Algebra

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Roger Burkhardt
[email protected]
Fachhochschule Nordwestschweiz
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
FS 2009
Roger Burkhardt [email protected]
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
2 Anwendung komplexer Zahlen
in der Wechselstromtechnik
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
2
Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Gesetze der Gleichstromtechnik
Gesetze für Spule und Kondensator
Berechnung mit Differentialgleichungen
Stationäres Verhalten einer Spule (Induktivität)
Stationäres Verhalten eines Kondensators (Kapazität)
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Bauteile in der Modellwelt
Berechnung in der Modellwelt
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Im weiteren wollen wir eine Anwendung der komplexen Zahlen
genauer untersuchen. Bei elektrischen Schaltungen interessiert man
sich oft für die Spannung über den Bauteilen, den Strom in den
Bauteilen und die Leistung die ein Bauteil bezieht. Dabei
unterscheidet man verschiedene Situationen (Gleichstrom- und
Wechselstromtechnik) und verschiedene Betrachtungsweisen
(Einschaltvorgänge oder Grössen bei eingeschwungenem
(stationärem) Zustand). Wir brauchen für die weitere
Untersuchung einige Zentrale Begriffe aus der Elektrotechnik,
welche hier kurz zusammengefasst sind.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Gesetze der Gleichstromtechnik
Ohm’sches Gesetz
R
I
U
U = RI
Maschenregel (Kirchhoff)
R1
U1
⋯
⋯
U q1
P
UQ =
Rn
Un
Fliesst durch einen ohmschen Widerstand der Strom I , so misst man über
dem Widerstand eine zum Strom proportionale Spannung U. Der Proportionalitätsfaktor R nennt man Widerstand.
In einer geschlossenen Masche ist die
Summe der Spannungsabfälle gleich
der Summe der Quellspannungen.
U qm
P
Uab
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Knotenregel (Kirchhoff)
I2
I3
Summe aller Ströme (inklusive Vorzeichen) in einem Knoten ist gleich Null.
⋮
I1
In
P
Ik = 0
Serieschaltung
R1 R2 ⋯ Rn
Rser =
P
Rk
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In Serie (Reihe) geschaltete Widerstände können durch einen Ersatzwiderstand ersetzt werden. Dabei ist
der Widerstand des Ersatzwiderstandes gleich der Summe der einzelnen
Widerstände.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Parallelschaltung
R1 R2 ⋯ Rn
Rpar =
P1 1
Rk
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Parallel geschaltete Widerstände
können durch einen Ersatzwiderstand ersetzt werden. Dabei ist der
Widerstand des Ersatzwiderstandes
gleich dem Kehrwert der Summe der
Kehrwerte der einzelnen Widerstände.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Elektrotechnische Grundkenntnisse
Gesetze für Spule und Kondensator
Spule - Induktivität
L
I t
U L t 
d
UL (t) = L dt
I (t)
Kondensator - Kapazität
C
I t
U C t
UC (t) =
1
C
R
I (t)dt
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Der Spannungsabfall an einer Spule
ist proportional zur Stromänderung.
Der Proportionalitätsfaktor nennt
man Induktivität L der Spule.
Der Spannungsabfall an einem Kondensator ist proportional zur gespeicherten Ladung Q. Die gespeicherte
Ladung ist gleich dem Integral des
Stromes nach der Zeit. Der Proportionalitätsfaktor nennt man Kapazität C
des Kondensators.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Berechnung mit Differentialgleichungen
Die universelle Berechnungsmethode betrachten wir an einigen
Beispielen:
Beispiel (Einschaltvorgang bei Gleichspannung)
Wir wollen eine Spule und einen ohmschen Widerstand in Serie an
eine Gleichspannungsquelle anschliessen und den Strom und die
Spannungsabfälle an den beiden Bauteilen bestimmen.
I t
U R t
U L t 
Uq
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Beispiel (Fortsetzung)
In der gegebenen Schaltung liegt eine geschlossene Masche vor und
daher ist die Summe der Spannungsabfälle gleich der Summe der
Quellspannungen:
UR (t) + UL (t) = RI (t) + L
d
I (t) = Uq
dt
Dies ist eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung mit
konstanten Koeffizienten. Die Lösung dieser Differentialgleichung
liefert uns den Einschaltstrom der Schaltung (um die Lösung zu
berechnen kann z.B. MATLAB verwendet werden):
>>
>>
>>
>>
syms L R Uq I
dgl=’L*DI+R*I=Uq’ => dgl=L*DI+R*I=Uq
lsg=dsolve(dgl) => lsg=Uq/R+exp(-1/L*R*t)*C1
lsg_part=dsolve(dgl,’I(0)=0’)
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Beispiel (Fortsetzung)
=> lsg_part=Uq/R-exp(-1/L*R*t)*Uq/R
Der berechnete Strom und die Spannungsabfälle:
− RL t
U
(t)
=
Uq
1
−
e
R
R
R I (t) = Uq
1 − e− L t
R
UL (t) = Uq e − L t
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Bemerkung
Liegt eine Gleichspannung an einer Schaltung, so berechnen wir
mit der Differentialgleichung das Einschaltverhalten, d.h. den
Übergang von einem stationären Zustand zu einem neuen
stationären Zustand. So haben wir vor dem Einschalten keinen
Stromfluss und nachdem Einschalten steigt der Strom und nähert
sich einem Endwert und ist nachher wieder konstant. Analoges
Verhalten zeigen die Spannungen. Der eigentliche Einschaltvorgang
nennt man auch das transiente Verhalten (Zustandsübergang).
Beispiel (Einschaltvorgang bei Wechselspannung)
Wir wollen eine Spule und einen ohmschen Widerstand in Serie an
eine Wechselspannungsquelle anschliessen und den Strom und die
Spannungsabfälle an den beiden Bauteilen bestimmen.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Beispiel (Fortsetzung)
I t
U R t
U L t 
Uq
Die linke Seite der Differentialgleichung bleibt die selbe, auf der
rechten Seite wird die konstante Quellenspannung durch eine
Wechselspannung ersetzt:
UR (t) + UL (t) = RI (t) + L
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d
b
I (t) = Usin(ωt)
dt
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Beispiel (Fortsetzung)
>> syms L R U I w t
>> dgl=’L*DI+R*I=U*sin(w*t)’ => dgl=L*DI+R*I=U*sin(w*t)
>> lsg=dsolve(dgl)
=> lsg=(-L*U*w*cos(w*t)+U*R*sin(w*t)+exp(-1/L*R*t)*C1*R^2
+exp(-1/L*R*t)*C1*w^2*L^2)/(R^2+w^2*L^2)
>> lsg_part=dsolve(dgl,’I(0)=0’)
=> lsg_part=(-L*U*w*cos(w*t)+U*R*sin(w*t)
+exp(-1/L*R*t)/(R^2+w^2*L^2)*L*U*w*R^2
+exp(-1/L*R*t)/(R^2+w^2*L^2)*L^3*U*w^3)/(R^2+w^2*L^2)
Der berechnete Strom
und Rdie Spannungsabfälle:
b
U
I (t) = R 2 +(ωL)2 ωLe − L t − ωLcos(ωt) + Rsin(ωt)
R
b
UR
UR (t) = R 2 +(ωL)
ωLe − L t − ωLcos(ωt) + Rsin(ωt)
2
b
− RL t
UωL
UL (t) = R 2 +(ωL)
−Re
+
ωLsin(ωt)
+
Rcos(ωt)
2
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Beispiel (Fortsetzung)
Bemerkung
Auch hier erkennt man einen Einschaltvorgang. Betrachten wir
z.B. den Strom in der Schaltung, so haben wir zwei Summanden.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Bemerkung (Fortsetzung)
Der erste Summand beschreibt eine harmonische Schwingung und
der zweite Summand zeigt exponentielles Verhalten. Die
Schwingung ist nicht zeitabhängig (Amplitude und Kreisfrequenz
sind konstant) und beschreibt das Verhalten der Schaltung
nachdem der Einschaltvorgang abgeschlossen ist (partikuläre
Lösung der inhomogenen DGL). Diese Schwingung nennt man
auch das stationäre Verhalten der Schaltung. Das zweite Signal ist
zeitabhängig und beschreibt den Übergang zwischen den
stationären Zuständen (transientes Verhalten der Schaltung partikuläre Lösung der homogenen DGL).
Weiter interessieren wir uns nur noch für das stationäre Verhalten daher wollen wir kurz dass stationäre Verhalten der beiden Bauteile
Spule und Kondensator untersuchen:
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Stationäres Verhalten einer Spule (Induktivität)
Wir legen an eine Spule eine Wechselspannung an und wollen den
Stromfluss in der Spule untersuchen:
L
U q t =
U sin  t
U L t 
d
b
I (t) = Usin(ωt)
= Uq (t)
dt
Z
Z
b
1
1
U
b
I (t) =
UL (t)dt =
Usin(ωt)dt
= − cos(ωt)
L
L
ωL
UL (t) = L
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Bemerkung
Wir stellen zwei Ergebnisse in den Vordergrund:
Der Strom eilt der Spannung um eine Viertelperiode nach.
Das Verhältnis der Amplituden zwischen Spannung und Strom
ist konstant und gleich UILL = XL = ωL.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Stationäres Verhalten eines Kondensators (Kapazität)
Wir legen an einen Kondensator eine Wechselspannung an und
wollen den Stromfluss im Kondensator untersuchen:
C
U q t =
U sin  t
UC (t) =
I (t) = C
1
C
U C t
Z
b
I (t)dt = Usin(ωt)
= Uq (t)
d
d b
b
UC (t) = C Usin(ωt)dt
= ωC Ucos(ωt)
dt
dt
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit Differentialgleichungen
Bemerkung
Wir stellen zwei Ergebnisse in den Vordergrund:
Der Strom eilt der Spannung um eine Viertelperiode vor.
Das Verhältnis der Amplituden zwischen Spannung und Strom
1
ist konstant und gleich UICC = XC = ωC
.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
In diesem Abschnitt betrachten wir nur die stationären Signale
(Vernachlässigung des Einschaltverhaltens (transienter Vorgang))
bei Schaltungen die an einer Wechselspannung angeschlossen sind.
Anstelle der Berechnung mittels Differentialgleichungen arbeiten
wir mit einer Modellwelt für die Grössen und Signale. Da wir
wissen, dass alle Signale (Ströme und Spannungen) ebenfalls
Wechselgrössen (mit der gleichen Kreisfrequenz wie die Quelle)
sind, können wir in einer Modellwelt arbeiten, in der die Zeit nicht
mehr vorkommt. Um eine Wechselgrösse (harmonische
Schwingung) zu beschreiben sind drei Angaben von Bedeutung.
Dies sind:
Amplitude der Schwingung,
Kreisfrequenz der Schwingung und
Anfangsphase der Schwingung.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Da die Kreisfrequenz aller Signale gleich ist, müssen wir diese
Grösse nicht in der Modellwelt mitführen. Um die restlichen beiden
Grössen zu beschreiben wählen wir nun komplexe Zahlen für die
Modellwelt. Eine komplexe Zahl in goniometrischer (oder
exponentieller) Darstellung beinhaltet die beiden Informationen
BETRAG und ARGUMENT. Nun können wir ein Signal wie folgt
durch eine komplexe Zahl (bzw. einen Zeiger) beschreiben:
Zeitbereich ⇔ Bildbereich
Zeitbereich
b
f (t) = Asin(ωt
+ ϕ)
Bildbereich (Modellwelt)
F =
b
A
sqrt2 cis
(ϕ) =
b
A
iϕ
sqrt2 e
Die Elektrotechniker Arbeiten meist nicht mit den Amplituden
sondern mit den Effektivwerten. Bei harmonischen
Signalen ist die
√
Amplitude des Signals um den Faktor 2 grösser als der
Effektivwert.
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Bauteile in der Modellwelt
Impedanz eines Widerstandes
Strom und Spannung an einem Widerstand sind in Phase und das
Verhältnis zwischen Strom und Spannung ist durch den
Widerstandswert gegeben. Daher definieren wir die Impedanz
(Widerstand in der Modellwelt) wie folgt: ZR = R ⇒ UR = ZR IR
Impedanz einer Spule
Die Spannung eilt in einer Spule dem Strom um eine Viertelperiode
vor und das Verhältnis zwischen Strom und Spannung ist durch
XL = ωL gegeben. Daher definieren wir die Impedanz wie folgt:
ZL = iωL ⇒ UL = ZL IL
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Anwendung komplexer Zahlen in der Wechselstromtechnik
Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Impedanz eines Kondensators
Die Spannung eilt in einem Kondensator dem Strom um eine
Viertelperiode nach und das Verhältnis zwischen Strom und
1
Spannung ist durch XC = ωC
gegeben. Daher definieren wir die
1
Impedanz wie folgt: ZC = −i ωC
⇒ UC = ZC IC
Nun können Wechselstromschaltungen in der Modellwelt analog zu
Gleichspannungsschaltungen berechnet werden!
Beispiel
Wir untersuchen die Serieschaltung einer Spule mit einem
Widerstand, welche an eine Wechselquelle angeschlossen sind:
Zeitbereich
Quellspannung:
b
Uq (t) = Usin(ωt)
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→
Bildbereich
Quellspannung:
Uq =
b
U
√
2
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Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Beispiel (Fortsetzung)
Zeitbereich
Bildbereich
Impedanzen:
ZR = R
ZL = iωL
Zser = ZR + ZL = R + iωL
Im
Impedanzdiagramm
Zser
ZL
Re
ZR
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Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Beispiel (Fortsetzung)
Zeitbereich
√ Signale:
I (t) =√ 2 |I | sin(ωt + arg (I ))
UR (t) = √2 |UR | sin(ωt + arg (UR ))
UL (t) = 2 |UL | sin(ωt + arg (UL ))
Bildbereich
Signale:
←
Uq
Zser
b R−iωL
U
√
2 R 2 +ω 2 L2
2
b
UR = IZR = √U RR 2−iωLR
+ω 2 L2
2
2 2
b
+iωLR
UL = IZL = √U RωR 2L+ω
2 L2
2
I =
=
↔
Im
Uq
Re
UL
UR
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I
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Berechnung mit komplexen Zahlen (Bildbereich)
Es ergibt sich somit folgendes Verfahren für die komplexe
Rechnung:
Berechnungsverfahren
Zeitbereich
Gegebene
Signale
Grössen
und
Bildbereich
⇒ Komplexe
Beschreibung
der gegebenen Signale und
Grössen
⇓
(↓)
Problem kann mittels DifProblem kann mittels Algeferentialgleichungen direkt
bra der komplexen Zahlen
gelöst werden!
gelöst werden!
Gesuchte Lösung!
⇐ Lösung im Bildbereich!
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