4.4-10 Fundamentalgleichung für die Entropie Entropie S [S] = J/K

Fundamentalgleichung für die Entropie
Entropie S
spezifische Entropie: s = S/m
[S] = J/K
molare Entropie:
sm = S/n
Mit dem 1. Hauptsatz für einen reversiblen Prozess
und der Definition für die Entropie
folgt die Fundamentalgleichung für die Entropie:
Zustandsgleichung für die Entropie
4.4-10
Mit der Fundamentalgleichung können wir Zustandsgleichungen für die
Entropiefunktion auch aus anderen Zustandsgrößen bestimmen.
Beispiel: Falls die Entropie als Funktion von Temperatur und Volumen
aufgefasst wird
folgt mit
nach Einsetzen
Damit sind die partiellen Ableitungen in (*) auf leicht messbare und bereits bekannte
Größen zurückgeführt:
4.4-11
Integration der Fundamentalgleichungen
oder
liefert
bzw.
Die Integrale lassen sich mit den Stoffgesetzen auswerten
Da die Entropie eine extensive Größe ist, führt ein Massenstrom den Entropiestrom
Damit können wir die Entropiebilanz auch für offene Systeme formulieren.
4.4-12
Entropie des idealen Gases
Gesucht:
für ideales Gas mit kalorischer und thermischer Zustandsgleichung
Fundamentalgleichung
Integriert:
Für konstante Wärmekapazität:
4.4-13
Analog:
Ideales Gas:
Fundamentalgleichung:
Integriert:
Für konstante Wärmekapazität:
4.4-14
Spezialfall: Isentrope Zustandsänderung des idealen Gas:
Vergleich mit der Isentropenbeziehung
zeigt:
Beim idealen Gas mit konstanten spezifischen Wärmen stimmt der
Isentropenexponent k mit dem Verhältnis der spezifischen Wärmen κ überein:
Es folgt weiterhin:
4.4-15
Entropie bei der idealen Flüssigkeit
Da die ideale Flüssigkeit inkompressibel ist,
, bietet es sich an von der
Fundamentalgleichung in der Form
auszugehen.
Ferner gilt für die ideale Flüssigkeit:
Für die Entropie folgt:
Integriert:
Für konstante Wärmekapazität:
Für die ideale Flüssigkeit bedeutet isotherm auch isentrop!
4.4-16
Beispiel: Nassdampfgebiet
Reine Stoffe im Nassdampfgebiet
Wegen
folgt mit p, T = const durch integration:
mit der Verdampfungsenthalpie r = h”- h’.
Zahlenbeispiel:
Wasserdampf wird bei p = 1 atm von ϑ1 = 200 °C auf ϑ2 = 20 °C abgekühlt.
3 Schritte: 1. Abkühlung des Dampfes von 200 °C auf 100 °C
2. Kondensation
3. Abkühlung des Wassers von 100 °C auf 20 °C
4.4-17
Entropieänderung:
Aus Wasserdampftafel (interpoliert)
p = 0,10135 MPa
Dampf:
Kondensation:
Flüssigkeit:
Gesamt:
4.4-18
4.5 Entropiebilanz
4.5.1 Allgemeine Entropiebilanz
2. Hauptsatz
4.5-1
4.5.2 Entropieflüsse
• Energieflüsse über Systemgrenzen werden unterschieden
in Arbeit, Wärme und Energiefluss durch Massenströme
• Je nach Qualität der zu- oder abgeführten Energie wird
dem System auch Entropie zugeführt oder entzogen
Reversible Arbeit: kein Entropiestrom
Reversible Wärme:
Massenstrom:
4.5-2
Entropiefluss durch reversible Arbeit
Betrachte adiabates System
1. Hauptsatz:
Fundamentalgleichung:
Entropiebilanz:
⇒
Reversible Arbeit führt keine Entropie mit sich!
(Zustandsänderung: adiabat & reibungsfrei ⇒ isentrop
4.5-3
Entropiefluss durch Wärmestrom
Betrachte nicht-adiabates System
1. Hauptsatz:
Fundamentalgleichung:
Entropiebilanz:
Daraus folgt:
Wird derselbe Wärmfluss nicht reversibel übertragen gilt (vgl. 4.5-7):
4.5-4
Entropiebilanz
Die Entropie S eines Systems ändert sich durch Zu- und Abfuhr durch die mit Stoffund Wärmeströmen über die Systemgrenzen mitgeführte Entropie und durch
Bildung innerhalb des Systems.
und
sind die spezifischen
Entropien der ein- und austretenden
Massenströme
und
,
die Entropieströme durch Wärmezufuhr über die Systemgrenzen.
Die im System entropiebildenden irreversiblen Prozesse
erhöhen stets
die Entropie (2. Hauptsatz):
4.5-5
Beschreibt die so definierte Zustandsgröße Entropie die
Irreversibilität von Prozessen?
Wir wollen zeigen, dass sich die Entropie in unterschiedlicher Weise ändert,
je nachdem ob der Prozess als reversibel oder irreversibel betrachtet werden soll.
Vergleich mit 1. Hauptsatz für geschlossene Systeme in differentieller Form
4.3-6
Beispiel: Stationäre Wärmeleitung durch feste Wand
Entropiebilanz innerhalb der Wand
1. Hauptsatz:
Entropieproduktion in der Wand durch irreversiblen Wärmefluss:
Reversibler Wärmeübergang nur bei verschwindender Temperaturdifferenz!
4.5-7
Entropiebilanz außerhalb der Wand
Die Zustandsänderungen in den Systemen 1 und 2 werden als reversibel betrachtet
(kein Temperaturgradient).
Die Entropieänderungen sind
Somit ist wegen (Bilanzsystem Wand)
Der Entropiefluss in System 2 gleich dem Entropiefluss
aus System 1 plus der Entropieproduktion im
wärmeleitenden Gebiet (Wand).
4.5-8
Betrachtung der Kelvin-Planck-Arbeitsmaschine
• Wie groß muss der abgeführte Wärmestrom mindestens sein?
Entropiebilanz:
• Für
wäre
im Widerspruch zum 2. Hauptsatz!
• Da
sein muss, folgt mit
• Für den maximal erreichbaren Wirkungsgrad folgt:
← Carnotscher Wirkungsgrad ηC
4.5-9
Der Carnot-Prozess
Sadi Nicolas Léonard Carnot
1 Juni 1796 - 24 Aug. 1832
4.5-10
Eine idealisierte, reversible Maschine muss folgende Bedingungen erfüllen:
Jeder Vorgang muss zu jedem Zeitpunkt umkehrbar sein, das heißt, nach der
Rückkehr zum Anfangszustand darf in der Umgebung keine bleibende
Veränderung zurückbleiben.
Der Vorgang muss dazu reibungsfrei ablaufen
und
es dürfen keine endliche Temperaturunterschiede zwischen dem
Arbeitsmedium und den Wärmereservoirs auftreten.
(Quasistationäre Zustandsänderung, Folge von Gleichgewichtszuständen)
4.5-11
Entwurf einer solchen Maschine:
Arbeitsmedium in einem Zylinder mit reibungsfreiem Kolben
Zwei Wärmereservoirs von unterschiedlicher Temperatur:
1. Schritt:
adiabate und reibungsfreie Kompression
2. Schritt:
isotherme Expansion bei Temperatur Th
3. Schritt:
adiabate und reibungsfreie Expansion
4. Schritt:
isotherme Kompression bei Temperatur Tk
4.5-12
Darstellung im p,v- und T,s-Diagramm
4.5-13
Schaltschema dieses idealisierten Prozesses durch Hintereinanderschaltung
stationärerer Fließprozesse
Adiabate und reibungsfreie Kompression im Verdichter:
p1, T1=Tk → p2, T2=Th
Isotherme Expansion in der Turbine unter Wärmezufuhr:
p2 → p3 mit Th = const
Adiabate und reibungsfreie Expansion in einer Turbine:
p3, T3=Th → p4, T4=Tk
Isotherme Kompression im Verdichter unter Wärmeabfuhr: p4 → p1 mit Tk = const
4.5-14
Zu- und abgeführte Wärmen, wenn zur Vereinfachung der Rechnung
ideales Gas vorausgesetzt wird:
1 – 2: Adiabate Kompression:
2 – 3: Isotherme Expansion:
3 – 4: Adiabate Expansion:
4 – 1: Isotherme Kompression:
Damit wird:
4.5-15
Damit ergibt sich für den thermischer Wirkungsgrad
Wärmezufuhr erfolgt bei der maximalen Temperatur Th ,
Wärmeabfuhr bei der minimalen Temperatur Tk.
, obwohl ein idealisierter, verlustloser Prozess betrachtet wurde!
Carnot-Faktor:
ηC = 1 – Tmin /Tmax
Er gibt an, welcher Anteil der Wärme maximal in Arbeit umgewandelt werden kann!
4.5-16
ist der in einer thermischen Arbeitsmaschine maximal erreichbare
Wirkungsgrad.
Dabei ist egal, wie die Maschine tatsächlich konstruiert ist, und welches
Arbeitsmedium genutzt wird.
Dies wurde anhand der Kelvin-Planck Maschine gezeigt (vgl. 4.5-9).
4.5-17
Betrachtung der Clausius Kältemaschine
• Wie groß muss die zugeführte Arbeit mindestens sein?
Entropiebilanz:
Mit der Energiebilanz
folgt
• Für
wäre
im Widerspruch zum 2. Hauptsatz!
• Da
sein muss, folgt wegen
• Für die maximal erreichbare Leistungszahl folgt:
← Carnotsche Leistungszahl εC
4.5-18
4.6 Exergie
Die Exergie bezeichnet die maximale Arbeit, die in einem reversiblen
Prozess beim Austausch mit einer vorgegebenen Umgebung (z. B. pu, Tu,
hu , su , c = 0, z = 0) gewonnen werden kann.
Flussbild für die reversible Maschine
Exergie der Wärme:
Anergie der Wärme :
4.6-1
4.6.1 Exergie und Anergie eines Wärmestroms
Energiebilanz an der stationären reversiblen Maschine:
Mit
folgt:
Entropiebilanz:
Exergiestrom:
mit dem Carnot-Faktor
Anergiestrom
4.6-2
4.6.2 Exergie und Anergie eines Stoffstroms
Ausgangspunkt: stationäres, offenes System
Energiebilanz für den stationären Fließprozess
In der Bilanz sind für die Durchführung der Rechnung zuzuführende ( ) und
abzuführenden Wärme (
) getrennt aufgeführt.
Entropiebilanz:
Entropie der reversiblen
Wärmeaustauschprozesse
4.6-3
Gesamtexergiestrom
durch Wärme und Stoffströme:
Für maximale Arbeit ist der Zustand 2 der Umgebungszustand, 2 → u,
und c2 = 0, z2 = 0 sowie der Prozess reversibel:
Exergie des Wärmestroms
Exergie des Stoffstroms
Exergie des Stoffstroms:
Exergie der Enthalpie
Anergie des Stoffstroms:
Die mitgeführten kinetischen und potentiellen Energien sind demnach reine Exergie.
4.6-4
Beispiel: Exergie der inneren Energie
Geschlossenes System im Zustand p1,T1 wird auf den Umgebungszustand pu,Tu gebracht.
Damit ist eine Volumenänderung verbunden.
Betrachte geschlossenes Zylinder-Kolbensystem
Die an der Kolbenstange abführbare Nutzarbeit muss dann die
in der inneren Energie U gespeicherte Exergie EU darstellen.
Die maximale Nutzarbeit erhalten wir für einen reversiblen
Prozess. Es ist damit:
Die Volumenänderungsarbeit errechnet sich aus dem 1. Hauptsatz zu:
Daraus folgt für die Exergie der inneren Energie:
4.6-5
Die in dieser Formel enthaltene Wärme ist eine prozessabhängige Größe, die wir durch
Zustandsgrößen ausdrücken wollen.
Wir benutzen die Definition der Entropie
und konstruieren einen reversiblen
Prozess der vom Zustand 1 zum Umgebungszustand u führt, um die Entropieänderung zu
berechnen.
Eine Möglichkeit obige Definitionsgleichung für
die Entropie integrieren zu können, ist es, eine
isentrope und eine quasistatische isotherme
Zustandsänderung hintereinanderzuschalten.
Für die ausgetauschte Wärme erhalten wir damit
und für die Exergie EU der inneren Energie:
4.6-6
4.6.2 Exergiebilanzen und exergetische Wirkungsgrade
Der Wärmestrom Q wird bei der Temperatur Tm zugeführt.
Der Wärmestrom Q0 wird bei T0 ≥ Tu abgeführt.
Bei nicht reversiblen Prozessen:
Exergieverluststrom
4.6-7
Bilanz des Exergiestromes:
Gewonnene Leistung:
Wirkungsgrade
Thermischer Wirkungsgrad:
Exergetischer Wirkungsgrad:
4.6-8