl 10)
(+1 für die Zahl 100)
(+1 für die Zahl 1000)
Buch M.h. Band 5, S.15/16
Kleiner, größer – Ordnen von Zahlen
Aufgabe:
Ordne folgende Zahlen der Größe nach. Beginne mit der kleinsten Zahl.
4658; 398; 16780; 354; 689
Ordne folgende Zahlen der Größe nach. Beginne mit der größten Zahl.
1011; 1101; 1001; 1100; 1010
MERKE:
Um zwei Zahlen der Größe nach zu vergleichen, benötigt man 2 Zeichen:
„<“ ist kleiner als
und
„>“ ist größer als.
Buch M.h. Band 5, S.19 – 21
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Der Zahlenstrahl
1.) Vorstellung des Zahlenstrahls für natürliche Zahlen:
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.) Der Zahlenstrahl wird vergrößert, die Zahl 100 wird an einen Strich notiert. Wer kann jetzt fehlende Striche mit den passenden natürlichen Zahlen versehen?
eingehen auf die Einteilung, die sich hinter diesem Zahlenstrahl verbirgt:
Von der Null bis zur Hundert sind es vier Einteilungsstriche, also:
Jeder Einteilungsstrich bedeutet also ein weitergehen um 25.
0
100 : 4 = 25
100
3.) Der Zahlenstrahl wird nochmals vergrößert und mit Pfeilen für fehlende Zahlen versehen. Wer findet die
passenden natürlichen Zahlen?
0
1000
A
B
C
Einteilung: 1000 : 5 = 200
D
E
F
G
H
Zwischenpfeile: 100
MERKE:
1.) Der Zahlenstrahl für die natürlichen Zahlen besitzt einen Anfangspunkt (0) aber keinen Endpunkt.
2.) Alle Abstände zwischen den Zahlen sind gleich groß.
3.) Eine Zahl ist umso kleiner (größer), je weiter links (rechts) sie auf dem Zahlenstrahl liegt.
Zahlenfolgen
„Wie die Zahlen Mathematik machen“ von Annelies Paulitsch vorlesen! Seite 11 – 16.
Aufgabe:
Peter findet auf einem alten Zettel folgende Zahlenfolgen:
1.) 3
2.) 5
7
11
11
13
15
19
19........
21........
Gesetz:
Gesetz:
+4
→
+6
→
+2
→
3.) 4
5
7
10
14........
Gesetz:
+1
→
+2
→
4.) 19
16
21
18
23........
Gesetz:
+3
→
−5
→
Buch M.h., Band 5, S.22,23
Seite 6 von 12
+3
→
......
Natürliche Zahlen auf dem Zahlenstrahl
Welche natürlichen Zahlen werden durch die Pfeile am Zahlenstrahl dargestellt? Überlege dir zuerst eine
geeignete Einteilung für den Zahlenstrahl. Dazu kannst du dir Zahlen über die Einteilungsschritte eintragen.
Danach versuche, die gesuchten Zahlen zu bestimmen.
1.) Einteilung:
500 : 10 = 50
0
500
A
B
2.) Einteilung:
C
D
E
F
G
H
E
F
G
H
200 :
0
200
A
B
3.) Einteilung:
C
D
40 :
0
40
A
B
C
D
E
F
G
H
C
D
E
F
G
H
4.) Einteilung:
0
100
A
B
5.) Einteilung:
0
1000
A
B
C
D
E
F
G
H
C
D
E
F
G
H
6.) Einteilung:
0
2000
A
B
7.) Einteilung:
0
4000
A
B
C
D
E
Seite 7 von 12
F
G
H
Das Zweiersystem
Welche Bootsgattungen gibt es beim Rudern, wie viele Personen sitzen in den einzelnen Sportruderbooten?
Es gibt den Einer, Zweier, Vierer und Achter. Wir verteilen die Boote auf eine Tabelle:
Aufgabe:
Verteile 7 Sportler so auf die Boote, dass jedes Boot nur einmal benutzt wird und kein Sitzplatz leer bleibt.
Benutze dazu die Tabelle.
10, 9, 13, 5 Sportler sollen in der oben beschriebenen Art auf die Boote verteilt werden.
ACHTER
VIERER
ZWEIER
EINER
8
4
2
1
23
22
21
1
1
1
1
=7
1
0
1
0
= 10
1
0
0
1
=9
1
1
0
1
= 13
1
0
1
=5
Die Ziffernfolge 111 im Zweiersystem bedeutet also:
111 =
1⋅ 1 + 1⋅ 2 + 1⋅ 4 =
1+ 2 + 4 = 7
1010 = 0 ⋅ 1 + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 4 + 1⋅ 8 =
0 + 2 + 0 + 8 = 10
11011 = 1⋅ 1 + 1⋅ 2 + 0 ⋅ 4 + 1⋅ 8 + 1⋅ 16 =
1 + 2 + 0 + 8 + 16 = 27
Man schreibt:
1112 = 710
10102 = 1010
110112 = 2710
MERKE:
Im Zweiersystem gibt es nur zwei Ziffern: 0 und 1. Trotzdem kann man mit diesen beiden Ziffern alle natürlichen Zahlen bilden.
Computer benutzen das Zweiersystem zur Verarbeitung von Daten.
Aufgabe:
Übersetze folgende Zahlen aus dem Zweiersystem in das Zehnersystem:
1.) 11002
2.) 11112
3.) 100002
4.) 111012
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Vom Zehnersystem ins Zweiersystem:
Wie verwandelt man Zahlen aus unserem Zehnersystem in das Zweiersystem mit den Ziffern 0 und 1?
Die ersten Stufenzahlen im Zweiersystem lauten:
...256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1
Aufgabe:
Verwandle die Zahlen 25, 40, 63 und 100 vom Zehnersystem in das Zweiersystem.
25 = 16 ⋅ 1 + 9
2510 = 110012
9 = 8 ⋅1+ 1
2510 = 1⋅ 16 + 1⋅ 8 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 1⋅ 1 = 16 + 8 + 4 + 1 = 25
1 = 1⋅ 1 + 0
40 = 32 ⋅ 1 + 8
4010 = 101000 2
8 = 8 ⋅1+ 0
4010 = 1⋅ 32 + 0 ⋅ 16 + 1⋅ 8 + 0 ⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 = 32 + 8 = 40
63 = 32 ⋅ 1 + 31
6310 = 1111112
31 = 16 ⋅ 1 + 15
6310 = 1⋅ 32 + 1⋅ 16 + 1⋅ 8 + 1⋅ 4 + 1⋅ 2 + 1⋅ 1 = 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 63
15 = 8 ⋅ 1 + 7
7 = 4 ⋅1+ 3
3 = 2 ⋅1+ 1
1 = 1⋅ 1 + 0
100 = 64 ⋅ 1 + 36
10010 = 1100100 2
36 = 32 ⋅ 1 + 4
10010 = 1⋅ 64 + 1⋅ 32 + 0 ⋅ 16 + 0 ⋅ 8 + 1⋅ 4 + 0 ⋅ 2 + 0 ⋅ 1 = 64 + 32 + 4 = 100
4 = 4 ⋅ 1+ 0
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Runden von Zahlen
Einwohnerzahlen werden manchmal in Diagrammen (zeichnerische Darstellung von Zahlen) veranschaulicht. Für die Stadt Frankfurt wurde folgendes Bild gezeichnet:
600.000 Einwohner
Das bedeutet: Die Stadt Frankfurt hat ungefähr (rund, cirka) 600.000 Einwohner.
Eine Figur steht also für 100.000 Einwohner
Wie viele Figuren braucht man daher für folgende Einwohnerzahlen:
Stadt
Einwohner
Stuttgart
531.077
Köln
967.050
Hamburg
1.546.714
München
1.290.079
gerundet
Diagramm
Alle Einwohnerzahlen wurden auf HUNDERTTAUSENDER gerundet!
Übungsaufgaben zum Runden von Zahlen:
1.) Runde folgende Zahlen auf HUNDERTER:
3131
gerundet auf Hunderter:
14678
gerundet auf Hunderter:
550
gerundet auf Hunderter:
5399
gerundet auf Hunderter:
6999
gerundet auf Hunderter:
2.) Runde folgende Zahlen auf ZEHNTAUSENDER:
235.987
gerundet auf Zehntausender:
34.698
gerundet auf Zehntausender:
764.986
gerundet auf Zehntausender:
908.123
gerundet auf Zehntausender:
4.877.590
gerundet auf Zehntausender:
MERKE:
Beim Runden von Zahlen richtet man sich nach der nächstfolgenden Ziffer auf die gerundet werden soll.
Bei den Ziffern 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet.
Bei den Ziffern 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet.
H
Z
Beispiel: Runde die Zahl
6583 auf Hunderter 6600
4234 auf Zehner 4230
Seite 10 von 12
Darstellen von Zahlen in Diagrammen
Aufgabe:
Die Schüler der Klasse 5x führen eine Befragung durch, die zeigen soll, aus welchen Grundschulen ihre
Mitschüler zum Marianum gekommen sind.
Ergebnis der Befragung:
Don-Bosco-Schule:
Bonifatiusschule:
Rauschenbergschule:
Wendelinusschule:
Weyhers:
Eichenzell:
Schmalnau:
Lehnerz:
Geschwister-Scholl:
Hattenhof:
8
3
6
5
2
2
1
1
2
2
Darstellung der Zahlen in einem Säulendiagramm:
Hattenhof
Geschw.
Leh
Sch
Eichenzell
Weyhers
Wendelinus
Rauschenbeg
Bonifatius
Don-Bosco-Schule
MERKE:
Diagramme sind bildliche Darstellungen von Zahlen. Das Säulendiagramm stellt verschiedene Zahlen mit
Hilfe von Säulen (Rechtecken) von unterschiedlicher Höhe dar, die den Zahlen der Befragung entsprechen.
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Arbeitsblatt: Natürliche Zahlen
1.) Berechne die folgenden Potenzen (a. bis e.) bzw. wandle in die Potenzschreibweise um (f. bis h.):
a.) 105 =
b.) 103 =
c.) 7 ⋅ 102 =
d.) 9 ⋅ 107 =
e.) 2 ⋅ 103 =
f.) 10.000 =
g.) 10 =
h.) 5600 =
i.) 920.300 =
h.) 70.005.000.025 =
2.) Gib die Zahlen ohne Zehnerpotenzen an:
a.) 9⋅10 5 + 7 ⋅ 10 3 + 5 ⋅ 10 1 + 2 =
b.) 3 ⋅ 10 8 + 1 ⋅ 10 5 + 3 ⋅ 10 2 =
c.) 6 ⋅ 10 6 + 4 ⋅ 10 2 + 9 ⋅ 10 1 =
d.) 7 ⋅ 10 4 + 9 =
3.) Wie heißt der Nachfolger der Zahl? Wie heißt der Vorgänger der Zahl?
a.) 589
b.) 90.000
c.) 230 .000
d.) 629 .999
e.) 49.989.999
f .) 4.870 .000
4.) Wandle die Zahlen vom Zweiersystem ins Zehnersystem um:
a.) 101110112
b.) 1100011100 2
c.) 1111111111
5.) Wandle die Zahlen vom Zweiersystem ins Zehnersystem um:
a.) 113
b.) 198
c.) 300
5.) Welche natürlichen Zahlen werden durch die Buchstaben A bis I dargestellt?
0
600
A
B
6.) Welches Zeichen (>
C
D
E
F
G
H
I
; < ; =) gehört in das Kästchen () zwischen die Aufgaben?
a.) 8512 : 14 298 + 307
b.) 1000 28 30
c.) 444 555 61605 4
7.) Bestimme die nächsten 5 Zahlen der folgenden Zahlenfolgen:
a.) 12; 17; 14; 19; 16; 21............
b.) 4; 8; 24; 48; 144..................
c.) 3; 4; 6; 9; 13; 18....................
d.) 3; 9; 27; 81..........................
8.) Runde die Zahl 788.965
a.) auf Zehner
b.) auf Tausender
c.) auf Hunderttausender
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d.) auf Millionen