2. Kontinuierliche Massenänderung

2. Kontinuierliche Massenänderung
●
●
●
Untersucht wird ein Körper, der kontinuierlich Masse
ausstößt.
Es sollen zunächst keine äußeren Kräfte auf den Körper
wirken.
Bezeichnungen:
–
Masse des ausstoßenden Körpers: m(t)
–
Pro Zeiteinheit ausgestoßene Masse: Massenstrom μ(t)
–
Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse relativ zum
ausstoßenden Körper: Ausstoßgeschwindigkeit w
Prof. Dr. Wandinger
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-1
2. Kontinuierliche Massenänderung
●
Impulserhaltungssatz für das Zeitintervall dt :
–
Impuls zum Zeitpunkt t :
–
Impuls zum Zeitpunkt t + dt :
p t =m t  v t 
p t dt =m tdt  v t dt t dt  v t dt w t  
ausstoßender Körper
–
ausgestoßene Masse
Größen zum Zeitpunkt t + dt :
mt dt =mt −t dt , v tdt =v t d v
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-2
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
–
Damit:
p t dt =  mt −t  dt   v t d v  t dt  v t d vw t  
=m t  v t m t  d vt  w t dt
Glieder höherer Ordnung
Impulserhaltung (keine äußeren Kräfte): p t = p tdt 
mt  v t =mt  v t mt d vt  w t dt
dv
 mt 
t t  w t =0
dt

d v t 
mt 
t =−t  wt 
dt
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-3
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Mit der Schubkraft
S=− w
folgt schließlich
mt 
dv
=S
dt
–
Die Schubkraft ist proportional zum Massenstrom und zur
Ausstoßgeschwindigkeit.
–
Sie wirkt entgegengesetzt zu w auf den ausstoßenden Körper.
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-4
2. Kontinuierliche Massenänderung
●
Beispiel:
–
Zur Bahnkorrektur eines Satelliten wird vom Zeitpunkt t1 bis
zum Zeitpunkt t2 ein Triebwerk eingeschaltet.
–
Das Triebwerk hat eine konstante Ausstoßgeschwindigkeit
w = cS (Strahlgeschwindigkeit ) und einen konstanten
Massenstrom μ.
–
Gesucht ist die Geschwindigkeitsänderung
Δv = v2 – v1 .
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-5
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Für die Masse des Satelliten gilt
mt =mt 1 −  t−t 1  =m1 −  t −t 1 
–
Aus dem Impulssatz folgt:
mt 
–
dv
dv
= m1−  t−t 1  
=− c S
dt
dt
Trennung der Veränderlichen führt auf
dt
d v=−c S
m1−  t−t 1 
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-6
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Integration ergibt:
v2
t2
1
1
dt
∫ d v=−c S ∫ m −  t−t 
v
t
1
1
m1−  t 2−t 1 
 v2 −v1=c S [ ln  m1−  t−t 1   ]t =c S ln
m1
Mit m2=m1−  t 2−t 1  folgt daraus:
t2
1
–


m1
 v=v 2−v1 =−c S ln
m2
 
–
Diese Gleichung wird als Raketenformel von Ziolkowsky
bezeichnet.
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-7
2. Kontinuierliche Massenänderung
●
Zusätzliche äußere Kraft:
–
Wenn zusätzlich eine äußere Kraft F auf den Körper wirkt,
dann gilt für die Änderung des Impulses
pt dt − p t =F dt  mt 
–
Daraus folgt:
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mt 
dv
t t  w t =F
dt
dv
=FS
dt
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-8
2. Kontinuierliche Massenänderung
●
Systeme mit mehreren
Massenströmen:
–
Einströmen: S E =E w E
–
Ausströmen: S A =− A w A
μ3, w3
–
F2
v
–
F1
K, m
μ2, w2
Die Massenströme μE und
μA sind immer positiv.
Die Geschwindigkeiten
wE und wA sind Geschwindigkeiten relativ
zur Geschwindigkeit v
des Körpers.
μ1, w1
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-9
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Mit diesen Vereinbarungen gilt:
m v̇=∑ S∑ F
–
In Komponenten:
m v̇ x =
m v̇ y =
m v̇ z =
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∑ S x ∑ F x
∑ S y ∑ F y
∑ S z ∑ F z
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-10
2. Kontinuierliche Massenänderung
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Beispiel: Förderband
L
H
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α
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-11
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
–
Auf das dargestellte
Förderband, das mit der
Geschwindigkeit vB umläuft, fällt Sand frei aus
der Höhe H. Die wirksame Bandlänge ist L,
der Steigungswinkel α.
Zu bestimmen ist die für
den Transport notwendige Zugkraft im Band.
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–
Daten:
●
Bandlänge L = 10m
●
Höhe H = 1m
●
Winkel α = 20°
●
●
Bandgeschwindigkeit
vB = 1,20m/s
Massenstrom des
Sandes: μ = 300kg/s
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-12
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Sand auf Band freigeschnitten:
y
SA
x
R
SE
α
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mg
N
1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-13
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Der Schwerpunkt des auf dem Band befindlichen Sandes
bleibt in Ruhe.
–
Schubkräfte durch Massenströme:
●
Einströmend: Die Schubkraft wirkt in Richtung der
Einströmgeschwindigkeit und hat die Größe
S E = v S
●
mit
vS= 2 g H
Ausströmend: Die Schubkraft wirkt entgegen der
Ausströmgeschwindigkeit und hat die Größe
S A = v B
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-14
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
–
Kräfte:
●
Gewichtskraft mg
●
Reibkraft R, die das Band auf den Sand ausübt
●
Normalkraft N, die das Band auf den Sand ausübt
Da sich die Geschwindigkeit des Schwerpunktes nicht
ändert, müssen die Kräfte im Gleichgewicht sein:
∑ F x =0:
− v S sin −m g sin R− v B =0
 R=  v S sin v B  m g sin 
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-15
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Masse des Sandes:
●
●
Im Zeitintervall Δt bewegt sich das Band um die Strecke
Δx = vB Δt weiter.
In diesem Streckenintervall befindet sich die Masse
 m=  m / L   x
●
Diese Masse fällt im betrachteten Zeitintervall vom Band. Also
gilt:
m
m
L
 x= v B  t=  t  m=
L
L
vB
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-16
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
Band freigeschnitten:
N
y
FB
x
R
N2
α
N1
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-17
2. Kontinuierliche Massenänderung
–
–
Die gesuchte Zugkraft FB folgt aus dem Gleichgewicht in xRichtung:
∑ F x =0 : − R F B =0  F B =R
Zahlenwerte:
●
Einströmgeschwindigkeit:
2
v S =  2 g H = 2⋅9,81 m/ s ⋅1,0 m=4,43 m/ s
●
Masse des Sandes auf dem Band:
 L 300 kg /s⋅10 m
m=
=
=2500 kg
vB
1,2m/s
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-18
2. Kontinuierliche Massenänderung
●
Zugkraft im Band:
F B =R=  v S sin v B  m g sin 
F B =300 kg / s  4,43⋅sin20°1,2  m/ s
2500 kg⋅9,81 m/s 2⋅sin 20°
=815 N 8388 N =9203 N
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1. Körper mit veränderlicher Masse
Dynamik 2 1.2-19