Klassische Mechanik und Quantenmechanik

Kerstin Hild und Christian Lehn
Klassische Mechanik und Quantenmechanik
22.11.2004
Klassische Mechanik und
Quantenmechanik
Vortrag von Kerstin Hild und Christian Lehn
zum Seminar "Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie"
22.11.04
Gliederung:
I.
II.
III.
IV.
V.
Einleitung
Analogien und Zusammenhänge zwischen Klassischer Mechanik und Quantenmechanik
Quasiklassische Quantenmechanik
a) Hamilton-Jakobi-Theorie
b) Quasiklassische Wellenfunktion
Quasiklassische Approximation
a) WKBJ-Methode
Quantisierung
I. Einleitung
Dieser Vortrag beschäftigt sich im wesentlichen mit dem Übergang zwischen Klassischer
Mechanik und Quantenmechanik.
Neben der Frage inwiefern die Quantenmechanik die Klassische Mechanik als Grenzfall enthält,
betrachten wir auch das inverse Problem, also die Frage wie man durch Quantisieren von Systemen von der Klassischen Mechanik zur Quantemechanik gelangt.
Um einen Einstieg in die Quasiklassiche Quantentheorie zu bekommen, wiederholen wir kurz
die wichtigsten Analogien zwischen Klassischer Mechanik und Quantenmechanik.
II. Analogien und Zusammenhänge
Poisson-Klammer und Kommutator:
{H.F}õ ÅÅÅÅÅÂÑ [H,F]
Nach dem "Quantisieren" wird die Poisson-Klammer der Observablen mit der Hamilton-Funktion durch ihren Kommutator mit dem Hamilton-Operator ersetzt:
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S.1
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Klassische Mechanik und Quantenmechanik
Ehrenfest Theorem:
Christian Lehn und Kerstin Hild
d
1
d
ÅÅÅÅdt
ÅÅ Xx\ = ÅÅÅÅ
Å X p\ , ÅÅÅÅ
Å Xp\ = - X“U\
m
dt
Die Erwartungswerte von Ort und Impuls eines qm.Systems, das klassisch ein Hamiltonsches
wäre, erfüllen die klassischen Bewegungsgleichungen:
Kontinuitätsgleichung:
∑r
“j + ÅÅÅÅ
ÅÅ = 0
∑t
Diese drückt die Wahrscheinlichkeit aus, das Teilchen zu allen Zeiten mit Sicherheit irgendwo
anzutreffen und findet ihr Analogon in der klassischen Kontinuitätsgleichung.
ï Diese Analogien deuten auf einen tiefen Zusammenhang zwischen der klassischen und der
Quantenmechanik hin:
Dies wird durch eine weitere Anologie, auf die Hamilton 1830 aufmerksam machte, untermauert:
geometrische Optik/ Wellenoptik ö Kl. Mechanik/Quantenmechanik
Während in der Quantenmechanik die Beschreibung eines Teilchens durch Wellenfunktionen,
die die Koordinaten des Teilchens festlegen und Lösungen einer partiellen Differentialgleichung
sind, geschieht, ist das Teilchen in der Klassischen Mechanik von materieller Natur und bewegt
sich auf Bahnen, die durch Bewegungsgleichungen festgelegt sind.
Ein ähnlicher Zusammenhang besteht auch zwischen Wellenoptik und geometrischer Optik:
In der Wellenoptik geschieht die Beschreibung elektromagnetischer Wellen durch Vektoren des
elektrischen und magnetischen Feldes, die ein bestimmtes lineares Differentialgleichungssystem
erfüllen (nämlich die Maxwell-Gleichungen). In der geometrischen Optik erfolgt die Lichtausbreitung entlang bestimmter Trajektorien, den Strahlen.
Zusammenhang:
So wie die Wellenoptik für kleine Wellenlängen l Ø 0 in die geometrische Optik übergeht,
so geht die Quantenmechanik für Ñ Ø 0 in die Klassische Mechanik über.
Veranschaulichung:
† man wähle u = a ‰Âj als eine beliebige Feldkomponente in einer elekromgn. Welle (a, j reel):
Der Grenzfall der geometrischen Optik entspricht kleinen Wellenlängen, was bedeutet, dass der
Betrag von j groß angenommen wird.
† in der Quantenmechanik betrachtet man analog eine Wellenfunktion y= y0 ‰ij , bei der j dem
Grenzfall der klassichen Mechanik entsprechend große Werte animmt.
Begründung:
S.2
In der Klassischen Mechanik kann die Bahnkurve eines Teilchens aus dem
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Wert
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Variation srinzip hergeleitet werden. Die Bahnkurve muss das Wirkungsinte
gral minimal machen, das heißt die Wirkung S muss einen minimalen
annehmen (Hamilton Prinzip).
In der geometrischen Optik gehorcht der Lichtstrahl dem Fermatschen Prin
zip, wonach seine optische Weglänge stets minimal sein muss.
Die Phase j muss also im klassischen Fall proportionalzur mechnischen
Wirkung des Systems sein: S= j const., wobei der Proportionalitätsfaktor
gerade Ñ ist und die Einheit einer Wirkung trägt, da j dimensionslos ist.
† Damit kann man der Wellenfunktion eines quasiklassischen physikalischen Systems die Form
Â
y = y0 ‰S ÅÅÅÅÑ
zuordnen.
(II.1)
Bemerkungen:
† Ñ bestimmt den Grad der quantenmechanischen Natur, das heißt es bestimmt über {H.F}õ
ÅÅÅÅÅÂÑ [H,F] den Grad der Nichtkommutativität und über die Unschärferelation den Grad der Delokalisierung.
† Der zu Anfang postulierte Zusammenhang ist jetzt klar: Der einer großen Phase entsprechende
Übergang von der Quantenmechanik zur Klassischen Mechanik wird formal als Ñ Ø 0 geschrieben genauso wie ein Übergang von der Wellenoptik zur geometrischen Optik mit l Ø 0 beschrieben wird.
† Bei der Herleitung von (II.1) ist zu beachten, dass diese formal nicht ganz richtig ist, denn S ist im
eigentlichen Sinne nicht das bekannte Wirkungsintegral, sondern eine Funktion, die an den Randwerten ausgewertet wird, worauf wir weiter unten näher eingehen werden.
III. Quasiklassische Quantenmechanik
† Die Quantenmechanik muss die Klassische Mechanik als Grenzfall für Ñ Ø 0 enthalten.Diese
Forderung ist Inhalt des sogenannten Korrespondezprinzips, das beim Aufbau der Theorie eine
entscheidende Rolle spielte.
Beispiel: Wasserstoffatom
Ein Beispiel für den finiten Charakter von Ñ ist die Existenz diskreter Spektren von Eigenwertenfür bestimmte Observablen. Der Abstand benachbarter Eigenwerte ist von der Größenordnung
Ñ. Damit die klassiche Approximation gerechtfertigt ist,muss dieser Abstand als vernachlässigbar klein angenommen werden. Das ist gerade der Fall für große Quantenzahlen:
1 e2 2 mc2
I ÅÅÅÅÅÅ M ÅÅÅÅnÅ2ÅÅÅÅ ,
Im Wasserstoffatom: En = - ÅÅÅÅ
2 Ñc
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2 n+1
DE = En+1 -En = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ E
Hn+1L2 n
S.3
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Im Grenzfall Ñ Ø 0, ist der Abstand zwischen einem gegebenem Energieniveau En = E und einem
2 n+1
ÅÅÅÅÅ2Å E .
benachbarten Niveau ÅÅÅÅÅÅÅÅ
Hn+1L
Im Grenzprozess geht dann für n Ø ¶ wegen n2 Ñ2 = const., ÑØ 0. (Die auf dem Korrespondenzprinzip beruhende Forderung ist nicht hinreichend, denn die reinen Quanteneffekte (wie z.B. die
Unschärferelation )sind ja nicht an den diskreten Charakter bestimmter Spektren gebunden)
Problem:
Die klassischen Gleichungen entstehen nicht einfach durch Limesbildung aus
den Gleichungen der Quantenmechanik.Vielmehr kommt es zu Singular
itäten,
was deutlich wird, wenn man y = y0 ‰S ÅÅÑÅÅ betrachtet. Es gibt mehrere Möglich
Â
keiten, die Verbindungzur klassischen Mechanik herzustellen, wir wählen -wie
auch schon Schrödinger- jene über die Hamilton-Jakobi Gleichungen.
(a) Hamilton-Jakobi Theorie
ü In der Klassischen Mechanik werden alle Bewegungen durch die Lagrange-Funktion
L(q(t), q° (t), t) charakterisiert mit q(t) = (q1 (t), q2 (t),..., q f (t)).
† im folgenden bildet man:
t
S (qb tb ; qa ta ) ª S (b,a) = Ÿt b LHqHtL, q° HtL, tL dt
a
(IIIa.1)
d.h. man wertet das Wirkungsintegral an zwei Randpunkten ta und tb aus, wobei man sich die
Lösung der Bewegungsgleichung für q(t) eingesetzt denken muss und erhält damit eine Funktion,
die nur von den Randwerten abhängt.
Man muss also den Unterschied zum Wirkungsintegral beachten: Im Wirkungsintegral ist I[q] ein
glattes Funktional von q, wo q eine beliebige glatte Funktion der Zeit mit vorgegebenen Randwerten
ist.
In S(b,a) hat man dagegen die physikalische Lösung q(t) bereits eingesetzt, so dass S(b,a) das
Extremum von I[q] bildet. S(b,a) ist eine gewöhnliche glatte Funktion der Randwerte (qb tb ; qa ta ).
† Ziel ist es nun, eine bestimmte klassische Bahn (Trajektorie) herauszufiltern. Dies geschieht,
indem man Anfangs- und Endkonfigurationen der Bahn vorgibt.
Wenn S nur eine Funktion der Anfangs- und Endwerten ist, muss man nur noch die entsprechenden Impulse finden:
S.4
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† bildet man dazu die Variation von S, so folgt
d ∑L
∑L
∑L
d S(b,a) = Ÿt b dt I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
Å ÅÅÅÅÅÅÅÅ ) dqi + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ d qi … ta ,, tb
dt ∑q°
∑qi
∑q°
t
a
i
i
(IIIa.2)
∑L
d ∑L
ÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ
Å ÅÅÅÅÅÅÅÅ = 0 folgt:
† Mit der Euler- Lagrange Gleichung ÅÅÅÅ
∑qi
dt ∑q°
i
ÅÅÅÅÅ d qi » ta ,, tb = pb,i d qi ( tb ) - pa,i d qi ( ta )
d S(b,a) = ÅÅÅÅ∑L
∑q°
i
damit gilt:
(IIIa.3)
∑
ÅÅ S(b,a) = pb,i ( qb , tb , qa , ta )
pb,i = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑qb,i
(IIIa.4)
∑
ÅÅ S(b,a) = pa,i ( qb , tb , qa , ta )
pa,i = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑qa,i
† Für die zeitliche Änderung von S am Endpunkt b gilt:
∑S °
∑S
dS
ÅÅ qb,i = ÅÅÅÅ∑t∑SÅbÅÅÅ + pb,i q° b,i
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = L (tb ) = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
∑tb
dtb
∑qb,i
(IIIa.5)
† Mit H (tb ) = pb,i q° b,i - L (tb ) folgt dann :
∑S
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + H (tb ) = 0
∑tb
(IIIa.6)
† Hält man (qa , ta ) fest und betrachtet nur die Veränderung in den Variablen (qb , tb ), die man
auch einfach (q,t) nennen kann, so ist (IIIa.6) gerade die Hamilton-Jakobi Gleichung, wenn man
∑S
die Impulse in H (q, p, t) noch durch p = ÅÅÅÅ∑tÅÅ ersetzt.
ï
∑S
∑S
∑S
∑S
ÅÅÅÅÅ , ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , ..., ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , tM = 0
ÅÅÅÅ
ÅÅ + H I q1 , q2 , ..., q f ; ÅÅÅÅ
∑t
∑q1
∑q2
∑q f
(IIIa.7)
Zur Anschauung der Hamilton-Jakobi Gleichungen und als Anknüpfung an die Quantenmechanik
betrachten wir folgendes
Beispiel: System geladener Teilchen im elektromagnetischen Feld
† für die Hamiltonfunktion / Lagrangefunktion gelten:
1
ÅÅÅÅÅ ( pi -fi (t) L2 + V(qi ,..., q f , t)
H = ‚ ÅÅÅÅ
2 mi
i
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(IIIa.8)
S.5
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L = ⁄i ( ÅÅÅÅ12 mi q° i 2 + q° i fi (t)) - V,
Christian Lehn und Kerstin Hild
ei
mit fi (t) = ÅÅÅÅÅ
c Ai (t)
÷”
( A : Vektorpotential, V: skalares Potential, das die Wechselwirkung zwischen den einzelnen Teilchen beschreibt)
† (IIIa.7) nimmt dann die Form
1
∑S
∑S
ÅmÅÅÅiÅ ( ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ -fi L2 + V = 0 an.
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ‚ ÅÅÅÅ
∑t
2
∑qi
i
(IIIa.9)
∑H
† für die Geschwindigkeit gilt dann mit q° i = ÅÅÅÅ
∑ pÅÅÅÅiÅ
1
ÅÅ I ÅÅÅÅ∑SÅÅÅÅ - fi M
q° i = ÅÅÅÅ
mi ∑qi
(IIIa.10)
Fazit:
† Im Vergleich mit den Lagrangeschen und Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gelangt man mit
der Hamilton-Jakobi Gleichung zu einer anderen Beschreibung der Dynamik von Systemen:
An die Stelle vieler gewöhnlicher Differentialgleichungen tritt
eine einzige partielle DGL Diese Gleichung ist in erster Ordnung in der Zeit,
hat f + 1 unabhängige Variablen Hq1 , q2 , ..., q f L und t und eine abhängige,
°
nämlich S. Diese Eigenschaft besitzt aber auch gerade die Schrödinger - Gleichung : iÑ y =
Ñ2
I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ D - UM y Hdieselbe Ordnung in der Zeit,
2m
die gleichen unabhängigen Variablen und y als abhängige Variable.
† Einen erheblichen Unterschied gibt es allerdings:
Die Schrödinger Gleichung ist linear in y (Superpositionsprinzip gilt), die Hamilton-Jakobi Gleichung ist es nicht.
An dieser Stelle ist zu erwähnen, dass Hamilton eine geometrische Interpretat
ion für den Verlauf der Trajetorien gefunden hat, die analog zum Verlauf der Lichtstrahlen ist und
auch eine analoge Interpretation in der Quantenmechanik findet:
Ansatz:
† man setze
ein
† dann folgt:
Â
y0 ‰ ÅÅÅÅÑ SHt,xL
°
Â
Ñ2
y(t,x) = y0 ‰ ÅÅÅÅÑ SHt,xL in die Schrödinger-Gleichung iÑ yHt, xL = - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ Dy(t,x)
2m
°
∑S
∑S
ÅÅÅÅÑÂ SHt,xL = - ÅÅÅÅ
Å
Å
‰
ÅÅ y
y
iÑ y = - ÅÅÅÅ
0
∑t
∑t
und insgesamt:
1
Ñ
∑S
ÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ H“SL2 = Â ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ DS
2m
2m
∑t
und
1
Dy = @- ÅÅÅÅ
ÅÅ H“SL2 + ÅÅÅÅÑÂ DS ]
Ñ2
(IIIa.11)
Ist S so, dass der Term auf der rechten Seite vernachlässigt werden kann, so ist dies nichts anderes
S.6
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als die Hamilton-Jakobische Differentialgleichung, also.
∑S
∑S
ÅÅÅÅ , qk , t) + ÅÅÅÅ
ÅÅ =0
H( ÅÅÅÅ
∑qi
∑t
mit den Bestimmungsgleichungen
∑S
∑S
ÅÅÅÅ , Qk = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ , S= S(q,a,t) mit Pk =ak = const., für den Fall der Hamiltonfunktion H= ÅÅÅÅ2pÅmÅÅÅÅ .
pi = ÅÅÅÅ
∑qi
∑Pk
2
In der Mechanik hatten wir bereits hergeleitet, dass die Teilchenbahnen senkrecht auf den Flächen
S(x,a,t)= const. stehen
Damit ergibt sich für den vorliegenden quantenmechanischen Fall ein interessantes Ergebnis.
Für die Wellenfunktionen y sind die Flächen die Wellenfronten, d.h. die klassischen
Bahnen sind gerade die Orthogonaltrajektorien der Wellenfrontenvon y Ht, x” L
Analogon Optik : Lichtstahlen stehen senkrecht auf den Wellenfronten.
Bemerkung:
Dass die Teilchenbahnenstets senkrecht auf den konstanten Oberflächen stehen, hätte man auch
schon an (IIIa.10) feststellen können, denn dort steht ja nichts anderes als
1
1
ÅÅ I ÅÅÅÅ∑SÅÅÅÅ - fi HtL M = ÅÅÅÅ
ÅÅ “S fl pi = “S
q° i = ÅÅÅÅ
mi ∑qi
mi
(IIIa.12)
(b) Quasiklassische Wellenfunktion
i
ü Wie schon mehrfach angedeutet, taucht Ñ in der Quantenmechanik in Form von ‰ ÅÅÑÅÅ q auf, was
unmittelbar zu der Frage führt, wann q nicht von Ñ abhängt und welche möglicherweise klassische
Bedeutung es dann hat. Wir schreiben an dieser Stelle q anstatt S, weil wir uns die Frage stellen
wollen, in wiefern ein solches q in Beziehung mit dem S aus der Hamilton Jakobi DGL steht.
Ansatz von Brillouin und Wentzel:
i
yHq, tL = ‰ ÅÅÅÅÑ qH q,tL
(IIIb.1)
† für den Hamilton- Operator aus (IIIa.8) nimmt die Schrödinger-Gleichung folgende Gestalt an:
∑y
1
ÅÅÅÅÅ H ÅÅÅÅÑ ÅÅÅÅ∑ÅÅÅÅ -fi L2 + V(q))y = Â Ñ ÅÅÅÅ
ÅÅÅ
(‚ ÅÅÅÅ
2 mi  ∑qi
∑t
(IIIb.2)
i
Ñ
Ñ ∑
Ñ
∑
∑
∑
2
ÅÅÑÅÅ qH q,tL
2 ÅÅÑÅÅ qH q,tL
= ( ÅÅÅÅ
=
( ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
2ÅÅ - ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi -fi L ‰
Â2ÅÅ ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅ
 ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi fi - 2 ÅÅÅÅ
 fi ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi + fi M ‰
i
i
weiter gilt:
2
i
2
∑fi
Ñ ∑fi
Ñ ∑ q
∑ q
∑q
∑q
∑q
2
ÅÅÑÅÅ qH q,tL
ÅÅÑÅÅ qHq,tL
= I ÅÅÅÅ
I ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
2ÅÅ -2 ÅÅÅÅ
2ÅÅ - ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi fi +I ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi M - ÅÅÅÅ
 ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi + fi M ‰
∑qÅÅÅÅi - fi M + ÅÅÅÅ
 ( ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅi )] ‰
i
i
2
2
∑f
ÅÅÅÅi =
† unter Verwendung von ÅÅÅÅ
∑qi
i
0 und
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2
2
Â
∑y
∑q
Â Ñ ÅÅÅÅ
ÅÅÅ = - ÅÅÅÅ
ÅÅ y folgt
∑t
∑t
S.7
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∑q
∑ q
∑q
1
ÅÅÅÅÅÅ [I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - fi M + ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ]+V(q) = - ÅÅÅÅ
ÅÅ
‚i ÅÅÅÅ
∑qi
∑qi 2
∑t
2 mi
2
2
=
- ÅÅÅÅÑÂ
∑q
∑q
ÅÅÅÅ
ÅÅ +
ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅÅÅ I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ - fi M + V(q)
∑t ‚ 2 mi
∑qi
2
ñ
2
1
ÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ∑ÅÅÅÅqÅÅ
‚i ÅÅÅÅ
2 mi ∑qi 2
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i
(IIIb.3)
† setzt man die rechte Seite von (IIIb.3) null (entsprechend Ñ Ø 0), erhält man gerade die HamiltonJakobi Gleichung, und man gelangt zu dem zurück, was schon zu Beginn des Vortrags angedeutet
wurde, nämlich
Â
y ∂ ‰ ÅÅÅÅÑ S ,
Ñ Ø 0
(IIIb.4)
† Da das System beinaheklassische Eigenschaften haben soll, liegt es nahe, q als Potenzreihen
entwicklung in Ñ anzusetzen
q = S + ÅÅÅÅÑÂ S1 + H ÅÅÅÅÑÂ L S2 + ...
2
(IIIb.5)
(mit S(q,t) Lösung der Hamilton-Jacobi Gleichung)
† Gemäß Gleichung (IIIb.3) ist S folglich eine gute Näherung für q, wenn gilt:
∑S
∑S
… ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ … p Ñ … ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ … ,
∑qi
∑qi 2
2
2
∑
» ÅÅÅÅ
ÅÅ ( ÅÅÅÅÑÅ )» ` 1 ñ
∑q p
∑l
» ÅÅÅÅ
ÅÅ » ` 1
∑q
S
ÅÅÅÅ » ` 1 ñ Ñ » ÅÅÅÅpp2ÅÅ » ` 1 ñ
Ñ » ÅÅÅÅ
S £2
Ñ
ÅÅÅÅÅ =
mit ÅÅÅÅ
lHqL
£
≥
oder einfacher
∑S
ÅÅ
p(q) = ÅÅÅÅ
∑q
(IIIb.6)
ï Damit hat man eine quantitative Bedingung dafür gefunden, wann die Teilchenbewegung
quasiklassisch ist: Die Phase der Wellenfunktion ist gerade q= S, wenn sich die Wellenlänge des
Teilchens auf Strecken von der Größenordnung der Wellenlänge selbst nur wenig ändert.
† Treibt man die Näherung weiter, lässt sich eine Gleichung fürS1 aufstellen:
setze
q = S + ÅÅÅÅÑÂ S1 in (III.b3) ein und beachte nur die Terme in 1.Ordnung von Ñ :
∑S1
∑S1
∑ S
∑S ∑S1
∑S
1
Ñ ∑ S1
Einsetzen: ÅÅÅÅ∑S
ÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ +‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ( ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ +fk 2 +2 ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ f -2 ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ f )+V(q) =
∑t
∑t
Â2 ∑qk 2
∑qk ∑qk
∑qk k
∑qk k
2 mk ∑qk 2
2
2
2
∑ S
1
1 Ñ ∑ S1
- ÅÅÅÅÑÂ ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅ2ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ2ÅÅ
2ÅÅ - ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
k 2 mk ∑qk
k 2 mk  ∑qk
k
S.8
2
2
2
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∑S1
∑S ∑S1
∑S
∑ S
1
1
Nur Terme in 1. Ordnung von Ñ beachten: ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ +‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ [2 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ -2 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ f ] = -‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ
∑t
∑qk ∑qk
∑qk k
2 mk
2 mk ∑qk 2
2
k
und damit
k
∑S1
∑S1
1
∑S
∑S
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ + ‚ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ (2 ( ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ -fk ) ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ ) = 0
2 mk
∑t
∑qk
∑qk
∑qk 2
2
(IIIb.7)
k
† aus (IIIb.7) kann man eine reelle Funktion S1 gewinnen.Unter Vernachlässigung von Terme
höherer Ordnung (S2 etc.) kann man y durch eine quasiklassische Wellenfunktion annähern:
yqk Hq, tL = ‰S1 Hq,tL ‰ ÅÅÅÅÑ SHq,tL =
Â
è!!!!!!!!!!!!!!! ÅÅÅÅÑÂ SHq,tL
,
D Hq, tL ‰
(IIIb.8)
wobei D(q,t) die räumliche Wahrscheinlichkeitsverteilung angibt, so dass
DHq, tL = » yqk Hq, tL »2 = ‰2 S1 Hq,tL
(IIIb.9)
Bemerkungen:
1. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung ist unabhängig von Ñ, was den Schluss nahe legt, dass
diese von der klassischen Mechanik festgelegt wird.
2. Dass die Angabe von yqk (q,t) in dieser Art sinvoll ist, zeigt das Beispiel eines freien
Teilchens im Potential V, für das die stationäre Schrödinger-Gleichung wie folgt lautet:
Â
2
Ñ
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ D y + (E-V) y = 0, mit y = ‰ ÅÅÅÅÑ q
2m
damit folgt dann:
q = S + ÅÅÅÅÑÂ S1
und
∑ S1
∑S1
∑ S
∑S ∑S1
∑S
D y = D ‰ ÅÅÑÅÅ HS+ ÅÅÂÅÅ S1 L = ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ - ÅÅÅÅ1ÅÅ I ÅÅÅÅ
ÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ +I ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ M
ÅÅ M +2 ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
∑q2 Ñ2 ∑q
∑q ∑q
∑q2
∑q
Â
Ñ
2
2
2
2
2
Ñ
multipliziert man dies noch mit ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ und beachtet analog zu oben nur Terme in erster Ordnung von Ñ
2m
so folgt:
≥
£
p
S0
ÅÅÅÅÅ = - ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
S £ S1 £ + ÅÅÅÅ12 S ≥ = 0 fl S1 £ = - ÅÅÅÅ
2 S0
2p
fl S1 = - ÅÅÅÅ12 ln p
(IIIb.10)
und für die Wellenfunktion erhält man:
C1
y = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ ‰ ÅÅÅÅÑ Ÿ p dx
è!!!!
Â
p
C2
+ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ ‰- ÅÅÅÅÑ Ÿ p dx
è!!!!
Â
p
(IIIb.11)
† Verbindung zwischen D(q,t) und S(q,t):
Diese wird deutlich, wenn man (IIIb.7) umschreibt zu:
∑
∑ 2 S1
∑S
ÅÅÅÅ
Å ‰ + ‚ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ A ÅÅÅÅ1ÅÅÅ ( ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ -fk )‰2 S1 )] = 0
∑t
∑qk mk
∑qk
k
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(IIIb.12)
S.9
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Christian Lehn und Kerstin Hild
das man dies so schreiben darf, sieht man wie folgt durch bloßes Nachrechnen ein:
∑S1 2 S1
∑S1 2 S1
∑ 2 S1
∑
∑S
∑ S 2 S1
∑S
1
1
2 S1
+ ‚ ÅÅÅÅ
)] = 2 ÅÅÅÅ
+ ⁄k ÅÅÅÅÅÅÅÅ
+( ÅÅÅÅ
]=0
ÅÅÅÅ
Å -fk ) 2 ÅÅÅÅ
mÅkÅÅ ( ÅÅÅÅ
∑tÅ ‰
∑qÅÅÅÅkÅ A ÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅkÅ -fk )‰
∑tÅÅÅÅÅ ‰
∑qk 2ÅÅ ‰
∑qÅÅÅÅ
∑qÅÅÅÅkÅ ‰
2 mkÅÅ [( ÅÅÅÅÅÅÅÅ
k
2
k
was aber gerade wieder (IIIb.7) ergibt.
† für den Schrödinger-Strom gilt dann:
Â
Â
1
1
∑
∑
ÅÅ y * ( ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ -fk )yqk +cc. = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ [‰S1 ‰- ÅÅÅÅÑ S ( ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ -fk )‰S1 ‰ ÅÅÅÅÑ S +cc
ik = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 mk qk
2 mk
∑qk
∑qk
∑S1
1
D
∑S
ÅÅ ‰2 S1 ( ÅÅÅÅÑÂ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ + ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ -fk ) +cc. = ÅÅÅÅ
ÅÅÅ ( ÅÅÅÅ∑SÅÅÅÅÅ -fk )
= ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 mk
mk ∑qk
∑qk
∑qk
(IIIb.13)
† und es folgt mit (IIIa.10)
ik Hq, tL = DHq.tL q°k HtL
(IIIb.14)
† (IIIb.12) ist unter diesen Gesichtspunkten nichts anderes als die Kontinuitätsgleichung für eine
klassische Flüssigkeit mit der Wahrscheinlichkeitsdichte D(q,t) und der Geschwindigkeit q° (t) :
∑D
∑
ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ + ‚ ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅkÅ HD q°k L = 0
∑t
∑q
k
k
(IIIb.15)
Fazit:
† (IIIb.12) stellt eine Näherung für die Kontinuitätsgleichung eines Wahrscheinlichkeitsflusses dar,
wenn man eine quantenmechanische Wellenfunktion y, die Lösung der Schrödinger-Gleichung ist,
durch eine quasiklassische Wellenfunktion yqk ersetzt.
† Man hat hier also mit Hilfe der Wellenfunktion ein klassisches statistisches Gemisch definiert,
dessen Dichte in jedem Punkt des Konfigurationsraums gleich der Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte des Quantensystems in diesem Punkt ist und hat gezeigt, dass sich dieses Gemisch für ÑØ 0
entwickelt, wie es die Klassiche Mechanik voraussagt.
† In der klassischen Näherung beschreibt y also eine strömendeFlüssigkeit von klassichen Teilchen
der Masse m, die ohne gegenseitigeWechselwirkung(statitisches Gemisch) dem Potetial V(r) unterworfen sind: Dichte und Strondichte dieser Flüssigkeit in jedem Punkt des Raumes sind zu jedem
Zeitpunkt gleich der Wahrscheinlichkeitsdichte und der Wahrscheinlichkeitsstromdichte des Quantenteilches in diesem Punkt.
IV. Quasiklassische Approximation
Die halbklassichen Näherungen sind besonders gut bei eindimensionalen Problemen anwendbar:
(a) WKBJ Methode
S.10
(Wenzel, Kramers, Brioullin, Jeffreys)
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
Kerstin Hild und Christian Lehn
Klassische Mechanik und Quantenmechanik
22.11.2004
† Die WKBJ-Methode besteht in der Einführungeiner Entwicklung nach Potenzen von Ñ und
der Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung als Ñ2 .
† Man ersetzt hierbei (zumindest in bestimmten Bereichen des Raums) die Schrödinger-Gleichung
durch ihren klassichen Grenzfall. Diese Methode ist umfassender als die eigentliche klassische
Näherung, denn sie kann auch in Raumbereichen angewandt werden, wo die klassiche Interpretation
keinen Sinn mehr macht (z.B. in klassiche verbotenen Zonen:E<V(r)).Sie zeichnet sich durch
die Anwendung auf stationäre Zustände aus.
† die zeitunabhängige Schrödinger Gleichung kann geschrieben werden als:
mit p(x) =
è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
2 m H E - V HxLL ,
p HxL
d y
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅ + ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ y = 0
Ñ2
dx2
2
2
(IVa.1)
(p(x) lokaler Impuls und E Energieeigen-
wert)
† Wie wir aus (IIIb.6) wissen, muss bei dieser Approximation für den Impuls gelten:
d pHxL
dl
ÅÅÅÅÅÅ » ` » pHxL »2 , was äquivalent ist zu » ÅÅÅÅ
ÅÅ » ` 1
Ñ » ÅÅÅÅÅÅÅÅ
dx
dx
(IVa.2)
† Ganz ähnlich wie vorhin nehmen wir an, die Wellenfunktion sei von der Form:
y (x) = ‰ ÅÅÅÅÑ H W HxL + ÅÅÅÅÂ W1 HxL + OHÑ LL
Â
Ñ
2
(IVa.3)
† setzt man dies in (IVa.1)ein, so ergibt sich :
HW £ L2 -ÂÑ (W ≥ +2W1 £ W £ ) + OHÑ2 L = p2
(IVa.4)
† vernachlässigt man Terme erster und zweiter Ordnung in Ñ, so folgt:
W £ 2 HxL = p2 (x)
(IVa.5)
† (IVa.5) kann integriert werden zu:
W(x) = ± Ÿ dx' p(x')
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie
(IVa.6)
S.11
22.11.2004
Klassische Mechanik und Quantenmechanik
Christian Lehn und Kerstin Hild
(wobei vorher angenommen werden muss, dass dieses Integral im klassisch erlaubten Bereich
liegt ( E¥ V(x))
† da O HÑ L vernachlässigt werden, gilt für W1 £ :
W
d
ÅÅÅ = ÅÅÅÅ
ÅÅ ln HW £ L- ÅÅÅÅ2 ñ
W ≥ + 2W1 £ W £ = 0 fl W1 £ = - ÅÅÅÅÅÅÅÅ
2 W£
dx
1
≥
1
ÅÅÅÅÅÅÅÅ
‰W1 HxL = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
è!!!!!!!!!
pHxL
(IVa.7)
† in klassisch erlaubten Gebieten ist die Lösung von (IVa.1), die wir durch die WKBJ Methode
gewonnen haben:
1
y ≤ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅ ‰≤ ÅÅÅÅÑ Ÿ pHx'L dx'
è!!!!!!!!!
Â
pHxL
1
ª ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ‰≤ÂwHxL , mit w(x) reell
è!!!!!!!!!
pHxL
(IVa.8)
† in klassich verbotenen Zonen ist w(x) rein imaginär und y± fallen oder steigen exponentiell
schnell
† als allgemeine Lösung gibt man an:
y = Ay+ + By-
(IVa.9)
1
für »y≤ HxL »2 gilt: »y≤ HxL »2 = ÅÅÅÅpHxL
ÅÅÅÅÅÅ , was sinnvoll ist, denn die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im
Intervall (x, x+ dx) zu finden, ist proportional zur Zeit, die es braucht, um diese Strecke zu
durchqueren, also umgekehrt proportional zur Geschwindigkeit.
Bemerkungen:
Mit den Approximationen y≤ sind Probleme verbunden:
1. y≤ divergiert für p(x) =0, was klassich bei einem Umkehrpunkt der Fall ist, d.h. in der Nähe
eines Umkehrpunktes kann die Bedingung ... nicht mehr erfüllt werden.
Die approximativen Lösungen sind also nur brauchbar, wenn man solche für die rechte Seite und
soche für die linke Seite vom Umkehrpunkt miteinander verknüpft und fordert, dass diese Lösungen
jeweils noch weit genug vom Umkehrpunkt entfernt sind.
S.12
Seminar: Teilchen, Symmetrien und Quantentheorie