Bewegungsmenge oder Impuls

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Bewegungsmenge oder Impuls
Der Impuls erzeugt die Bewegung: ruhende Körper enthalten keinen Impuls, vorwärts bewegte Körper besitzen einen positiven Impulsinhalt und rückwärts bewegte weisen einen Impulsmangel auf.
Vorwärts und rückwärts werden mittels eines Koordinatensystems willkürlich festgelegt. Prallen
zwei Fahrzeuge frontal aufeinander, tauschen sie Impuls aus, bis beide gleich schnell sind. Reagiert
die Aufprallzone elastisch, fliesst zusätzlicher Impuls vom anfänglich schnelleren zum vormals
langsameren Fahrzeug. Das Material wird durch die Impulsströme beansprucht und verformt sich.
Impuls als Menge
Der Impulsinhalt eines Körpers ist proportional zu seiner Geschwindigkeit und proportional zu seiner trägen Masse. Die Masse legt das Impulsfassungsvermögen fest und die Geschwindigkeit sagt,
wie stark ein Körper mit Impuls angefüllt ist. Bewegt sich ein Objekt gegen die Bezugsrichtung, ist
seine Geschwindigkeit und damit auch sein Impulsinhalt negativ. Der Impulsinhalt kann jederzeit
über das Kapazitivgesetz gemessen werden (die träge Masse ist eine Impulskapazität)
Impulsinhalt
Impulsinhalt = Masse * Geschwindigkeit
p = m◊v
[ p] =
kg ◊ m
s
Geschwindigkeit
Geschwindigkeit
Die Gesetzmässigkeiten der Translationsmechanik lassen sich zwangslos in eine konkrete Darstellung bringen. Im Flüssigkeitsbild wird jeder Körper zu einem zylinderförmigen Gefäss, das in einem riesigen See steht. Die Flüssigkeit stellt den Impuls dar, der Gefässquerschnitt entspricht der
Masse und der Füllstand zeigt die Geschwindigkeit an. Fährt ein Körper rückwärts, liegt sein Niveau
unterhalb des Seespiegels
Masse
Flüssigkeitsbild
Masse
Impuls
Impuls der Erde
Weil unser Raum dreidimensional ist, existieren drei verschiedene Impulssorten. Jede Impulssorte
ist für eine der drei Bewegungsrichtungen verantwortlich. Bewegt sich ein Körper in z-Richtung,
speicher er z-Impuls. Weist er einen Mangel an y-Impuls auf, muss er sich gegen die y-Achse bewegen. Die Einteilung des Impulses in drei Sorten hängt mit der willkürlichen Wahl des globalen Koordinatensystems zusammen.
Die Impulssorten
Der Impuls ist ein Vektor, d.h. die drei Sorten des Impulses transformieren sich wie die Komponenten eines Vektors. Zur Aufteilung des Impulses in seine drei Komponenten benötigt man folglich ein
rechtwinkliges, erdfestes Koordinatensystem. Der ganze Bewegungsablauf wird bezüglich dieses
Koordinatensystems beschrieben. Mit Hilfe des Kapazitivgesetzes kann der Impulsinhalt eines Körpers über die Geschwindigkeit erfasst werden
Vektoreigenschaft
È px ˘ Èm ◊ v x ˘
˙
Í ˙ Í
Í py ˙ = Ím ◊ v y ˙
Í p ˙ Ím ◊ v ˙
z˚
Î z˚ Î
r
r
p = m◊v
Impuls kann weder erzeugt noch vernichtet werden. Zudem lassen sich die drei Sorten nicht ineinander umwandeln. Prallen zum Beispiel zwei Fahrzeuge frontal aufeinander, füllt der Impulsüberschuss des einen Systems den Impulsmangel des andern auf. Eine Umwandlung von Impuls in
Wärme findet nicht statt. Bewegt sich ein Körper auf einer Kreisbahn in der x-y-Ebene, bleibt sein
Impulsinhalt nicht konstant. Sowohl die x-Sorte als auch die y-Sorte müssen andauernd mit der Erde
oder mit einem zweiten Körper ausgetauscht werden.
Erhaltungsgrössen
Ein Körper kann auch über das Gravitationsfeld mit der Erde Impuls austauschen. Diese Form der
Impulsübertragung setzt keinen direkten Körperkontakt voraus. So tauschen Erde und Mond andauernd Impuls aus, ohne sich je zu berühren.
Gewichtskraft
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Impulsströme
Unter einem Strom versteht man den Transport einer mengenartigen Grösse. Werden Mengen ohne
messbare Bewegung transportiert, nennt man den Transportvorgang leitungsartig. Die Stromstärke
ist das Mass des Stromes. Sie sagt, wieviel Menge pro Zeit durch eine ausgewählte Referenzfläche
transportiert wird. Mit der Orientierung der Referenzfläche weist man der Stromstärke ein Vorzeichen zu. Statt einer orientierten Referenzfläche zeichnet man oft nur einen Bezugspfeil.
Strom und Stromstärke
Ein Wasserstrahl transportiert unter anderem auch Impuls. Trifft der Wasserstahl gegen eine rauhe
Wand, rinnt das Wasser der Wand entlang hinunter. Der Impuls fliesst dagegen durch die Wand an
die Erde weg. Wird der Impuls wie im Wasserstrahl zusammen mit der Materie transportiert, spricht
man von einem konvektiven Impulsstrom. Die Stromstärke eines konvektiven Impulsstromes kann
als Impulsdichte mal Volumenstromstärke geschrieben werden, wobei die Impulsstromdichte gleich
dem Produkt aus Massendichte und Geschwindigkeit ist:
konvektiver Impulsstrom
I p = r p ◊ IV = r ◊ v x ◊ IV = v x ◊ I m
x
x
Die Lokomotive eines anfahrenden Güterzuges pumpt Impuls von der Erde in die angehängten Wagen. Dabei stehen alle Kupplungen unter Zug. Beim Bremsen fliesst der Impuls über die zusammengedrückten Puffer an die Lok und über die Räder an die Erde zurück. Fährt der Zug rückwärts an,
fördert die Lok Impuls aus den Wagen an die Erde weg. Dabei werden die Puffer zusammengedrückt. Beim nachfolgenden Bremsen fliesst der Impuls wieder in die Wagen zurück und die Kupplungen stehen unter Zug. Vergleicht man die Richtung des Impulsstromes mit dem Belastungszustand, erhält man die einfache Regel:
Impulsströme
Vorwärts fliessender Impuls erzeugt eine Druckbelastung, rückwärts fliessender eine Zugbelastung
Impulsströme lassen sich direkt mit Federwaagen oder Kraftdosen messen. Die zugehörige Einheit
heisst Newton (N). Mit dem durch die Bilanz gegebenen Zusammenhang zwischen Stromstärke und
Inhalt gilt: 1 N·s = 1 kg·m/s.
Impulsstromstärke
Ein über eine horizontale Ebene gleitender Klotz gibt seinen Impuls nach unten, also seitwärts zur
Bezugsrichtung ab. Dabei wird das Material an der Unterseite des Klotzes auf Scherung belastet.
Seitwärts fliessender Impuls führt zu einer Scherbelastung. Zusammenfassend kann gesagt werden,
dass vorwärts fliessender Impuls das Material auf Druck belastet, rückwärts fliessender Impuls Zug
erzeugt und seitwärts fliessender Impuls zu einer Scherbelastung führt.
Scherung
Fährt eine Auto gegen einen Baum, wird die Knautschzone zusammengedrückt (Impuls fliesst vorwärts) und der Baum gebogen (Impuls fliesst seitwärts). Die einzelnen Scheiben des Baumstammes
werden gegeneinander geschert. Diese Scherbelastung beschreibt aber das Phänomen der Biegung
noch nicht. Biegung kann auf zwei Ebenen erklärt werden. Die erste Erklärungsebene benötigt den
Begriff der zugeordneten Schubspannung, die zweit geht vom Drehimpuls aus. Die zweite Erklärung
gehört folglich ins Kapitel Rotationsmechanik.
Biegung
Bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems wird der Impuls in drei Sorten zerlegt. Weil jede
Sorte in alle drei Richtungen durch das Material hindurchfliessen kann, benötigt man insgesamt neun
Grössen, um den Impulsstrom an einem bestimmten Ort vollständig zu beschreiben. Diese neun
Grössen fasst man in eine Matrize zusammen. Diese Matrize, welche die Impulsstromdichte (Impulsstromstärke pro Fläche) beschreibt, hat die Einheit Pa (N/m2). Der Negativwert der Impulsstromdichte-Matrize heisst auch Spannungstensor. Die Werte in der Diagonalen sind die Zug- oder
Druckspannungen, die Nichtdiagonalelemente die Schubspannungen.
zugeordnete Schubspannung
Èj
j
Í pxx pxy
j pij = Í j pyx j pyy
Í
Íjp jp
zx
Î zx
Ès x t yx t zx ˘
j pxz ˘
˙
Í
˙
j pyz ˙ = -Ít xy s y t zy ˙
˙
Í
˙
jp ˙
ÍÎt xz t yz s z ˙˚
zz ˚
t yx = t xy ; t zx = t xz ; t zy = t yz ;
Ein grundlegendes Gesetz der Physik velangt nun, dass die Werte beidseits der Diagonalen den gleichen Wert annehmen (Gesetz der zugeordneten Schubspannungen). Dieses Gesetz ist bei der Biegung für die grosse Belastung des Materials verantwortlich
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Impulsbilanz und Kräfte
Bezüglich eines ausgewählten Systems muss die Impulsbilanz dreimal formuliert werden
ÂI
px i
= p˙ x
mit px = m ◊ v x
Impulsbilanzen
analog für y und z
i
Jede „Impulssorte“ wird separat gespeichert und ausgetauscht; eine Umwandlung von einer „Sorte“
in die andere ist nicht möglich. Wird hingegen das Koordinatensystem, auf das sich die Sorteneinteilung bezieht, gedreht, findet eine sogenannte Transformation statt. Bei dieser Operation wandeln
sich die Impulssorten nur aus der Sicht des Beobachters ineinander um. Zudem findet die Umwandlung im ganzen Raum gleichzeitig statt. Weil sich die Geschwindigkeit und damit auch der Impulsinhalt wie eine Strecke transformiert, nennt man den Impuls einen Vektor.
Vektoreigenschaft
Die Impulsstromstärke bezüglich eines Systems heisst Kraft. Gemäss dieser Definition sind Kräfte
keine eigenständige Grössen. Eine Kraft ist bloss ein Bilanzgrösse bezüglich eines Systems. Alle
Aussagen zum Kraftbegriff, die über diese Definition hinausgehen sind unnötig oder gar falsch.
Kraft
Der Impuls überträgt seine Vektoreigenschaft auch auf die Stromstärke. Folglich transformieren sich
Kräfte wie Vektoren. Die Stromstärken der drei „Impulssorten“ heissen Kraftkomponenten. Diese
gewinnt man durch Anwendung der folgenden Regel
Vom Impulsstrom zur
Kraft
Ein Impulszufluss ergibt eine positive Kraftkomponente, ein Abfluss eine negative.
Die Impulsbilanz bezüglich eines Systems kann mit Hilfe des Kraftbegriffes koordinatenunabhängig
formuliert werden. Wird die Änderungsrate des Impulsinhaltes mit Hilfe des Kapazitivgesetzes (p =
m·v) durch die Änderungsrate der Geschwindigkeit (Beschleunigung) ersetzt, erhält man das Grundgesetz der Mechanik
r
r r
r
FRe s =
Fi = p˙ = m ◊ v˙
Grundgesetz der Mechanik
Â
i
Im Kraftbild wird jeder Körper samt seinen Kräften einzeln skizziert. Alle Kräfte, die auf denselben
Körper einwirken, gehören zum gleichen Vektorraum. Nur diese Kräfte dürfen miteinander verrechnet werden. Deshalb sollte man den Körper samt Kräften mit der gleichen Farbe zeichnen. Die Vektorsumme der Kräfte ist dann gleich der Impulsänderungsrate. Arbeitet man mit dem Kraftbild, darf
für jeden Körper ein eigenes Koordinatensystem eingeführt werden.
Kraftbild
Oft werden Kräfte direkt in eine Skizze eingetragen. Bei fahrlässigem Gebrauch kann diese Methode
falsche Resultate liefern. Deshalb wollen wir uns strickte an ein festes Verfahren halten. In einem
ersten Schritt wird ein Körper ausgewählt und mit einer einzigen Farbe separate skizziert. Dann
zeichnet man mit der gleichen Farbe alle bekannten oder vermuteten Kraftpfeile ein.
Kräfte einzeichnen
Im Falle der Gravitationswirkung fliesst der Impuls nicht über die Oberfläche. Er wird vielmehr im
Innern des Körpers volumenmässig mit dem Feld ausgetauscht. Die Austauschrate heisst Gewichtskraft. Die Gewichts- oder Schwerkraft hat zwei Ursachen; sie ist proportional zur Körpereigenschaft
schwere Masse ms und proportional zur Gravitationsfeldstärke g. Den Proportionalitätsfaktor setzt
man gleich eins
r
r
r
FG = ms ◊ g
ms : schwere Masse
g : Gravitationsfeldstärke
Gewichtskraft
Das Impulsfassungsvermögen, die Trägheit oder eben die träge Masse hängt direkt mit der Ursache
der Gravitation, der schweren Masse, zusammen. Dies folgt aus dem Bewegungsverhalten im Vakuum. Solange nur die Gewichtskraft auf den Körper einwirkt gilt
Schwere und Trägheit
r
r
FG = p˙
r
r
r
r
r m r
aus FG = ms ◊ g und p = mt ◊ v folgt v˙ = s g
mt
Nun kann man beobachten, dass im Vakuum alle Körper unabhängig vom Material die gleiche Beschleunigung erfahren. Folglich darf das Verhältnis von schwerer zu trägen Masse gleich eins gesetzt werden. Damit wird die statisch nachweisbare Gravitationsfeldstärke mit der gleichen Einheit
wie die Beschleunigung gemessen. Trotzdem sollte die irreführende Bezeichnung Erdbeschleunigung für Gravitationsfeldstärke vermieden werden.
Gravitationsfeldstärke als „Beschleunigung“
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Impulsströme in statischen Anordnungen
Aus dem Kraftbild leitet man die Bewegungsgleichung einzelner Körper ab. Bewegen sich alle Körper längs einer Geraden (Eisenbahnwagen, Federketten, Förderbänder), erklärt das Flüssigkeitsbild
die dynamischen Zusammenhänge. Aus dem Impulsstrombild entnimmt man den Transportweg und
indirekt die Belastung des Materials. Bei statisch belasteten Strukturen enthält das Impulsstrombild
alle relevanten Informationen.
Kraftbild, Flüssigkeitsbild und Impulsstrombild
Primäre Ursache aller Impulsströme in ruhenden Gebilden ist die Gravitation. Zeigt die z-Komponente des Koordinatensystems lotrecht nach unten, sorgt das Gravitationsfeld für eine konstante Zufuhrrate von z-Impuls. Die Impulszufuhr kann lokalisiert und als Quellendichte geschrieben werden
Impulsquellen
s pz = r ◊ gz
s steht für source (Quelle). spz heisst oft spezifisches Gewicht und wird in N/m3 gemessen.
Jedes Bauwerk muss den gravitativ zufliessenden Impuls an die Erde zurückführten. Die dadurch
hervorgerufenen Impulsströme sind eigentlich recht harmlos. Sie induzieren aber weitere Ströme,
die den primären Transport um das Mehrfache übertreffen. In diesem Abschnitt beschränken wir uns
auf Gebilde, die nur aus Seilen und Pendelstützen bestehen. Das ideale Seil verfügt über keine Biegesteifigkeit. Zudem kann es nur Zugbelastung aufnehmen. Einen beidseits drehbar gelagert Stab
nennt man Pendelstütze. Die Pendelstütze nimmt nur Zug- oder Druckbelastung auf und überträgt
damitauch keinen Drehimpuls.
Seile und Pendelstützen
Sind die Kräfte auf einen Körper gegeben, lassen sich die zugehörigen Impulsstromstärken in Umkehrung der weiter oben eingeführten Regel sofort angeben: positive gerichtete Kraftkomponenten
weisen auf einen zufliessenden Impulsstrom hin, negativ gerichtete auf einen abfliessenden
Kräfte und Impulsströme
y
-F
Ipx
F
F
Fy
30˚
Fx
Ipy
x
Nun suchen wir ein Verfahren, das bei bekannter Druck- oder Zugbelastung die zugehörigen Impulsströme direkt, also ohne Umweg über die Kraftdarstellung, angibt:
Zuerst zeichnet man parallel zum Seil oder parallel zur Pendelstütze einen Bezugspfeil. Dem Pfeil
ordnet man dann eine Impulsstromstärke Ip zu. Diese skalare Impulsstromstärke heisst oft „Seil-“
oder „Stabkraft“. Sie entspricht der x-Impulsstromstärke, falls das Seil oder die Pendelstütze bei
gleicher Belastung parallel zur x-Achse ausgerichtet wird. Nun misst man die Winkel zwischen Bezugspfeil und Koordinatenachsen. Die skalare Impulsstromstärke Ip multipliziert mit dem Cosinus
dieser Winkel ergibt die wahren Impulsstromstärken.
Von der Seil- oder
Stabkraft zu den Impulsströmen
y
Ip
y
Be
zug
spf
eil
j
I p > 0 : Druckbelastung
I px = I p cos( j)
I p < 0 : Zugbelastung
I py = I p cos(y )
x
Das Verfahren funktioniert auch im Raum, also mit drei Koordinaten und drei Impulsstromsorten.
Brücken oder Kranausleger haben die Aufgabe, den gravitativ zufliessenden z-Impuls abzuleiten.
Nun kann ein Seil oder eine Pendelstütze den z-Impuls nicht direkt horizontal wegführen. Deshalb
verlaufen die Seile immer schief nach oben. Die Pendelstützen führen den Vertikalimpuls in der Regel auf einem zick-zack-Kurs horizontal weg. In jedem Fall induziert der schief fliessende z-Impulsstrom einen x- oder einen y-Impulsstrom. Bei weit ausladenden Bauteilen können die induzierten
oder sekundären Impulsströme den primären z-Impulsstrom um das Vielfache übertreffen.
Primäre und sekundäre Impulsströme
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Das Schnittprinzip
Die Impulsaustauschraten eines Körpers (Impulsströme über die Oberfläche oder die gravitative
Quellenstärke im ganzen Volumen) heissen Kräfte. Kräfte entstehen also erst, wenn man ein spezielles System auszeichnet. Unter einem System versteht man nicht unbedingt ein natürlich abgegrenztes Gebilde. Oft legt man quer durch einen Körper hindurch einen Schnitt, um eine spezielle
Aussage zu gewinnen. Mit dem Schnitt entstehen zwei Körper, die je mit eigenen Kraftpfeilen versehen getrennt zu skizzieren sind.
Systemgrenze
Tauschen zwei Körper Impuls aus, markiert man die Impulsaustauschrate mit zwei Kraftpfeilen. Die
beiden Pfeile heissen Aktions- und Reaktionskraft. Die Bezeichnung hat sich eingebürgert, obwohl
die Aktionskraft nicht Ursache der Reaktionskraft ist. Entsprechend vielfälltig ist denn auch das Angebot an falschen und unsinnigen Interpretationen.
Actio entgegengesetzt Reactio
Newton hat das Wechselwirkungsprinzip, das die Gleichheit von Aktions- und Reaktionskraft postuliert, aufgestellt, um die Impulserhaltung bei der Gravitation zu gewährleisten. Das Gravitationsfeld
der Erde führt jedem Körper mit der konstanten Rate m·g Impuls zu. Diese Impulszufuhr wird als
Gewichtskraft bezeichnet. Weil das Gravtitationsfeld selber keinen Impuls speichert, muss die Erde
als Ganzes entgegengesetzt gleich viel Impuls mit dem Gravitationsfeld austauschen wie der Körper.
Diese Austauschrate zwischen Erde und Gravitationsfeld heisst Reaktionskraft zur Gewichtskraft.
Gravitation als
Wechselwirkung
Greift ein Seil an einem Körper an, wirkt die zugehörige Kraft immer in Seilrichtung vom Körper
weg. Dank dieser Eigenschaft eignen sich Seile zur Analyse von Wechselwirkungen. Soll z.B. die
Richtung einer vorerst unbekannte Einwirkung bestimmt werden, kann das System aus der Umgebung herausgelöst werden. Dann ersetzt man die unbekannten Einwirkung durch ein Seil. Dieses
Seil muss nun so eingestellt werden, dass der Körper gleich reagiert wie vorher.
Seilkraft
Denkt man sich einen geraden Schnitt durch ein mechanisch belastetes System, kann die Einwirkung
auf den einen Teilkörper in zwei Kraftpfeile aufgeteilt werden. Ein Pfeil steht normal zur Schnittfläche und heisst Normalkraft. Den zweite Pfeil, der in der Schnittebene drin liegt, nennt man Querkraft. Nimmt man den Teilkörper auf der andern Seite des Schnittes, zeigen die Kraftpfeile infolge
des Wechselwirkungsprinzipes in die entgegengesetzten Richtungen.
Normal- und Querkraft
Liegt die Schnittebene zwischen den sich berührenden Oberflächen zweier ruhender Körpers, heisst
die Querkraft Haftreibungskraft. Die Haftreibungskraft kann nicht beliebig gross werden. Ihr Wert
ist durch die Normalkraft limitiert. Das Verhältnis von maximal möglicher Haftreibungskraft zu
Normalkraft heisst Haftreibungszahl µH. Diese Zahl hängt vom Material und der Beschaffenheit der
sich berührenden Flächen ab.
Haftreibungskraft
Soll eine Aufgabenstellung zur Statik gelöst werden, geht man nach einem speziellen Schema vor.
Zuerst werden die Teilsysteme freigeschnitten. Dazu zeichnet man die Körper einzeln auf und versieht sie an den belasteten Stellen mit Kraftpfeilen. Die Gewichtskraft ist zusätzlich einzuzeichnen.
Dann führt man ein geeignet gewähltes Koordinatensystem ein, zerlegt die Kräfte bezüglich dieses
Systems in Komponenten und formuliert die Gleichgewichtsbedingungen. Oft sind noch irgendwelche weitere Beziehungen wie die maximal mögliche Haftreibung zu berücksichtigen. In der untenstehenden Skizze wird das Verfahren am Beispiel eines auf der schiefen Ebene ruhenden Klotzes
erläutert. Die Seilkraft F ist gegeben. Normal- und Haftreibungskraft sind gesucht.
Zur Lösung einfacher Statikaufgaben
b
m
F
FN
F
FR
y
a
FR
FG
x : Fcos( b ) + FR - FG sin(a ) = 0
y : F sin(b ) + FN - FG cos(a ) = 0
auflösen nach FN und FR
x
FN
falls FR < 0 ist,
zeigt FR auf die andere Seite
Die Pfeile, die unbekannte Kräfte markieren, sind wie Bezugspfeile zu behandeln. Ergibt die Lösung
des Gleichungssystems einen negativen Wert, zeigt die effektive Kraft in die andere Richtung.
Kraftpfeil und Vorzeichen
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Das Grundgesetz der Mechanik
Die Impulsbilanz bezüglich eines festen Körpers, das Grundgesetz der Mechanik, verknüpft die Impulsstromstärken mit der Änderungsrate der Geschwindigkeit, der sogenannten Beschleunigung
r
r
r
Fi = m ◊ v˙ = m ◊ a
physikalische Gehalt
des Grundgesetzes
Â
i
Die Aufgabe besteht nun meistens darin, bei bekannten Kräften den weiteren Verlauf der Bewegung
zu berechnen. Prinzipiell ist dies immer möglich. Nur müssen das Kraftgesetz sowie Anfangsort und
Anfangsgeschwindigkeit bekannt sein.
Die feldinduzierten Kraftgesetze sind bereits bekannt. Nimmt man die Federgesetze sowie die unterschiedlichen Reibungsgesetze dazu, kann man schon eine beachtliche Zahl von Bewegungsabläufen berechnen.
Kraftgesetz
Beschreibung
Kommentar
Gravitationskraft
FG = m·g
g:Gravitationsfeldstärke, [g] = N/kg
Lorentzkraft
FL = Q(E + v x B)
E: elektrische Feldstärke, [E] = N/C
B: magnetische Feldstärke, [B] = Tesla (T)
lineares Federgesetz
FF = D·x
D: Richtgrösse, Federkonstante, [D] = N/m
nichtlin. Federgesetz
FF = F0 + a·x + b·x3 +
auch durch Kennlinie darstellbar
Gleitreibungsgesetz
FR = -µ·FN·sgn(v)
sgn(v): Vorzeichenfunktion
Ölreibung
FR = -k·v
Kugel: k = 6p·h·r
Luftwiderstand
FW = Aeff··0.5·r·v2
Aeff·=cW·A, cW:Widerstandsbeiwert
Wie die Kraftgesetze zeigen, werden die Kräfte auf einen Körper durch dessen Geschwindigkeit,
dessen Ort oder durch das Verhalten anderer Objekte bestimmt. Klammert man die andern Körper
aus, hängen die Kräfte vom Ort, von der Geschwindigkeit und von der Zeit ab. Damit reduziert sich
Lösung eindimensionaler Bewegungsaufgaben auf das folgende Schema
 F (x, v , t) = m ◊ a (t)
xi
x
x
Kraftgesetze
v x (t + Dt ) = v x (t ) + ax (t) ◊ Dt
Allgemeines Berechnungsschema
x(t + Dt ) = x(t ) + v x (t )◊ Dt
i
Das allgemeine Schema kann auf drei Dimensionen erweitert werden. Wie in der Statik ist auch hier
die exakte Formulierung des Grundgesetzes von zentraler Bedeutung. Dazu ein Beispiel
y
FN1
FR1
m1
x
m2
FN1
FR2
x1 : FG1 sin(a ) - FR1 = m1 ◊ a1
y1 : FN1 - FG1 cos(a ) = 0
x 2 : FG2 sin(a ) + FR1 - FR2 = m2 ◊ a2
FG1
FR1
FN2
y2 : FN2 - FN1 - FG 2 cos(a ) = 0
FR1 = m1 ◊ FN1 und FR 2 = m 2 ◊ FN 2
es muss gelten : m1 < m2
a
FG2
Aufstellen des
Grundgesetzes
Theorie
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Seite 7
Zugeordneter Energiestrom und Prozessleistung
Wird eine Anordnung aus Gleitern, die über Federsysteme miteinander verbunden sind, an einem
Ende durch Schütteln angeregt, setzt in der ganzen Federkette ein chaotisches Hin und Her ein. Dabei tauschen die Gleiter fortlaufend Impuls und Energie aus. Als Beispiel nehmen wir eine Kette aus
vier Gleitern und drei Federn. Im Moment ruhen die beiden äusseren Körper und die beiden inneren
gleiten aufeinander zu. Gleichzeitig sind zwei Federn auf Zug (Impuls fliesst rückwärts) und eine
auf Druck (Impuls fliesst vorwärts) belastet. Im Flüssigkeitsbild darf jede Feder als U-förmiges Verbindungsrohr dargestellt werden. Die Flüssigkeit ist nahezu suprafluid
v>0
Energietransport
längs einer Geraden
v<0
x
Aus dem Flüssigkeitsbild ist zu entnehmen, dass der Volumenstrom im linken Rohr grösser und in
den andern beiden kleiner wird. Die Flüssigkeit im linken Rohr nimmt also Energie auf und die Flüssigkeit in den beiden andern geben Energie ab. Diese Aussagen dürfen zurückübersetzt werden. Die
linke Feder nimmt Energie auf, die beiden andern geben im Moment Energie ab. Allgemein gilt: ein
Impulsstrom setzt eine Prozessleistung um, sobald er ein Geschwindigkeitsgefälle durchfliesst
P = (v x1 - v x 2 ) I px
P > 0 : Energie wird freigesetzt
Aus dem Flüssigkeitsbild ist weiter zu entnehmen, dass der Energieinhalt der Gefässe ändert. Was
im Flüssigkeitsbild als potentielle Energie in Erscheinung tritt, ist in Wirklichkeit kinetische Energie. Die Gleiter ändern ihre Energie, weil diese zusammen mit dem Impuls ausgetauscht wird. Die
vom Impuls transportierte Energie berechnet sich wieder nach der allgemeinen Formel
IW = v x ◊ I px
Ip
v<0
Impulsstrombild
zugeordnete Energiestrom
v x < 0 : die Energie fliesst gegen den Impuls
Die Stärke eines Impulsstroms heisst Kraft, sobald ein einzelner Körper ausgewählt wird. Den zugeordneten Energiestrom nennt man dann Leistung einer Kraft. Prozessleistung, zugeordneter Energiestrom und Leistung einer Kraft gilt es auseinander zu halten. Die zwei ersten Begriffe gehören
zum Repertoir des Systemdynamikers, der letzte entstammt der klassischen Mechanik. Dazu nochmals die mittlere Feder aus der oben erwähnten Kette
v>0
Prozessleistung
F2
P
IW2
Ip
IW1
Leistung einer Kraft
F1
v>0
v<0
Schnittbild
v2>0
v1<0
P(F2)<0
P(F1)<0
Jedem der drei Impulsströme wird über die zugehörige Geschwindigkeitskomponente ein Energiestrom zugeordnet. Bezieht man den Impulsstrom auf einen Körper, verwandelt sich die drei Impulsströme zu Kraftkomponenten und aus dem zugeordneten Energiestrom wird die Leistung der Kraft
r
IW = v x ◊ I px + v y ◊ I py + vz ◊ I pz
P( F ) = v x ◊ Fx + v y ◊ Fy + vz ◊ Fz
Energiebetrachtung
in drei Dimensionen
Dreht man das Koordinatensystem, verändern sich sowohl die Impulsströme als auch die Geschwindigkeitskomponenten. Der zugeordnete Energiestrom oder die Leistung der Kraft bleibt dagegen
konstant. Dies folgt aus der geometrischen Eigenschaft der Berechnungsformel. Diese bildet nämlich ein Skalarprodukt
r
r
r r
IW = v ∑ I pr
P( F ) = v ∑ F = v ◊ F ◊ cos(–)
Drehung des Koordinatensystems
Der Beobachter kann nicht nur das Koordinatensystem drehen. Er kann sich auch bewegen. Damit
verändert er die zugeordneten Energieströme, nicht aber die Prozessleistung.
Änderung des Bezugssystems
Theorie
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Seite 8
Kinetische Energie
Unter der kinetischen Energie versteht man die von einem Körper zusammen mit dem Impuls gespeicherte Energie. Die kinetische Energie ist also eine Art zugeordnete Energie; ihr Wert hängt vom
Bewegungszustand des Beobachters ab. Die kinetische Energie eines Körpers ist die Energie, die
man dem Impuls zuführen muss, damit er entweder in den Körper hinein befördert oder aus ihm heraus gepumpt werden kann.
kinetische Energie
einers Körpers
Ein Körper verhält sich gegenüber dem Impuls kapazitiv, wobei die träge Masse als Kapazität wirkt.
Nun ist - gemäss den allgemeinen Überlegungen zur kapazitiv gespeicherten Energie (Hydraulik,
Elektrizität) - der Energieinhalt gleich der gespeicherten Menge mal das halbe Endpotential. Diese
Beziehung gilt unabhängig davon, ob der Speicher einen Überschuss oder einen Mangel aufweist.
Zudem muss sie auf alle drei Impulskomponenten getrennt angewendet werden. Damit erhält man
für die kinetische Energie die bekannte Formel
kinetische Energie
bei konstanter Masse
Wkin =
1
1
1
1
p x ◊ v x + p y ◊ v y + pz ◊ v z = m ◊ v 2
2
2
2
2
Heute weiss jedes Kind, dass ein realer Körper die Lichtgeschwindigkeit c nicht zu überschreiten
vermag. Wieso das so ist, soll im folgenden untersucht werden. Als Zusatzinformation benötigen wir
eine wichtige Eigenschaft der Energie, auf die Einstein bei der Formulierung der Relativitätstheorie
gestossen ist. Einstein hat herausgefunden, dass die Energie eines Körpers gleichzeitig seine Masse
darstellt; die gespeicherte Energie macht das System schwer und träge. Demnach ist die berühmte
Formel von Einstein (E = m·c2) keine Gleichung, welche die Umwandlung von Masse in Energie beschreibt, sondern eine einfache Umrechnungsformel zwischen zwei Einheiten der gleichen Grösse.
Masse und Energie
Tauscht ein System Impuls mit der Umgebung aus, ändert sich in der Regel auch sein Energieinhalt.
Nur wenn die Kraft senkrecht zur zugehörigen Geschwindigkeit steht, wird keine Energie zu- oder
abgeführt. Nun betrachten wir einen Körper, der sich sehr schnell bewegt. Führt man ihm weiter Impuls in kleinen Mengen (dp) zu, vergrössert sich infolge der Impulspumparbeit (dW) auch seine Masse um dm. Folglich wird ein Teil des zugeführten Impulses (dpl) gebraucht, um diese Zusatzmasse
auf die momentane Geschwindigkeit des Körpers zu bringen. Nur der übriggebliebene Rest (dpa)
dient noch der Beschleunigung. Hat der Körper fast Lichtgeschwindigkeit erreicht, übertrifft der latente Impulszuwachs (dpl) den aktuellen (dpa) um das Vielfache.
kinetische Energie
bei sehr hoher Geschwindigkeit
Wieder hilft uns das Flüssigkeitsbild, den Sachverhalt quantitativ zu beschreiben
Flüssigkeitsbild und
Relativität
dv
v
dW
v
= 2 dp
c2
c
v2
dpl = v ◊ dm = 2 dp
c
dm =
dp
dv =
m
dpa 1
1
v2
= (dp - dpl ) = (1 - 2 )dp
m
m
m
c
dm
Je schneller sich ein Körper bewegt, desto schlechter lässt er sich weiter beschleunigen. Der zugeführte Impuls wird zum „Auffüllen“ der neu gebildeten Masse verwendet, denn mit dem Impuls vergrössert der Körper auch seine Trägheit. Nun wollen wir noch den Zusammenhang zwischen
aktueller Masse und Impulsinhalt herleiten
dm =
v
p
dp = 2
dp oder c 2 ◊ m ◊ dm = p ◊ dp
c2
c ◊m
Durch Summation (Integration) dieser Gleichung von der Ruhe (Ruhemasse m0) bis zum aktuellen
Bewegungszustand erhält man
c 2 ( m 2 - m02 ) = p 2
Die Masse-ImpulsBeziehung
Theorie
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Seite 9
Die Arbeit einer Kraft
Der zugeordnete Energiestrom verwandelt sich in die Leistung einer Kraft, sobald ein einzelner Körper ausgezeichnet wird; die Leistung einer Kraft ist der mechanisch zugeordnete Energiestrom bezogen auf ein ausgewähltes System. Multipliziert man diese Leistung mit dem beliebig kleinen
Zeitschritt dt, erhält man die differenzielle Form der Arbeit einer Kraft
r
r
r r
r r
r r
dW ( F ) = F ∑ v ◊ dt = F ∑ ds
P( F ) = v ∑ F | ◊dt
fi
Definition
Vom Schnittbild eines Körpers zur Arbeit der Kräfte gelangt man durch die folgende Operation. Zuerst wird der ganze Verschiebungsweg in kleine Abschnitte zerlegt. Dann multipliziert man die Verschiebungsstrecke skalar mit den einzelnen Kräften. Zum Schluss müssen die Teilbeiträge zum
Gesamtwert aufsummiert werden. Das folgende Beispiel zeigt, wie die Beiträge bei der kleinen Verschiebung eines Schlittens zu berechnen sind
Kräfte und ihre Arbeit
FS
45˚
FN
ds
15˚
FR
W(FS )
FS ds cos(45˚)
W(FG )
FG ds cos(105˚)
W(FN )
0
W(FR )
FR ds
FG
Die Kraft, mit welcher die Unterlage auf einen Körper einwirkt, kann als Unterlagskraft bezeichnet
werden. Üblicherweise zerlegt man die Unterlagskraft in den Normalanteil, Normalkraft genannt,
und in den Tangentialanteil, den man mit Haft- oder Gleitreibung bezeichnet. Von der Energiebilanz
her gesehen erscheint diese Einteilung recht vernünftig: der Normalkraft kann nie eine Arbeit zugewiesen werden, nur die Reibungskraft ist für den Energieverlust zuständig.
Unterlagskraft
Viele Kräfte sind zeit- und nicht ortsabhängig. Damit entziehen sie sich der quasistatischen Analyse.
Es mach denn auch wenig Sinn, den Energieaustausch bei zeitabhängigen Kräften über die Arbeit
zu bestimmen. Betrachten wir dazu die Seilkraft beim oben skizzierten Schlitten. Falls der Schlitten
von einem Kind den Hang hinaufgezogen wird, ändert sich sowohl die Richtung der Schnur als auch
die Zugspannung des Seils fortwährend. Soll nun der Energieaustausch zwischen Kind und Schlitten
ermittelt werden, bestimmt man andauernd die Leistung der Seilkraft und summiert diese fortlaufend
über die Zeit.
zeitabhängige Kräfte
Die Gewichtskraft hängt nur von der Körpereigenschaft Masse und der Raumeigenschaft Gravitationsfeldstärke ab. Wird nun ein beliebiger Körper im Gravitationsfeld der Erde von einem Punkt zu
einem zweiten bewegt, liefert nur die Verschiebung parallel zur Feldstärke einen Beitrag zur Arbeit.
Im homogenen Gravitationsfeld ist deshalb die Arbeit der Gewichtskraft gleich dem Produkt aus
Masse, Gravitationsfeldstärke und Höhenunterschied.
Arbeit der Gewichtskraft
Bei technischen Geräten sind Kraft und Verschiebestrecke oft gleich gerichtet. Damit nimmt der Cosinus des Zwischenwinkels entweder den Wert +1 oder -1 an. Lässt sich die einwirkende Kraft als
Funktion der Verschiebung darstellen, kann die übertragene Energie direkt aus dem F-s- oder Arbeitsdiagramm entnommen werden. Die untenstehenden Abbildungen zeigen die Arbeitsdiagramme
für eine lineare Feder, eine Reibfeder und eine Tellerfeder
Arbeitsdiagramm
F = D·s
W = 0.5·D·s2
F
F
Reibst
verlu
s
s
s
Theorie
Translation
Seite 10
Analyse einer geradlinigen Bewegung
Eine Videokamera zeichnet eine Folge von Bildern auf. Bewegt sich ein ausgewähltes Objekt geradlinig fort und ist längs der Bahn ein Massstab angebracht, kann aus der Bildfolge die Beschleunigung
und bei bekannter Masse die resultierende Kraft bestimmt werden. Dieses Verfahren soll nun studiert werden. Die mittelere Geschwindigkeit und die mittlere Beschleunigung auf einem Intervall
sind wie folgt definiert
vDt =
s(t + Dt ) - s(t )
Dt
aDt =
v(t + Dt ) - v(t )
Dt
Zuerst überträgt man die Messpunkte der Videoanalyse in ein Orts-Zeit-Diagramm. Dann bildet man
gemäss Definition die mittlere Geschwindigkeit für jedes einzelne Intervall. Weil der Geschwindigkeitswert über eine ganze Zeitspanne ermittelt worden ist, trägt man sie als horizontale Linie ins Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm ein. Damit ensteht im v-t-Diagramm eine treppenartige Struktur, die
aus konstanten Werten und Sprungstellen besteht. Die zugehörige Beschleunigung ist bis auf die
Sprungstellen gleich Null. Bei den Sprungstellen wird der Betrag der Beschleunigung beliebig gross.
Nimmt man die Geschwindigkeit in der Mitte eines Zeitintervalles als Momentanwert, kann die Beschleunigung nach dem gewohnten Verfahren bestimmt und ins a-t-Diagramm eingetragen werden
v
s
mittlere Geschwindigkeit und Beschleunigung
Diagramm-Darstellung
a
+ + + + +
t
+
t
t
Das Zeitverhalten der resultierenden Kraft erhält man aus dem Beschleunigungs-Zeit-Diagramm
durch Multiplikation mit der Masse . Setzt sich die resultierende Kraft aus mehreren Einflussgrössen
zusammen, ist ein Rückschluss auf die Einzelkräfte nur in seltenen Fällen wie etwa bei der Wurfbewegung möglich. Dort wirken nur der Luftwiderstand und die Gewichtskraft auf den Körper ein.
Weil die Gewichtskraft einfach zu berechnen ist, kann aus dem Bewegungsverhalten auf den Luftwiderstand geschlossen werden.
resultierende Kraft
Ein Fussball (Masse 400 g, Durchmesser 22 cm) wird mit 20 m/s vertikal nach oben fortgeworfen.
Die untenstehenden Diagramme entstammen einem Rechenmodell. Versuchen Sie aus dem h-t-Diagramm oder dem F-t-Diagramm das v-t-Diagramm zu bestimmen!
Wurf nach oben
Höhe in Meter
15.00
7.50
Luftwiderstand in Newton
0.00
0.00
0.75
1.50
2.25
3.00
Zeit in Sekunden
0.75
1.50
2.25
3.00
Zeit in Sekunden
4.50
1.50
-1.50
0.00
Theorie
Translation
Seite 11
Analyse einer krummlinigen Bewegung
Die Bewegung eines Körpers auf einer ebenen Fläche kann ebenfalls mit einer Videokamera analysiert werden. Die mittlere Geschwindigkeit und die mittlere Beschleunigung werden analog zum eindimensionalen Fall definiert, nur sind Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung vektorwertige
Grössen
r
r
r
v
r
r
s (t + Dt ) - s (t )
v (t + Dt ) - v (t )
vDt =
aDt =
Dt
Dt
Bewegung in der
Ebene
Zur Bearbeitung der Messdaten stehen zwei Wege offen. Entweder führt man ein rechtwinkliges Koordinatensystem ein und behandelt die zwei Komponenten getrennt, oder man löst das Problem auf
einem Blatt Papier, indem man mit Vektoren arbeitet. Die erste Methode liefert zwei eindimensionale Bewegungsprobleme. Das zugehörige Lösungsverfahren ist im letzten Abschnitt ausführlich
diskutiert worden. Die zweite Methode ist weniger mathematisch, dafür erklärt sie den Beschleunigungsbegriff besser. Diesem Verfahren wollen wir uns nun zuwenden.
Zwei Berechnungsmethoden
Die Bewegung eines Körpers wird mit Hilfe des Ortsvektors beschrieben. Der Ortsvektor zeigt von
einem ausgewählten Punkt in die Richtung des zu beschreibenden Objekts. Seine Spitze markiert
den momentanen Aufenthaltsort des Körpers. Nun bildet man die Differenzenvektoren von je zwei
nachfolgenden Ortsvektoren. Diese Strecken werden dann durch das dazwischenliegende Zeitintervall dividiert und als Vektorpfeile ins Geschwindigkeitsdiagramm eingetragen. Verfährt man mit
den Geschwindigkeiten wie vorher mit den Ortsvektoren, erhält man die Beschleunigung
Geschwindigkeitsund Beschleunigunszeiger
y
vy
s4
s3
v23
s2
v12
v34
s1
ay
ax
a13
a24
x
vx
Um einen einzigen Beschleunigungswert zu berechnen, braucht man drei nachfolgende Aufenthaltsorte sowie die zugerhörige Zeitangabe. Diese Bedingung gilt für geradlinige, ebene oder räumliche
Bewegungen. Nun spannen drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen immer eine Ebene auf.
Folglich können bei einer räumlich gekrümmten Bahn immer drei nahe beieinanderliegende Punkte
ausgewählt werden. Der zugehörige Bahnabschnitt liegt dann praktisch in der durch die drei Punkte
aufgespannten Ebene. Mit diesem Verfahren kann eine räumliche Bewegung abschnittweise in ein
ebenes Problem überführt werden.
Bewegungsanalyse
im Raum
Die mittlere Geschwindigkeit zeigt immer in Richtung des zugehörigen Streckenabschnittes. Wählt
man die zwei Bezugspunkte beliebig nahe beieinander, erhält man den Momentanwert der Geschwindigkeit. Der zugehörige Vektor verläuft dann tangential zur Bahn. Der Beschleunigungsvektor kann dagegen in eine beliebige Richtung zeigen. Er liegt aber immer in der oben erwähnten
Ebene drin. Den Momentanwert der Beschleunigung gewinnt man durch sukzessive Annäherung der
drei Bahnpunkte. Nun kann der Beschleunigungsvektor in seiner Bezugsebene drin in eine Komponente normal zur Bahn und in eine tangential zur Bahn zerlegt werden. Diese Zerlegung heisst natürlich, weil die Tangentialkomponente für die Änderung des Geschwindigkeitsbetrages und die
Normalkomponente für Änderung der Richtung verantwortlich ist. Umgangssprachlich heisst nur die
Tangentialkomponente Beschleunigung. Nur diese gibt zu einer Änderung der kinetischen Energie
Anlass.
natürliche Komponenten einer Bewegung
v
r
FRe s = m ◊ a
r
r
v
r v
P( FRe s ) = FRe s ∑ v = m ◊ a ∑ v = m ◊ at ◊ v
r
P( FRe s ) = Ẇkin
at
a
an
Ẇkin = m ◊ at ◊ v
Theorie
Translation
Seite 12
Kreisbewegung
Die Position eines Körpers auf einer Kreisbahn lässt sich mit Hilfe eines einzigen Winkels vollständig beschreiben. Die Winkel-Zeit-Funktion enthält dann die Information über die Bewegung des
kreisenden Körpers. Misst man den Winkel in Radianten, ist der zugehörige Bogen gleich Winkel
mal Radius. Wird die Winkelgeschwindigkeit, die Änderungsrate des Winkels, mit dem Radius multipliziert, erhält man die Schnelligkeit, also den Betrag der Geschwindigkeit. Bildet man die Winkelbeschleunigung, die Änderungsrate der Winkelgeschwindigkeit, und multipliziert diese mit dem
Radius, hat man den Tangentialanteil der Beschleunigung berechnet. Der Normalanteil geht mit diesem Verfahren verloren. Weil der Laie nur den Tangetialteil als Beschleunigung akzeptiert, bildet
sich beim Lernenden oft ein falscher Beschleunigungsbegriff heraus.
Beschreibung der
Kreisbewegung
Bei der gleichmässigen Kreisbewegung wächst der Winkel linear mit der Zeit. Die zugehörige Änderungsrate, die Winkelgeschwindigkeit, berechnet sich in diesem Fall als Quotient von Vollwinkel
(2p) und Umlaufzeit (T) oder als Produkt aus Vollwinkel und Frequenz (f). Es gelten somit die folgenden Beziehungen
gleichmässige Kreisbewegung
w=
2p
= 2p ◊ f
T
v = w ◊r
Zentralbeschleunigung
Die Grösse der Zentralbeschleunigung lässt sich nun aus geometrischen Überlegungen gewinnen
Betrag der Zentralbeschleunigung
v(t
2)
Ein Körper, der mit konstanter Schnelligkeit auf einer Kreisbahn herumläuft, gilt als unbeschleunigt.
Dieser mangelhafte Beschleunigungsbegriff fusst auf der Energiebetrachtung und lässt den Impuls
ausser Acht. Um die Beschleunigung korrekt herzuleiten, muss die Vektoreigenschaft der Geschwindigkeit berücksichtigt werden. Weil sich der Betrag der Geschwindigkeit bei der gleichmässigen Kreisbewegung nicht ändert, steht die Beschleunigung normal zur Geschwindigkeit. Folglich
zeigt der Beschleunigungsvektor gegen die Kreismitte und heisst Zentralbeschleunigung.
amittel =
D
v(t
2)
j
)
r(t 1
Dv ª j ◊ v
Dt =
v
r(t
2)
)
v(t 1
Dv
Dt
j
)
v(t 1
amittel ª
a=
v2
r
b j ◊r
=
v
v
j ◊v
j ◊r
v
falls Dt beliebig klein ist
Ändert der Körpers seine Schnelligkeit längs der Kreisbahn, kann die Beschleunigung in einen Tangential- und einem Normalanteil zerlegt werden. Der Normalanteil berechnet sich gemäss der Zentralbeschleunigungsformel und die Tangentialbeschleunigung ist gleich Winkelbeschleunigung mal
Kreisradius. Bei einer Bewegung längs einer beliebigen Bahn kann für jeden einzelnen Bahnpunkt
ein sogenannter Berührkreis konstruiert werden. Für die Normalbeschleunigung gilt dann wieder die
oben abgeleiteten Formel. So gesehen ist die Zentralbeschleunigung ein Spezialfall der Normalbeschleunigung.
Normalbeschleunigung
Sitzt man in einem Kasten, der relativ zur Erde beschleunigt wird, macht sich die Beschleunigung
des Kastens als zusätzliche Gravitationsfeldstärke bemerkbar. So spürt man im Auto drin ein nach
aussen gerichtetes Gravtiationsfeld, sobald das Fahrzeug in eine Kurve gezwungen wird. Die zugehörige Gravitationskraft heisst Zentrifugalkraft. Die Zentrifugalkraft ist also eine zusätzliche Gewichtskraft, welche nur ein auf einem Karussell sitzender Beobachter einführen darf. Die Kraft, die
einen Körper auf eine Kreisbahn zwingt, nennt man oft Zentripetalkraft. Auf den Begriff Zentripetalkraft kann verzichtet werden. Man benenne stattdessen Kräfte nach der Art der Impulsübertragung. Wird ein Körper durch eine Schnur in eine Kreisbahn gezwungen, nennt man die Kraft einfach
nur Schnurkraft. Im Falle des Autos bilden Haftreibungs- und Luftwiderstandskraft eine resultierende, die für die Beschleunigung verantwortlich ist. Planeten und Kometen werden durch die Gravitatationskraft der Sonne in ihre Bahn gezwungen.
Zentripetal- und Zentrifugalkraft
Theorie
Translation
Seite 13
Impuls und Kreisbewegung
Zur weiteren Analyse der Kreisbewegung führen wir zwei Einheitsvektoren ein, die vom Körper
mitgeführt werden. Der eine Vektor zeigt radial nach aussen, der andere tangential zur Bahn, also in
Richtung der Geschwindigkeit. Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung lassen sich mit je einem
dieser beiden Vektoren beschreiben. Indem man die beiden Einheitsvektoren bezüglich eines raumfesten Koordinatensystems zerlegt, schafft man die Voraussetzung für die analytische Beschreibung
der Kreisbewegung
y
et
er
r
j
x
r
r
r = r ◊ er
r
r
v = w ◊ r ◊et
r Ê cos j ˆ Ê cos(w ◊t )ˆ
er = Á
˜=Á
˜
Ë sin j ¯ Ë sin(w ◊ t) ¯
r Ê - sin j ˆ Ê - sin(w ◊ t)ˆ
et = Á
˜=Á
˜
Ë cos j ¯ Ë cos( w ◊ t) ¯
r
v2 r
a = - er
r
r
= -w 2 ◊ r ◊ er
Nun setzt man die Zerlegung der Einheitsvektoren in die Beschreibung von Ort, Geschwindigkeit
und Beschleunigung ein
Ê x ˆ Ê r ◊ cos(w ◊ t )ˆ
Á ˜ =Á
˜
Ë y ¯ Ë r ◊ sin(w ◊ t ) ¯
körper- und raumfestes Koordinatensystem
Komponenten
Ê a x ˆ Ê -w 2 ◊ r ◊ cos(w ◊ t )ˆ
Áa ˜ = Á 2
˜
Ë y ¯ Ë -w ◊ r ◊ sin(w ◊ t ) ¯
Ê v x ˆ Ê -w ◊ r ◊ sin(w ◊ t )ˆ
Á v ˜ = ÁË w ◊ r ◊ cos(w ◊ t ) ˜¯
Ë y¯
Die Geschwindigkeit zeigt an, wieviel Impuls ein Körper im Moment enthält; die Geschwindigkeit
ist eine Art Füllstandsanzeige für den Impulsinhalt eines Körpers. Gemäss der oben abgeleiteten Formel ändert sich sowohl der x-, als auch der y-Impulsinhalt sinusartig. Überträgt man die Kreisbewegung eines Körpers ins x- und ins y-Flüssigkeitsbild, sieht man, wie die beiden Flüssigkeitsspiegel
harmonisch auf- und abschwingen
Impulsinhalt
v
vy
vx
t
m
m
Die Bilanzgleichung verlangt, dass die Änderungsrate des x-Impulses (Masse mal die x-Komponente
der Beschleunigung) gleich der x-Impulsstromstärke ist. Für den y-Impuls gilt der gleiche Zusammenhang. Beide Impulsströme überträgt man mit je einem Pfeil in die Kraftskizze
v
F(t1)
F(t2)
Fy(t3)
t
t1
t2
t3
Fx(t3)
Zentralkraft
Theorie
Translation
Seite 14
Gravitation
Im luftleeren Raum können höchstens Feldkräfte (Gravitations- und elektromagnetische Kräfte) auf
die Körper einwirken. Im Falle der reinen Gravitation spielt die Masse der Körper keine Rolle. Weil
die schwere Masse (für die Impulsaustauschrate verantwortlich) und die träge Masse (Impulskapazität) für alle bekannten Materialien proportional zueinander sind, erleidet jeder Körper die gleiche
ortsabhängige Beschleunigung.
nochmals schwere
und träge Masse
Bewegt sich ein Körper unter der alleinigen Wirkung der Gewichtskraft durch den leeren Raum, ist
seine Beschleunigung durch die herrschende Gravitationsfeldstärke eindeutig festgelegt. Verpackt
man nun verschiedene Körper (z.B. eine Goldkugel, eine Hühnerfeder und einen mit Helium gefüllten Ballon) in einen geschlossenen Kasten, schickt das Ganze mit einer Rakete in den Weltraum hinaus und schaltet die Triebwerke aus, erfahren all diese Körper unter der alleinigen Wirkung des
Gravitationsfeldes die gleiche Beschleunigung. Weil alle mitgeführten Gegenstände mit der gleichen Anfangsgeschwindigkeit gestartet sind, machen sie „freiwillig“ die Bewegung des Kasten mit.
Sie müssen untereinander keinen Impuls austauschen, um ihre Relativdistanz beizubehalten. Diesen
Zustand nennt man Schwerelosigkeit.
Schwerelosigkeit
Die Beschleunigung eines Körpers ist dank der Gleichheit von schwerer und träger Masse gleich der
herrschenden Gravitationsfeldstärke. Weil sich diese Feldstärke auf kleine Distanzen wenig ändert,
wird der im Vakuum fliegende Körper konstant beschleunigt. Nun denkt man sich die Wurfbewegung in einen horizontalen und einen vertikalen Teil zerlegt. Der Horizontalimpuls bleibt bis zum
Aufschlag konstant, der vertikale ändert sich mit konstanter Rate. Zur Analyse der Bewegung zerlegt
man die Abwurfgeschwindigkeit in eine horizontale x-Komponente und in eine vertikale y-Komponente. Die horizontale Geschwindigkeit bleibt konstant, die vertikale ändert sich mit g
schiefer Wurf
ax = 0
v x = v0 sin(a )
x = x 0 + v0 ◊ sin(a ) ◊ t
ay = - g
vv = v0 cos(a ) + a y ◊ t
y = y0 + v0 ◊ cos(a ) ◊ t +
1
ay ◊ t 2
2
Johannes Kepler, Astronom am kaiserlichen Hof in Prag, hat in jahrelanger Arbeit die Bewegungen
der fünf Planete Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter und Saturn studiert. Er hat herausgefunden, dass
die fünf Körper auf elliptischen Bahnen um die Sonne fliegen. Die Sonne selber sitzt immer in einem
der beiden Brennpunkte der Ellipse. Kepler hat zudem berechnet, dass die Umlaufzeit eines Planeten
zum Quadrat dividiert mit der Hälfte des grössten Ellipsendurchmessers hoch drei für alle fünf Planeten gleich gross ist
2s
Sonne
für alle Planeten gilt :
Keplers Beobachtungsergebnisse
T2
= KK (Keplerkonstante)
s3
Planet
Denkt man sich eine grosse Zahl von Körpern, die alle auf Kreisbahnen um die Sonne fliegen, kann
mit Hilfe von Kepler eine Aussage über das Gravitationsfeld der Sonne gemacht werden
g=a
Kreisbahn : a =
v 2 4p 2 r 4p 2 1
= 2 =
◊
r
KK r 2
T
Das Gravitationsfeld der Sonne schwächt sich quadratisch mit der Distanz ab. Im Sinne unseres Naturverständnisses darf diese Gesetzmässigkeit auf alle kugelförmigen Körper übertragen werden.
Die absolute Stärke eines Gravitationsfeldes hängt höchstens noch von der Masse des felderzeugenden Körpers und einem universellen Kopplungsfaktor (Gravitationskonstante g) ab
g=g
m
r2
Gravitationsfeld der
Sonne
g = 6.67 ◊ 10 -11
Nm 2
kg 2
Dass die Masse linear ins Feldgesetz eingeht, folgt aus der Impulserhaltung. Dazu nehme man zwei
etwa gleich grosse Himmelskörper und berechne zweimal die Gravitationskraft, indem man wechselseitig die Kraftwirkung des Feldes auf den jeweils andern Körper untersucht.
Feldgesetz der Gravitations
Theorie
Translation
Seite 15
Potentielle Energie
Im Altertum wurden schwere Steinquader über extra angefertigte Rampen auf die gewünschte Höhe
befördert. Mit kleinen Walzen, welche vor den Klotz gelegt und hinten wieder eingesammelt worden sind, hat man die Reibung zu mindern versucht. Schon damals haben die Gelehrten festgestellt,
dass das Produkt aus Schiebekraft und Weg bei einer fest vorgegebenen Höhe nicht vom Neigungswinkel abhängt. Diese Beobachtung kann mit Hilfe des Energiebegriffs mathematisch erhärtet werden. Dazu berechnen wir die Arbeit der Kräfte beim reibungsfreien Verschieben eines Körpers auf
einer schiefen Ebene
r
r r
W( FS ) = FS ∑ s = FS ◊ s = FG ◊ sin(a ) ◊ s
r
r r
W( FN ) = FN ∑ s = 0
r
r r
W( FG ) = FG ∑ s = FG ◊ s ◊ cos(a + 90˚)
h
s
FN
Hubarbeit
FS
a
= -FG ◊ s ◊ sin(a )
somit gilt :
r
r
W( FS ) = -W( FG ) = FG ◊ h
FG
Im reibungsfreien Fall ist die Arbeit der Schiebekraft gleich Gewichtskraft mal Hubhöhe. Weil die
Arbeit der Gewichtskraft den entgegengesetzt gleichen Wert annimmt, darf behauptet werden, dass
die beim Heben zugeführte Energie ans Gravitationsfeld weitergereicht wird. Bewegt sich der Körper in seine alte Lage zurück, gibt das Gravitationsfeld exakt die gleiche Energie wieder an den Körper zurück. Damit ändert sich die Gravitationsenergie im homogenen Gravitationsfeld gemäss einer
einfachen Beziehung
Gravitationsenergie
DWG = m ◊ g ◊ Dh
Von den drei Grössen, welche die Änderung der Gravitationsenergie mitbestimmen, hängen zwei
von den Eigenschaften des leeren Raumes und nur eine vom fraglichen Körpers ab. Wir fassen die
beiden erstgenannten zu einer Grösse mit der Einheit Joule/Kilogramm zusammen und nennen diese
Gravitationsspannung UG. Mit Hilfe der Gravitationsspannung können Prozesse im Gravitationsfeld
elegant beschrieben werden
DWG = m ◊ UG
P = I m ◊ UG
Gravitationsspannung
UG = g ◊ h
Nimmt man die Weltmeere als Bezugsfläche, kann jedem Punkt auf der Erdoberfläche ein sogenanntes Gravitationspotential jG zugeordnet werden. Weil sich die Gravitationsfeldstärke in unserem
Erfahrungsbereich nur um wenige Promille ändert, darf mit dem Mittelwert von 9.81 N/kg gerechnet
werden. Das Gravitationspotential ist dann gleich der Meereshöhe mal 9.81 N/kg. Es besagt, wieviel
Energie ein Liter Wasser auf seiner Reise zum Meer insgesamt freisetzt.
Gravitationspotential
Ändert sich das Gravitationsfeld stark, muss die Gravitationsspannung über kleine Streckenabschnitte berechnet und aufsummiert werden. Um das Gravitationspotential im kugelsymmetrischen
Feldes eines Himmelskörpers zu rechnen, beginnt man weit draussen im Weltraum und summiert
längs des Radius nach innen. Indem man den Potentialnullpunkt weit weg vom Himmelskörper
wählt, werden alle Werte negativ, dafür ist das Ergebnis recht einfach
Gravitationspotential eines Himmelskörpers
j G = -g
m Himmelskörper
r
Bewegt sich ein Körper reibungsfrei auf einer Bahn, bleibt die Summe aus kinetischer und Gravitationsenergie konstant. Da beide Grössen von der Masse abhängen, kürzt sich diese heraus. Damit gilt
die einfache Bezieung
jG +
v2
v2
= j G0 + 0
2
2
Im homogenen Gravitationsfeld gilt somit
g◊h +
v2
v2
= g ◊ h0 + 0
2
2
reibungsfreie Bewegung im Gravitationsfeld
Achterbahnformel
v = 2 g ◊ Dh + v02
Theorie
Translation
Seite 16
Harmonische Schwingungen
Die Bewegung eines an einer Feder befestigten Körpers kann mit der gleichmässigen Kreisbewegung verglichen werden. Projiziert man die kreisende Bewegung eines Körpers parallel zu einem
Durchmesser an eine Wand, vollführt der Schatten eine Schwingung. Dass diese Bewegung identisch mit der Schwingung eines sogenannten Federpendels ist, folgt aus der Analyse des Kraftgesetztes
Kreisbewegung und
Schwingung
Ê -w 2 ◊ r ◊ cos(w ◊ t )ˆ
Ê ax ˆ
Ê Fx ˆ
2 Ê xˆ
=
◊
=
◊
m
m
Á 2
Áa ˜
˜ = - m ◊ w ÁË y ˜¯
ÁF ˜
Ë y¯
Ë y¯
Ë -w ◊ r ◊ sin(w ◊ t ) ¯
Bei der Kreisbewegung sind die Komponenten der resultierenden Kraft proportional zur zugehörigen Auslenkung. Der Proportionalitätsfaktor ist gleich -m·w2. Ist umgekehrt die resultierende Kraft
auf einen Körper rücktreibend und proportional zur Auslenkung, muss sich der Körper wie der
Schattenwurf eines kreisenden Körpers bewegen. Die Bewegung, die durch ein lineares Kraftgesetz
hervorgerufen wird, nennt man harmonische Schwingung. Der Proportionalitätsfaktor zwischen
Kraft und Auslenkung heisst allgemein Richtgrösse D.
harmonische
Schwingung
In der analytischen Beschreibung der Kreisbewegung verändert sich die x-Komponente mit dem Cosinus in der Zeit und die y-Komponente mit dem Sinus. Dies hängt mit der speziellen Wahl des Zeitnullpunktes zusammen. Beginnt man zu einem andern Zeitpunkt mit der Beschreibung, muss die
momentane Lage durch einen zusätzlichen Winkel miteinbezogen werden
allgemeine Form der
harmonischen
Schwingung
x = r ◊ cos(w ◊ t + y 0 )
Im Schattenwurf entspricht der Radius der Kreisbahn der maximalen Auslenkung, der sogenannten
Amplitude x0. Die harmonische Schwingung kann damit wie folgt beschrieben werden
x = x 0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 )
Bei einer Schwingung hat die Grösse w nicht mehr die Bedeutung einer Winkelgeschwindigkeit. Sie
heisst deshalb Kreisfrequenz. Die Schwingungsdauer T entspricht der Zeitspanne, bis das System
wieder im alten Zustand ist. Das Produkt aus Schwingungsdauer und Kreisfrequenz muss gleich einem vollen Winkel sein
w ◊ T = 2p
T=
2p
w
Von den drei Parameter des Auslenkungs-Zeit-Verhaltens x0, y0 und w werden die beiden ersten
durch die Startbedingungen (Anfangsgeschwindigkeit und Auslenkung) festgelegt. Die Winkelgeschwindigkeit hängt dagegen nur von der Trägheit und der Richtgrösse ab. Vergleicht man die resultierende Kraft bei der Kreisbewegung komponentenweise mit dem Federgesetz, folgt
D = m ◊w 2
w=
D
m
T = 2p
Wtot =
Impulsinhalt
mit px 0 = m ◊ v x 0 = m ◊ w ◊ x 0
Bei der Kreisbewegung wird die Energie laufend von einer Impulskomponente auf die andere „umgeladen“. Bei der Federschwingung ist die Energie entweder zusammen mit dem Impuls als kinetische im bewegten Körper oder als Verformungsenergie in der Feder gespeichert. Die Summe der
beiden Energien muss konstant sein.
Wtot = Wkin + WFeder =
Richtgrösse und
Masse
m
D
Der an einem Faden kreisende Körper ändert sowohl seinen x- als auch seinen y-Impuls sinusartig
mit der Zeit. Der an einer Feder hin- und herschwingende Körper speichert dagegen nur eine Sorte
Impuls. Die zugehörige Beschreibung kann jedoch von der Kreisbewegung übernommen werden
px = m ◊ v x = - px 0 ◊ sin(w ◊ t + y 0 )
Schwingungsdauer
1
1
m ◊ v2 + D ◊ x 2
2
2
1
1
[ m ◊ w 2 ◊ x 02 ◊ sin 2 (w ◊ t + y 0 ) + D ◊ x 02 ◊ cos 2 (w ◊ t + y 0 )] = D ◊ x 02
2
2
Energiebetrachtung
Theorie
Translation
Seite 17
LC-Glieder
Das Federgesetz verlangt, dass der durch die Feder fliessende Impulsstrom proportional zur Verformung ist. Der Proportionalitätsfaktor heisst Federkonstante oder allgemein Richtgrösse D. Zur Beschreibung des Federverhaltens führen wir zwei Koordinaten ein. Diese beschreiben die Auslenkungen der beiden Federenden aus dem unverformten Zustand
Federgesetz
Ip
I p = D◊ (x1 - x 2 )
0
x1
0 x2
Bezüglich des Impulses verhält sich die Feder induktiv. Um dies einzusehen leiten wir das Federgesetz nach der Zeit ab
I˙p = D ◊ ( x˙1 - x˙ 2 )
also v1 - v2 = Dv = L p ◊ I˙p
mit L p =
Impulsinduktivität
1
D
Drückt die Feder gegen einen reibungsfrei gleitenden Klotz, ist die Federkraft gleich der Impulsänderungsrate des Klotzes (Masse mal Beschleunigung). Dank der Analogie zwischen Kreisbewegung
und harmonischer Schwingung kann die Beschleunigungs-Zeit-Funktion aus der Kreisbewegung abgeleitet werden
Kraft-Zeit-Verhalten
F = m ◊ a = - m ◊ w 2 ◊ x 0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 ) = - m ◊ w ◊ v x 0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 ) = - m ◊ D ◊ v x 0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 )
Feder und schwingender Körper bildet zusammen ein sogenanntes LC-Glied. C steht für Kapazität.
Die Impulskapazität ist die träge Masse. Nun übertragen wir alle Beziehungen auf die Elektrizitätslehre. Masse und Richtgrösse verwandeln sich dabei in Kapazität und reziproke Induktivität. Die Federkraft wird zur Stromstärke und die Geschwindigkeit zum elektrischen Potential. Ein kleiner
Unterschied bleibt bestehen. Das Federpendel tauscht Impuls mit der Erde aus, das elektrische LCGlied bildet dagegen einen geschlossenen Kreis.
Ip(t)
elektrische LC-Glieder
v(t)
U(t)
I(t)
x
0
Zuerst übersetzen wir die Formel für die Kreisfrequenz und die Schwingungsdauer
w=
1
L◊C
T=
2p
= 2p L ◊ C
w
Das Kraft-Zeit-Verhalten wird zur Stromstärke-Zeit-Funktion. Mit einer andern Wahl des Zeitnullpunktes (Phasenverschiebung um p) kann das Minuszeichen zum Verschwinden gebracht werden
I = I0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 )
mit I0 =
U = U0 ◊ sin(w ◊ t + y 0 )
Die Energiebetrachtung aus der Mechanik darf übernommen werden: die Summe aus kapazitiver
und induktiver Energie ändert sich im Laufe der Zeit nicht. Die Energieänderungsrate der Induktivität lässt sich auch direkt über die Leistung berechnen
P = U ◊ I = U0 ◊ I0 ◊ cos(w ◊ t + y 0 ) ◊ sin(w ◊ t + y 0 )
mit Pmittel =
Strom-Zeit-Verhalten
C
◊ U0
L
Die Geschwindigkeitsdifferenz zwischen den Federenden wird zur Spannung
P = Pmittel ◊ sin(2w ◊ t + 2y 0 )
Kreisfrequenz und
Schwingungsdauer
U0 ◊ I0
2
Spannungs-Zeit-Verhalten
Prozessleistung