1. Diskrete Massenänderung
Werbung
1. Diskrete Massenänderung ● Betrachtet wird ein Körper K, der einen Teil seiner Masse abstößt: – Anfangsmasse des Körpers: m0 – Geschwindigkeit des Körpers vor dem Abstoß: v0 – Geschwindigkeit des Körpers nach dem Abstoß: v1 – Abgestoßene Masse: Δm – Geschwindigkeit der abgestoßenen Masse relativ zum Körper nach dem Abstoß: w Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-1 1. Diskrete Massenänderung – Die Ausstoßgeschwindigkeit w ist die Geschwindigkeit relativ zum Körper K, mit der die abgestoßene Masse Δm den abstoßenden Körper verlässt. – Zum Zeitpunkt des Verlassens hat der Körper K die Geschwindigkeit v1. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-2 1. Diskrete Massenänderung Vor Abstoßung: v1+ w Nach Abstoßung: w v1 Δm v1 m0 m0-Δm v0 Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-3 1. Diskrete Massenänderung – Bekannt sind m0, v0, Δm und w. – Gesucht ist v1. – Die gesuchte Geschwindigkeit v1 kann aus dem Impulserhaltungssatz ermittelt werden. – Dazu werden beide Massen zusammen als ein System betrachtet. – Auf dieses System wirken keine äußeren Kräfte. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-4 1. Diskrete Massenänderung – Impuls vor dem Abstoßen: p0 =m0 v 0 – Impuls nach dem Abstoßen: p1= m0 − m v1 m v1w – Da keine äußeren Kräfte wirken, ist der Impuls vor dem Abstoßen gleich dem Impuls nach dem Abstoßen: m0 v0 = m0 − m v1 m v1w – Daraus: m0 v0 =m 0 v1 m w Prof. Dr. Wandinger v1=v 0 − 1. Körper mit veränderlicher Masse m w m0 Dynamik 2 1.1-5 1. Diskrete Massenänderung – Geschwindigkeitsänderung: v=v 1−v 0 =− ● ● m w m0 Die Geschwindigkeitsänderung ist proportional zur ausgestoßenen Masse und zur Ausstoßgeschwindigkeit. Sie ist entgegengesetzt zur Ausstoßgeschwindigkeit gerichtet. Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-6 1. Diskrete Massenänderung ● Beispiel: – – Ein Schwimmer springt aus einem Boot ins Wasser. Gegeben: ● ● mS – mB w x Prof. Dr. Wandinger Absprunggeschwindigkeit w Gesucht: ● vB Masse des Bootes mB und Masse des Schwimmers mS Geschwindigkeit vB des Bootes nach dem Absprung 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-7 1. Diskrete Massenänderung – Es wird angenommen, dass das Boot reibungsfrei im Wasser gleitet. – Mit m 0 =m S m B , m=m S und v 0 =0 folgt für v B =v 1 : mS v B =− w m BmS – Zahlenbeispiel: m S =70 kg m B =420 kg w=−14 km/ h Prof. Dr. Wandinger 70 kg vB= ⋅14 km/ h=2 km/h 490 kg 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-8 1. Diskrete Massenänderung – Kräftebilanz, wenn der Schwimmer mit der konstanten Beschleunigung aS anläuft: ● ● mS ● F mB ● F x Prof. Dr. Wandinger Der Schwimmer hat beim Absprung die Absolutgeschwindigkeit v S =wv B . Anlauf mit konstanter Beschleunigung: v S wv B v S =a S t t= = aS aS Impulssatz für Schwimmer: m S a S =−F Impulssatz für Boot: m B a B =F =−m S a S 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-9 1. Diskrete Massenänderung ● Geschwindigkeit des Bootes bei Absprung: mS wv B v B=a B t=− a S⋅ mB aS mS mS mS mB mS v B 1 =− w v B =− w=− w mB mB mS m B m S 1 mB Prof. Dr. Wandinger 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-10 1. Diskrete Massenänderung ● Betrachtet wird ein Körper K, der eine Masse einfängt: – – – – Anfangsmasse des Körpers: m0 – Geschwindigkeit der eingefangenen Masse relativ zum Körper vor dem Einfangen: w – Impulserhaltungssatz: m0 v 0m v 0w = m0 m v 1 Geschwindigkeit vor dem Einfangen: v0 Geschwindigkeit nach dem Einfangen: v1 Eingefangene Masse: Δm Prof. Dr. Wandinger – Daraus: v 1=v 0 1. Körper mit veränderlicher Masse m w m0 m Dynamik 2 1.1-11 1. Diskrete Massenänderung ● Zusammenfassung: Ausstoßen m0 Masse vor Ausstoßen Δm v0, v1 w ausgestoßene Masse Geschwindigkeit der ausstoßenden Masse vor und nach Ausstoßen Geschwindigkeit der ausgestoßenen Masse relativ zu v1 m v1=v 0 − w m0 Prof. Dr. Wandinger Einfangen Masse vor Einfangen eingefangene Masse Geschwindigkeit der einfangenden Masse vor und nach Einfangen Geschwindigkeit der eingefangenen Masse relativ zu v0 m v1=v 0 w m0 m 1. Körper mit veränderlicher Masse Dynamik 2 1.1-12
