Theorie - Rainer Hauser

Punktmengen
Kreis:
Die Menge aller Punkte P, die von einem Punkt den
Abstand r haben, heisst Kreislinie oder Kreis: k(M, r)
Mittelsenkrechte:
Die Menge aller Punkte P, die von den zwei Punkten
A und B den gleichen Abstand haben, heisst Mittelsenkrechte der Strecke AB: mAB
r
P
k
M
P
A
B
.
M
g1
.
Mittelparallele:
Die Menge aller Punkte P, die von zwei Parallelen
g1 und g2 den gleichen Abstand haben, ist die
Mittelparallele: m
P
m
.
Parallelenpaar:
Die Menge aller Punkte P, die von einer Geraden g
den Abstand a haben, ist das Parallelenpaar g1, g2
zu g im Abstand a
g2
P1
g1
a
.
.
g
a
P2
g2
g
w2
Winkelhalbierende:
Die Menge aller Punkte P, die von zwei sich schneidenden Geraden g und h den gleichen Abstand haben, ist das Paar der Winkelhalbierenden w1, w2 der
Winkel dieser Geraden
w1
h
Satz:
Die beiden Winkelhalbierenden w1 und w2 stehen senkrecht aufeinander.
Beweis:
Der Winkel von der Geraden h zu w1 ist a, und derjenige von w1 zu g
ist ebenfalls a. Der Winkel von g zu w2 ist b, und derjenige von w2 zu
h ist wieder b. Zusammen gibt das 2 . a + 2 . b = 180°. Somit ist der
Winkel zwischen den beiden Winkelhalbierenden a + b = 90°.
Q.E.D.
Der Durchschnitt von Punktmengen:
Beispiel:
Der Durchschnitt einer Geraden g und
eines Kreises k: g k = {P1, P2}
r
M
P1
k
P2
g
Rainer Hauser 2008
Dreiecke
Dreiecke klassifiziert man nach den Seiten und den Winkeln:
Seiten
ungleichseitig
gleichschenklig
gleichseitig
grösster
Winkel
spitzwinklig
stumpfwinklig
rechtwinklig
Satz: Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180°: a + b + g = 180°
a
C
g
b
b
a
hc
sc
a
A
Wichtige Grössen im Dreieck:
Seiten a, b, c
Winkel a, b, g
Mittelsenkrechte ma, mb, mc
Winkelhalbierende wa, wb, wg
Höhen ha, hb, hc
Seitenhalbierende sa, sb, sc
(heissen auch Schwerelinien)
b
M c
B
Umkreis:
Inkreis:
C
C
ma
B
M
M
wa
A
B
A
M ist der Schnittpunkt der
drei Mittelsenkrechten
M ist der Schnittpunkt der
drei Winkelhalbierenden
Rainer Hauser 2008
Schritte beim Konstruieren
Beispiel: gegeben c = 8cm, a = 70°, g = 80°
1. Aufgabe lesen:
2. Skizze zeichnen:
Tipp: Versuche die gegebenen
Grössen möglichst genau zu
skizzieren.
3. Konstruktion:
Hilfslinien dünn,
Hauptlinien dick.
C
g
A
a
c
B
C’
g g
C
g
h
B
a
c
A
4. Konstruktionsbericht:
1. Strecke der Länge c = 8cm Þ A, B
2. Winkel BAC = a = 70° Þ g
3. Punkt ¹ A auf g wählen Þ C’
4. Winkel g = 80° bei C’ abtragen Þ h
5. Parallele zu h durch B Þ C
Elemente in Konstruktionsberichten:
- Die Geraden g und h sind parallel: g ½½ h
- Die Geraden g und h schneiden sich im Punkt P: g Ç h = {P}
- Die Gerade g und der Kreis k(M, r) schneiden sich: g Ç k(M, r)
- Der Kreis um A mit Radius 5cm: k(A, 5cm)
- Der Punkt P liegt auf der Geraden g: P Î g
Ein Dreieck ist durch das, was gegeben ist, eindeutig bestimmt, wenn es
bis auf Kongruenz nur eine Lösung gibt.
Rainer Hauser 2008
Konstruktion von Dreiecken
Ein Dreieck ist durch drei Seiten
eindeutig bestimmt.
SSS
1. Strecke c Þ A, B
2. Kreis k1(A, b)
3. Kreis k2(B, a)
4. Schnittpunkt k1 Ç k2 Þ C
Ein Dreieck ist durch zwei Seiten
und den eingeschlossenen Winkel
eindeutig bestimmt.
SWS
Ein Dreieck ist durch eine Seite und
zwei Winkel eindeutig bestimmt.
SWW
1. Strecke c Þ A, B
2. Winkel a bei A Þ g
3. Kreis k(A, b)
4. Schnittpunkt k Ç g Þ C
1. Strecke c Þ A, B
2. Winkel b bei B Þ g
3. Punkt ¹ B auf g wählen Þ C’
4. Winkel g bei C’ Þ h
5. Parallele zu h durch A Þ C
WSW
1. Strecke c Þ A, B
2. Winkel a bei A Þ g
3. Winkel b bei B Þ h
4. Schnittpunkt g Ç h Þ C
Ein Dreieck ist durch zwei Seiten
und den Gegenwinkel der grösseren
Seite eindeutig bestimmt.
SsW
1. Winkel g bei C Þ g, h
2. Kreis k(C,a) Ç h Þ B
3. Kreis k’(B,c) Ç g Þ A
Ein Dreieck ist durch zwei Seiten
und den Gegenwinkel der kleineren
Seite nicht eindeutig bestimmt.
Rainer Hauser 2008