Dynamische Geometrie

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Dynamische Geometrie
1) Die Mittelsenkrechten, die Seitenhalbierenden, die Höhen und die Winkelhalbierenden
eines beliebigen Dreiecks schneiden sich jeweils in einem Punkt.
a) Untersuchen Sie die Lage der Schnittpunkte. Lässt sich eine Besonderheit feststellen?
b) Überprüfen Sie Ihre Vermutung visuell (zunächst durch manuelle Veränderung des
Dreiecks und dann mithilfe einer Animation) und mithilfe einer Tabelle.
2) Ein Sehnenviereck ist ein Viereck, dessen Eckpunkte auf einem Kreis liegen.
a) Wie kann gezeigt werden, dass nicht jedes Viereck ein Sehnenviereck ist?
b) Erstellen Sie ein beliebiges Sehnenviereck und versuchen Sie durch Experimentieren
und Messen eventuell relevanter Größen eine Regel zu formulieren, wann ein Viereck
ein Sehnenviereck ist.
3) Erzeugen Sie die Sinus-Funktion aus der Bewegung eines Punktes auf einem Einheitskreis
(Ortskurve) mithilfe von Animationen.
LÖSUNGEN
 Verwendung des Geometrie-Menüs
Zu 1a)
Um ein Dreieck zu zeichnen, wird der Befehl
zum Zeichnen von Strecken ausgewählt.
Zur Bestimmung der Mittelpunkte der
Strecken wird der Befehl
verwendet.
Zur Konstruktion der Mittelsenkrechten
Um den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zu
wird dann der Befehl
bestimmen, wird der Befehl
verwendet.
benutzt.
Zur besseren Übersicht ist es sinnvoll, die
Um dem Punkt einen anderen Namen zu
Konstruktionslinien wieder auszublenden.
geben, wird der Punkt markiert und im
Die Linien, die ausgeblendet werden sollen,
Messfeld wird der gewünschte Name
werden angeklickt und dann wird im Edit-
eingegeben.
Menü  Eigenschaften geöffnet und dann
„ausgeblendet“ gewählt.
Zur Konstruktion der Winkelhalbierenden:
Ausblenden der Konstruktionslinien
Konstruktion der Seitenhalbierenden:
Konstruktion der Höhen:
Manuelles Verändern des Dreiecks durch
Markieren und dann Verschieben eines
Die erhaltenen Schnittpunkte:
Punktes. Vermutung: Die Punkte M, S
und H könnten auf einer Geraden liegen.
Zu 1b)
Zum Erstellen einer Animation wird ein
Dann werden der Punkt des Dreiecks und der
Punkt benötigt, der sich auf einem Kreis
Kreis markiert. Im Edit-Menü  Animieren
bewegt. Dazu wird ein Kreis gezeichnet.
aufrufen und Animation hinzufügen auswählen.
Der Punkt springt automatisch auf den Kreis.
„Ablaufen“ startet dann die Animation.
Eine Gerade, auf der die Punkte M, S, und H liegen, wird eingezeichnet und die Animation
wiederholt abgespielt.
Eine weitere Möglichkeit die Vermutung zu festigen, bietet das Messfeld. Es kann auch
Größen der Skizze während einer Animation ausgeben. Jedoch werden die Werte im Messfeld
bei einer Animation nicht automatisch aktualisiert.
Die Werte einer sich im Laufe einer Animation ändernden Messgröße können mithilfe einer
Tabelle zusammengefasst werden. Dafür werden die Objekte markiert, die gemessen werden
sollen und dann wird das Symbol gewählt.
Hier wurde zunächst der Abstand des
Punktes H von der Geraden (erste Spalte der
Tabelle) und dann der Abstand des Punktes
W
von
der
Geraden
(zweite
Spalte)
gemessen.
Der Punkt H liegt auf der Geraden, der
Punkt W jedoch nicht. Der Abstand der
anderen Punkte von der Geraden kann
genauso gemessen werden.
Durch dieses Vorgehen können Beispiele
gesammelt
werden,
bei
denen
die
Vermutung zutrifft. Ein Beweis müsste noch
erfolgen.
 Verwendung des Geometriemenüs
Zu 1a)
Um einen Kreis zu erzeugen auf dem drei der
Es wird ein beliebiges Viereck mithilfe
vier Punkte liegen, wird eine Diagonale durch
das Viereck gezeichnet. Von einem der
des Befehls Polygon
gezeichnet.
Dreiecke
wird
der
Schnittpunkt
der
Mittelsenkrechten erzeugt (Mittelpunkt für
Umkreis des erzeugten Dreiecks).
Der Punkt A liegt nicht auf diesem Kreis. Diese Vermutung kann bei Fällen, die nicht so eindeutig
sind, auch mithilfe des Messfeldes bestätigt werden. Dafür werden der Kreis und der Punkt A
aufgerufen und das Symbol
gewählt. Da „Nein“ angezeigt wird, liegt der Punkt nicht auf dem
Kreis. Ein Kreis ist jedoch für 3 Punkte festgelegt, deshalb ist nicht jedes Viereck ein
Sehnenviereck.
Zu 2b)
Um herauszufinden, wann ein Viereck ein Sehnenviereck ist, sollte dieses zunächst erzeugt
werden. Die angefertigte Zeichnung kann so verändert werden, dass es ein Sehnenviereck
wird. Indem neben dem Messfeld das Häkchen gedrückt wird (Zuweisung, dass der Punkt auf
dem Kreis liegen soll), erscheint im Messfeld „Ja“ und die Zeichnung wird so verändert, dass
der Punkt auf dem Kreis liegt. Das Viereck kann nun durch Verschieben der Ecken variiert
werden.
Eine Vermutung könnte sein: Je größer ein Winkel ist, desto kleiner wird der ihm
gegenüberliegende Winkel.
Beispielsweise
wird
einem
Winkel
der
Wert
90°
zugewiesen
und
misst
den
gegenüberliegenden Winkel und ordnet ihn (durch Öffnen des Draw-Menüs  Winkel
zuordnen) der Zeichnung zu.
Um die Winkelabhängigkeit weiter zu untersuchen, werden alle Winkel gemessen und der
Zeichnung zugeordnet.
Die Summe der gegenüberliegenden Winkel kann durch Einfügen einer Formel berechnet
werden. Dazu wird im Draw-Menü  Formelterm ausgewählt. Im Messfeld werden
Messgrößen aus der Konstruktion über Variablenreferenzen (@-Zeichen) verwendet. Es zeigt
sich, dass die Summe der gegenüberliegenden Winkel 180° beträgt. Aufgrund der
Winkelsumme von 360° im Viereck muss die Summe der beiden übrigen Winkel 180° sein.
Auch bei Variation der Sehnenvierecke bleibt die Summe der gegenüberliegenden Winkel
180°.
Zur Überprüfung der gewonnenen Eindrücke, kann die Zuweisung eines Punktes vom Kreis
wieder gelöst werden (Edit-Menü Begrenzg. Löschen.). Je näher der Punkt wieder an den
Kreis angenähert wird, desto mehr nähert sich die Summe der gegenüberliegenden Winkel
wieder 180° an. Der Beweis müsste nun noch erbracht werden.
Zu 3)
Erzeugen eines Einheitskreises mit dem
Mittelpunkt (-2/0).
Es wird ein Punkt benötigt, der sich auf dem
Kreis bewegen soll. Objekte markieren,
dann: Edit  Animation hinzufügen.
Durch diesen Punkt wird eine Parallele zur y-Achse (die x- und y- Achse sind keine Objekte,
damit sie als Konstruktionslinien erkannt werden, müssen sie nachgezeichnet werden)
gezeichnet. Zur besseren Übersicht wird nur die Strecke vom animierten Punkt C bis zum
Schnittpunkt der Geraden mit der x-Achse gezeichnet und dann die Gerade ausgeblendet.
Dann wird das Dreieck vervollständigt.
Durch den Punkt C wird eine Parallele
zur x-Achse konstruiert, um den Wert
des Sinus zu übertragen.
Nun wird eine weitere Animation benötigt, die die Bewegung des Punktes auf dem Kreisrand
in eine lineare Bewegung auf der x-Achse überträgt. Dazu wird eine Strecke vom Ursprung zu
einem Punkt auf der x-Achse konstruiert und dieser Strecke die Länge der Kreisbahn (durch
Eingabe von 2π in das Messfeld und Antippen des Häkchens) zugewiesen. Die neue
Animation bewegt einen Punkt K auf der zuvor erzeugten Strecke.
Wird nun noch eine Parallele durch K zur y-Achse konstruiert, dann bildet der Schnittpunkt Q
dieser Parallelen mit der zuvor erzeugten Parallele zur x-Achse die Punkte des Graphen der
Sinus-Funktion. Um eine Ortskurve des Punktes Q zu zeichnen, wird der Punkt markiert und
im Edit-Menü  Animation: Verfolgen ausgewählt.
Wird die Animation gestartet, so wird der
Graph der Sinuskurve gezeichnet.
Die Animation kann bearbeitet werden,
dafür öffnet sich folgendes Dialogfeld:
Die Parameter t0 und t1 sind dabei lokal
und nicht temporal zu verstehen.
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