Themen: Vollständige Induktion Varianten des Induktionsprinzips

3 Die natürlichen Zahlen
Themen:
◮
Vollständige Induktion
◮
Varianten des Induktionsprinzips
◮
Induktion über den rekursiven Aufbau
◮
Die ganzen Zahlen
Die natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}.
sind die natürlichen Zahlen. Manche Autoren lassen die natürlichen
Zahlen auch mit der Null beginnen, wir schreiben dafür
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Die natürlichen Zahlen
N = {1, 2, 3, . . .}.
sind die natürlichen Zahlen. Manche Autoren lassen die natürlichen
Zahlen auch mit der Null beginnen, wir schreiben dafür
N0 = {0, 1, 2, 3, . . .}.
Die natürlichen Zahlen sind induktiv geordnet: Ausgehend von
einem Anfang, 1 oder 0, erhält man alle natürlichen Zahlen durch
den Nachfolger des Anfangs, den Nachfolger des Nachfolgers des
Anfangs usw.
Vollständige Induktion – Ein Beispiel
Wir wollen die folgende Formel für die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen beweisen
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
n = 1, 2, 3, . . . .
Vollständige Induktion – Ein Beispiel
Wir wollen die folgende Formel für die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen beweisen
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32 .
n = 1, 2, 3, . . . .
Vollständige Induktion – Ein Beispiel
Wir wollen die folgende Formel für die Summe der ersten n
ungeraden Zahlen beweisen
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
n = 1 : 1 = 12
n = 2 : 1 + 3 = 4 = 22
n = 3 : 1 + 3 + 5 = 9 = 32 .
Ein Physiker wäre damit schon zufrieden!
n = 1, 2, 3, . . . .
Prinzip der vollständigen Induktion
Wir können Aussagen (A1 ), (A2 ), . . . mit Hilfe des Prinzips der
vollständigen Induktion beweisen. Dazu beweist man zwei Dinge:
(i) (A1 )
(=Induktionsanfang oder Induktionsverankerung),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ∈
N
(=Induktionsschritt).
Prinzip der vollständigen Induktion
Wir können Aussagen (A1 ), (A2 ), . . . mit Hilfe des Prinzips der
vollständigen Induktion beweisen. Dazu beweist man zwei Dinge:
(i) (A1 )
(=Induktionsanfang oder Induktionsverankerung),
(ii) (An ) ⇒ (An+1 ) für alle n ∈
N
(=Induktionsschritt).
Der zweite Schritt lässt sich so interpretieren: Unter der
Voraussetzung, dass wir schon wissen, dass die
Induktionsvoraussetzung (An ) richtig ist, können wir auch die
Richtigkeit von (An+1 ) nachweisen.
Korrektheit der vollständigen Induktion
Wir wenden den modus ponens an:
(A1 )
= Induktionsanfang
(A1 ) ⇒ (A2 )
= Induktionsschritt für n = 1
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
(A2 )
Korrektheit der vollständigen Induktion
Wir wenden den modus ponens an:
(A1 )
= Induktionsanfang
(A1 ) ⇒ (A2 )
= Induktionsschritt für n = 1
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − −−
(A2 )
Durch fortgesetzte Anwendung des modus ponens und unter
Verwendung des Induktionsschritts für n = 2, 3, . . . erhält man die
Wahrheit von (A3 ), (A4 ), . . ..
Der Induktionszug
1
2
3
(An ) ⇒ (An+1 ) bedeutet, dass Waggon n + 1 an Waggon n
gekoppelt ist. Fährt nun die Lokomotive los, so rollt der ganze Zug.
Zurück zum Beispiel
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
(A1 ) ist richtig (=Induktionsanfang).
n = 1, 2, 3, . . . .
Zurück zum Beispiel
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
n = 1, 2, 3, . . . .
(A1 ) ist richtig (=Induktionsanfang).
Induktionsschritt: Sei (An ) richtig. Dann
1 + 3+ . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
Zurück zum Beispiel
(An )
n
X
k=1
(2k −1) = 1+3+5+. . .+(2n−1) = n2 ,
n = 1, 2, 3, . . . .
(A1 ) ist richtig (=Induktionsanfang).
Induktionsschritt: Sei (An ) richtig. Dann
1 + 3+ . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= 1 + 3 + . . . + (2n − 1) + (2(n + 1) − 1)
= n2 + (2(n + 1) − 1)
= n2 + 2n + 1 = (n + 1)2 .
Damit ist (An ) ⇒ (An+1 ) bewiesen.
Langfassung des Beweises
1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = (1 + 3) + 5 = 4 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = (1 + 3 + 5) + 7 = 9 + 7 = 16 = 42
1 + 3 + 5 + 7 + 9 = (1 + 3 + 5 + 7) + 9 = 16 + 9 = 15 = 52
...
Im Induktionsschritt führen wir dies in einem Schritt aus.
Aufgabe
Man zeige, dass die vorletzte Ziffer von 3n , n ≥ 1, im
Dezimalsystem geschrieben geradzahlig ist.
Aufgabe
Man zeige, dass die vorletzte Ziffer von 3n , n ≥ 1, im
Dezimalsystem geschrieben geradzahlig ist.
Beweis: Für n = 1 ist das der Fall (=Induktionsanfang).
Für den Induktionsschritt ist zu bemerken, dass im Dezimalsystem
3n auf 1, 3, 9 oder 7 endet. Mit 3 multipliziert liefern diese
Endziffern den Übertrag 0 oder 2.
Aufgabe
Man zeige, dass die vorletzte Ziffer von 3n , n ≥ 1, im
Dezimalsystem geschrieben geradzahlig ist.
Beweis: Für n = 1 ist das der Fall (=Induktionsanfang).
Für den Induktionsschritt ist zu bemerken, dass im Dezimalsystem
3n auf 1, 3, 9 oder 7 endet. Mit 3 multipliziert liefern diese
Endziffern den Übertrag 0 oder 2.
Ist also die vorletzte Ziffer von 3n geradzahlig, so ist das Dreifache
der vorletzten Ziffer ebenfalls geradzahlig. Dazu kommt ein
geradzahliger Übertrag von der letzten Ziffer multipliziert mit 3.
Damit ist auch die vorletzte Ziffer von 3n+1 geradzahlig.
Aufgabe
n Autos stehen auf einer Kreislinie. Die Autos besitzen zusammen
so viel Benzin, um damit einmal um den Kreis herumzufahren.
Zeigen Sie, dass es ein Auto gibt, das den Kreis einmal umrunden
kann, wenn es das Benzin der Autos, bei denen es vorbeikommt,
mitnehmen darf.
Aufgabe
n Autos stehen auf einer Kreislinie. Die Autos besitzen zusammen
so viel Benzin, um damit einmal um den Kreis herumzufahren.
Zeigen Sie, dass es ein Auto gibt, das den Kreis einmal umrunden
kann, wenn es das Benzin der Autos, bei denen es vorbeikommt,
mitnehmen darf.
Hinweis: Der Einfachheit halber nehme man an, dass das Umrunden
des Kreises eine Entfernungseinheit beträgt und dass manP
dazu eine
Einheit Benzin benötigt. Das Auto i erhält ti Benzin mit
ti = 1.
Induktion mit beliebigem Induktionsanfang
Ist n0 eine ganze Zahl (auch negativ), so ist die Menge
Nn
0
= {n0 , n0 + 1, n0 + 2, . . .}
ebenfalls induktiv geordnet. Man verankert den Induktionsbeweis
mit n0 und muss beachten, dass der Induktionsschritt für alle
n ≥ n0 durchgeführt wird.
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir die
Bernoulli-Ungleichung, die für eine reelle Zahl a ≥ 0 und für jedes
n ∈ 0 Folgendes behauptet,
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir die
Bernoulli-Ungleichung, die für eine reelle Zahl a ≥ 0 und für jedes
n ∈ 0 Folgendes behauptet,
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
In diesem Fall können wir die Induktion mit n0 = 0 verankern, denn
(1 + a)0 = 1. Für n ≥ 0 gilt unter Verwendung der
Induktionsvoraussetzung (Bn )
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir die
Bernoulli-Ungleichung, die für eine reelle Zahl a ≥ 0 und für jedes
n ∈ 0 Folgendes behauptet,
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
In diesem Fall können wir die Induktion mit n0 = 0 verankern, denn
(1 + a)0 = 1. Für n ≥ 0 gilt unter Verwendung der
Induktionsvoraussetzung (Bn )
IV
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
Mit diesem verallgemeinerten Induktionsprinzip beweisen wir die
Bernoulli-Ungleichung, die für eine reelle Zahl a ≥ 0 und für jedes
n ∈ 0 Folgendes behauptet,
N
(Bn )
(1 + a)n ≥ 1 + na.
In diesem Fall können wir die Induktion mit n0 = 0 verankern, denn
(1 + a)0 = 1. Für n ≥ 0 gilt unter Verwendung der
Induktionsvoraussetzung (Bn )
IV
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)
= 1 + na + a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a.
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
IV
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)
= 1 + na + a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a.
Aufgabe: Der Beweis zeigt, dass man die Voraussetzung an a noch
abschwächen kann. Wie?
Beispiel: Bernoulli-Ungleichung
IV
(1 + a)n+1 = (1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)
= 1 + na + a + na2 ≥ 1 + (n + 1)a.
Aufgabe: Der Beweis zeigt, dass man die Voraussetzung an a noch
abschwächen kann. Wie?
Die Voraussetzung a ≥ 0 wird nur an der Stelle
IV
(1 + a)n (1 + a) ≥ (1 + na)(1 + a)
gebraucht. Dazu reicht aber a ≥ −1.
Eine Variante in der Induktionsvoraussetzung
Statt des Induktionssschritts (An ) ⇒ (An+1 ) darf man auch
(A1 ), . . . , (An ) ⇒ (An+1 ) verwenden.
Eine Variante in der Induktionsvoraussetzung
Statt des Induktionssschritts (An ) ⇒ (An+1 ) darf man auch
(A1 ), . . . , (An ) ⇒ (An+1 ) verwenden.
Beispiel: Jede Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primzahlteiler.
Eine Variante in der Induktionsvoraussetzung
Statt des Induktionssschritts (An ) ⇒ (An+1 ) darf man auch
(A1 ), . . . , (An ) ⇒ (An+1 ) verwenden.
Beispiel: Jede Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primzahlteiler.
Induktionsverankerung n = 2 ist in Ordnung.
Eine Variante in der Induktionsvoraussetzung
Statt des Induktionssschritts (An ) ⇒ (An+1 ) darf man auch
(A1 ), . . . , (An ) ⇒ (An+1 ) verwenden.
Beispiel: Jede Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primzahlteiler.
Induktionsverankerung n = 2 ist in Ordnung.
Sei die Behauptung für 2 ≤ m ≤ n richtig. Ist n + 1 eine Primzahl,
so besitzt sie den Primzahlteiler n + 1.
Eine Variante in der Induktionsvoraussetzung
Statt des Induktionssschritts (An ) ⇒ (An+1 ) darf man auch
(A1 ), . . . , (An ) ⇒ (An+1 ) verwenden.
Beispiel: Jede Zahl n ≥ 2 besitzt einen Primzahlteiler.
Induktionsverankerung n = 2 ist in Ordnung.
Sei die Behauptung für 2 ≤ m ≤ n richtig. Ist n + 1 eine Primzahl,
so besitzt sie den Primzahlteiler n + 1.
Andernfalls gilt n + 1 = ab mit 2 ≤ a, b ≤ n. Nach
Induktionsvoraussetzung besitzen a und b einen Primzahlteiler, die
auch Primzahlteiler von n + 1 sind.
Graphen
Ein (ungerichteter) Graph besteht aus einer Knotenmenge V
(engl. vertex) und einer Kantenmenge E (engl. edge). Anschaulich
verbindet eine Kante zwei verschiedene Knoten, wobei es auf die
geometrische Form der Kanten meist nicht ankommt.
4
4
5
5
6
3
1
G1
G2
G3
1
2
G4
2
3
G4
6
Eigenschaften von Graphen
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch
einen Kantenzug miteinander verbunden werden können.
Eigenschaften von Graphen
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch
einen Kantenzug miteinander verbunden werden können.
Ein Graph heißt planar, wenn er auf der Ebene so gezeichnet
werden kann, dass seine Kanten sich nicht überkreuzen.
Eigenschaften von Graphen
Ein Graph heißt zusammenhängend, wenn je zwei Knoten durch
einen Kantenzug miteinander verbunden werden können.
Ein Graph heißt planar, wenn er auf der Ebene so gezeichnet
werden kann, dass seine Kanten sich nicht überkreuzen.
Ein Graph heißt nichtleer, wenn er mindestens einen Knoten besitzt.
Eigenschaften von Graphen
4
4
5
5
6
3
1
G1
G2
G3
1
2
G4
2
3
G4
G2 ist nicht zusammenhängend, die anderen Graphen aber schon.
6
Eigenschaften von Graphen
4
4
5
5
6
3
1
G1
G2
G3
1
2
G4
2
3
G4
G2 ist nicht zusammenhängend, die anderen Graphen aber schon.
G4 ist planar, weil er kreuzungsfrei gezeichnet werden kann.
6
Die Eulersche Polyederformel
Ein zusammenhängender planarer Graph unterteilt die Ebene in f
Flächen, wobei die Außenfläche mitgezählt wird.
Die Eulersche Polyederformel
Ein zusammenhängender planarer Graph unterteilt die Ebene in f
Flächen, wobei die Außenfläche mitgezählt wird.
Satz Sei G ein nichtleerer, planarer, zusammenhängender Graph
mit f Flächen, k Kanten und e Knoten. Dann gilt die Eulersche
Polyederformel
e − k + f = 2.
Beispiel zur Polyederformel
4
5
3
1
2
G4
e = 6, k = 8, f = 4
6
⇒
e − k + f = 2.
Die Eulersche Polyederformel
Man beweise
e − k + f = 2.
durch Induktion über den rekursiven Aufbau eines nichtleeren,
planaren, zusammenhängenden Graphen.
Die Eulersche Polyederformel
Man beweise
e − k + f = 2.
durch Induktion über den rekursiven Aufbau eines nichtleeren,
planaren, zusammenhängenden Graphen.
Hinweis: Ausgehend vom Graphen, der nur aus einem Pukt besteht,
zeichne man einen zusammenhängenden planaren Graph. Welche
”Operationen” werden dabei benötigt?
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Der Induktionsanfang ist der Graph, der nur aus einem Knoten
besteht. In diesem Fall ist e = 1, k = 0 und f = 1, also
e − k + f = 2.
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Der Induktionsanfang ist der Graph, der nur aus einem Knoten
besteht. In diesem Fall ist e = 1, k = 0 und f = 1, also
e − k + f = 2.
Zum Zeichnen des Graphen benötigen wir die Operationen:
1. Setzen eines neuen Knotens und verbinden dieses Knotens mit
einem alten Knoten. In diesem Fall ändert sich e um +1 und k um
+1.
Beweis der Eulerschen Polyederformel
Der Induktionsanfang ist der Graph, der nur aus einem Knoten
besteht. In diesem Fall ist e = 1, k = 0 und f = 1, also
e − k + f = 2.
Zum Zeichnen des Graphen benötigen wir die Operationen:
1. Setzen eines neuen Knotens und verbinden dieses Knotens mit
einem alten Knoten. In diesem Fall ändert sich e um +1 und k um
+1.
2. Verbinden zweier Knoten. Hier ändert sich k um +1 und f um
+1.
Warum Polyederformel?
Tetraeder und Würfel
Wir können einen Polyeder an einer Fläche aufschneiden und auf die
Ebene klappen. Daher wird in der Polyederformel die Außenfläche
mitgezählt, weil sie einer Fläche des Polyeders entspricht.
Die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch die Anfangsvorgaben
F0 = 0,
F1 = 1,
sowie durch die Rekursion
Fn+1 = Fn + Fn−1
für alle n ∈
N.
Die Fibonacci-Zahlen
Die Fibonacci-Zahlen Fn sind definiert durch die Anfangsvorgaben
F0 = 0,
F1 = 1,
sowie durch die Rekursion
Fn+1 = Fn + Fn−1
für alle n ∈
N.
Jede Fibonacci-Zahl ist die Summe ihrer beiden Vorgänger:
F0 = 0, F1 = 1, F2 = 1, F3 = 2, F4 = 3, F5 = 5, F6 = 8,
F7 = 13, F8 = 21, F9 = 34, F10 = 55, F11 = 89, F12 = 144.
Modell einer Kaninchenpopulation
Fn sei die Zahl der Paare einer Kaninchenpopulation. Jedes
Weibchen setzt jeden Monat ein neues Kaninchen in die Welt, das
mit Verzögerung von einem Monat selbst geschlechtsreif wird.
Modell einer Kaninchenpopulation
Fn sei die Zahl der Paare einer Kaninchenpopulation. Jedes
Weibchen setzt jeden Monat ein neues Kaninchen in die Welt, das
mit Verzögerung von einem Monat selbst geschlechtsreif wird.
Fn+1
Paare in n + 1
=
Fn
Paare in n
+
Fn−1
geschlechtsreife Paare in n
Wachstum einer Population
Wäre jedes Neugeborene sofort geschlechtsreif, hätten wir die
Rekursion Gn+1 = 2Gn , also Gn = 2n .
Wachstum einer Population
Wäre jedes Neugeborene sofort geschlechtsreif, hätten wir die
Rekursion Gn+1 = 2Gn , also Gn = 2n .
Aufgabe: Bestimme ein möglichst kleines a mit Fn ≤ an .
Wachstum einer Population
Wäre jedes Neugeborene sofort geschlechtsreif, hätten wir die
Rekursion Gn+1 = 2Gn , also Gn = 2n .
Aufgabe: Bestimme ein möglichst kleines a mit Fn ≤ an .
a ist dann der Wachstumsfaktor der Population.
Wachstum der Kaninchen-Population
Idee: Zeige Fn ≤ an durch Induktion über n und benutze dabei
(natürlich)
Fn+1 = Fn + Fn−1
und die Induktionsvoraussetzung für Fn und Fn−1 .
Wachstum der Kaninchen-Population
Idee: Zeige Fn ≤ an durch Induktion über n und benutze dabei
(natürlich)
Fn+1 = Fn + Fn−1
und die Induktionsvoraussetzung für Fn und Fn−1 .
Der Induktionsanfang muss daher für n = 0 und n = 1
nachgewiesen werden.
Wachstum der Kaninchen-Population
Induktionsanfang: 0 = F0 ≤ a0 = 1 und 1 = F1 ≤ a1 ist richtig für
alle a ≥ 1.
Wachstum der Kaninchen-Population
Induktionsanfang: 0 = F0 ≤ a0 = 1 und 1 = F1 ≤ a1 ist richtig für
alle a ≥ 1.
Induktionsschritt:
IV
!
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ an + an−1 ≤ an+1 .
Wachstum der Kaninchen-Population
Induktionsanfang: 0 = F0 ≤ a0 = 1 und 1 = F1 ≤ a1 ist richtig für
alle a ≥ 1.
Induktionsschritt:
IV
!
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ an + an−1 ≤ an+1 .
Wir müssen das minimale a > 0 finden mit
an + an−1 ≤ an+1
⇔
a + 1 ≤ a2 .
Wachstum der Kaninchen-Population
Induktionsanfang: 0 = F0 ≤ a0 = 1 und 1 = F1 ≤ a1 ist richtig für
alle a ≥ 1.
Induktionsschritt:
IV
!
Fn+1 = Fn + Fn−1 ≤ an + an−1 ≤ an+1 .
Wir müssen das minimale a > 0 finden mit
an + an−1 ≤ an+1
⇔
a + 1 ≤ a2 .
Das ist die größere der Lösungen der quadratischen Gleichung
a2 = a + 1, also
√
5
1
Φ= +
= 1.618033 . . . ,
2
2
Die Fibonacci-Zahlen in der Natur
34 blau
21 rot
Fibonacci-Aufgaben
Man zeige:
F12 + F22 + . . . + Fn2 = Fn Fn+1 ,
F1 + F2 + . . . + Fn = Fn+2 − 1.
Lösungen der Fibonacci-Aufgaben
Die Behauptungen lassen sich für n = 1, 2 leicht überprüfen.
2
2
F12 + F22 + . . . + Fn2 + Fn+1
= Fn Fn+1 + Fn+1
= Fn+1 (Fn + Fn+1 ) = Fn+1 Fn+2 .
Lösungen der Fibonacci-Aufgaben
Die Behauptungen lassen sich für n = 1, 2 leicht überprüfen.
2
2
F12 + F22 + . . . + Fn2 + Fn+1
= Fn Fn+1 + Fn+1
= Fn+1 (Fn + Fn+1 ) = Fn+1 Fn+2 .
F1 + F2 + . . . + Fn + Fn+1 = Fn+2 − 1 + Fn+1
= Fn+3 − 1.
Folgerungen
Die vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, das für alle rekursiv
aufgebauten Strukturen geeignet ist:
Natürliche Zahlen, zusammenhängende Graphen, rekursiv definierte
Folgen usw.
Folgerungen
Die vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, das für alle rekursiv
aufgebauten Strukturen geeignet ist:
Natürliche Zahlen, zusammenhängende Graphen, rekursiv definierte
Folgen usw.
Beim Induktionsanfang müssen alle ”Wurzeln” der rekursiven
Struktur berücksichtigt werden. Beispiel: Bei den Fibonacci-Zahlen
sind das F0 und F1 .
Fundamentalsatz der Arithmetik
Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Fundamentalsatz der Arithmetik
Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
1 ist keine Primzahl.
Fundamentalsatz der Arithmetik
Eine natürliche Zahl p heißt Primzahl, wenn sie genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
1 ist keine Primzahl.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik) Ist p1 = 2, p2 = 3,
p3 = 5, . . . die Folge der Primzahlen, so gibt es zu jeder natürlichen
Zahl a > 1 eindeutige Exponenten r1 , . . . , rk ∈ 0 mit
N
a = p1r1 p2r2 . . . pkrk ,
rk > 0.
Eine Anwendung des Fundamentalsatzes
Satz Die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl a ist ganzzahlig oder
irrational, also in keinem Fall eine gebrochene rationale Zahl.
Eine Anwendung des Fundamentalsatzes
Satz Die n-te Wurzel einer natürlichen Zahl a ist ganzzahlig oder
irrational, also in keinem Fall eine gebrochene rationale Zahl.
√
Beweis: ist ähnlich wie der Beweis, dass 2 irrational ist.
Widerspruchsannahme:
√
n
a=
p
,
q
p, q ∈
N.
Eine Anwendung des Fundamentalsatzes
Potenzieren ergibt
qn a = pn .
Eine Anwendung des Fundamentalsatzes
Potenzieren ergibt
qn a = pn .
Wir bezeichnen die Exponenten in den Primfaktorzerlegungen von
p, q, a mit pl , ql , al . Es muss dann gelten
nql + al = npl
für alle l .
Eine Anwendung des Fundamentalsatzes
Potenzieren ergibt
qn a = pn .
Wir bezeichnen die Exponenten in den Primfaktorzerlegungen von
p, q, a mit pl , ql , al . Es muss dann gelten
nql + al = npl
für alle l .
Das kann aber nur dann sein, wenn alle Exponenten von a Vielfache
von n sind, was bedeutet, dass die n-te Wurzel von a ganzzahlig ist.
Die ganzen Zahlen
sind
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die ganzen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe (genauere
Definition später).
Die ganzen Zahlen
sind
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die ganzen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe (genauere
Definition später).
Es gilt das Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c).
Die Null ist neutral: a + 0 = a.
Die ganzen Zahlen
sind
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die ganzen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe (genauere
Definition später).
Es gilt das Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c).
Die Null ist neutral: a + 0 = a.
Zu jedem a ∈ gibt es ein inverses Element −a ∈
a + (−a) = 0.
Z
Z mit
Die ganzen Zahlen
sind
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}.
Die ganzen Zahlen bilden eine abelsche Gruppe (genauere
Definition später).
Es gilt das Assoziativgesetz
(a + b) + c = a + (b + c).
Die Null ist neutral: a + 0 = a.
Zu jedem a ∈ gibt es ein inverses Element −a ∈
a + (−a) = 0.
Die Operation + ist kommutativ: a + b = b + a.
Z
Z mit
Teiler und Kongruenz
Mit a, b bezeichnen wir von nun an immer ganze Zahlen.
Teiler und Kongruenz
Mit a, b bezeichnen wir von nun an immer ganze Zahlen.
Wir schreiben a | b, wenn a ein Teiler von b ist, wenn also b = aq
für eine ganze Zahl q.
Teiler und Kongruenz
Mit a, b bezeichnen wir von nun an immer ganze Zahlen.
Wir schreiben a | b, wenn a ein Teiler von b ist, wenn also b = aq
für eine ganze Zahl q.
a ist kongruent zu b modulo m, wenn die natürliche Zahl m ein
Teiler von b − a ist. Dann schreiben wir a ≡ b mod m. Die Zahl m
heißt Modul der Kongruenz.
Kongruenz
Es gilt
a≡b
mod m
⇔
m|a−b
⇔
Z
a = b + qm für ein q ∈ .
Kongruenz
Es gilt
a≡b
mod m
⇔
m|a−b
⇔
Z
a = b + qm für ein q ∈ .
Ist a eine natürliche Zahl, so hinterlässt sie beim Teilen durch m
einen Rest in der Menge {0, 1, . . . , m − 1}. Zwei natürliche Zahlen
a, b sind genau dann kongruent modulo m, wenn sie beim Teilen
durch m den gleichen Rest besitzen.
Kongruenz
Es gilt
a ≡ b mod m, c ≡ d mod m
⇒
a ± c ≡ b ± d mod m,
ac ≡ bd mod m.
Kongruenz
Es gilt
a ≡ b mod m, c ≡ d mod m
⇒
a ± c ≡ b ± d mod m,
ac ≡ bd mod m.
Aus diese Regeln folgt: Ist p(x) ein Polynom mit ganzzahligen
Koeffizienten, so gilt
a≡b
mod m ⇒ p(a) ≡ p(b)
mod m.
Beispiel
Gibt es ein Polynom p mit ganzzahligen Koeffizienten mit
p(7) = 11 und p(15) = 13 ?
Beispiel
Gibt es ein Polynom p mit ganzzahligen Koeffizienten mit
p(7) = 11 und p(15) = 13 ?
Lösung: Es gilt 7 ≡ 15 mod 4, aber 11 6≡ 13 mod 4. Ein solches
Polynom gibt es daher nicht.