BMS 2006 Physik Skript.nb

Physik T1 - Prüfung vom 31. Januar 2007
mit Lösungen
Bemerkungen
Der Stoff dieser Prüfung deckt die folgenden Gebiete (d.h. die Gebiete seit der Prüfung vom 29. November, d.h.
Lektion 13 bis 19) ab:
† Bewegung auf der Kreisbahn
† Kinematik der Rotation (Skript 4.1)
† Dynamik der Punktmasse (Kräfte - Kapitel 3)
Auswahl:
† A1 (Beispiel 2.9'), A2 (A.2.21), A3 (Beispiel 2.11), A4 (A.2.10), A5 (Beispiel 3.9), A6 (A.3.11), A7 (A.3.2)
Aufgabe 1 - Bremsweg (6 Punkte)
Berechnen Sie den Bremsweg und die Bremszeit für einen Lkw, der von 72 km/h mit -4.8 m ê s2 gleichmässig bis zum
Stillstand abgebremst wird.
Lösung
Gegeben sind somit v0 , v und a
Gesucht sind s und t.
Bremszeit t
Mit der Gleichung v = v0 + a t ergibt sich für t:
-72 ÅÅÅÅ1ÅÅÅÅ mês
H0-72L kmêh
v-v0
3.6
t = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ2ÅÅÅÅÅ = 4.16 s
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ
a
-4.8 mês 2
-4.8 mês
Bremsweg s
Mit der Gleichung s = ÅÅÅÅ12 Hv + v0 L t folgt:
km
72 m
s = ÅÅÅÅ12 Hv + v0 L t = ÅÅ12ÅÅ 72 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ 4.16 s = ÅÅÅÅ12 ÅÅÅÅ
ÅÅ Å ÅÅÅÅÅ 4.16 s = 41.6 m
h
3.6 s
oder mit s = v0 t + ÅÅÅÅ12 a t2 folgt:
72
s = v0 t + ÅÅÅÅ12 a t2 = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ 4.16 - ÅÅÅÅ12 4.8 H4.16L2 = 41.6 HmL
3.6
Aufgabe 2 - Fahrrad (6 Punkte)
Wie gross ist die Geschwindigkeit eines Radfahrers, der so in die Pedale tritt, dass die Tretkurbeln in jeder Sekunde
gerade eine Umdrehung ausführen?
Es sind die Durchmesser des vorderen Kettenrades d1 = 20 cm, des hinteren Kettenrades d2 = 8 cm, des Hinterrades
d3 = 70 cm. Die Drehzahl des vorderen Kettenrades beträgt n1 = 1 s-1 = 60 min-1 .
Lösung
Wir nutzen die Beziehungen v1 = v2 , w2 = w3 (oder n2 = n3 ). Es gilt somit:
2
d3
n1 d1
1 0.2
m
km
ÅÅ = n3 p d3 = n2 p d3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ p d3 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
v3 = w3 r3 = H2 p n3 L ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ p 0.70 ÅÅÅÅÅ
= 5.50 ÅÅmsÅÅÅ = 3.6 5.50 ÅÅÅÅ
ÅÅ Å = 19.8 ÅÅÅÅkm
ÅÅÅÅÅ
d2
2
0.08
s
h
h
oder
r1
d1
m
20 cm
km
v3 = w3 r3 = w2 r3 = w1 ÅÅÅÅ
Å r = 2 p n1 ÅÅÅÅ
ÅÅ r = 2 p 1 s-1 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅ 0.35 m = 5.50 ÅÅÅÅÅ
= 3.6 5.50 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = 19.8 ÅÅÅÅkm
ÅÅÅÅÅ
r2 3
d2 3
8 cm
s
h
h
Aufgabe 3 - Winkelbeschleunigung (6 Punkte)
Welche Winkelbeschleunigung hat ein Rad, welches in 1.0 min aus dem Stillstand auf die Drehzahl 2800 min-1
gleichmässig beschleunigt wird? Wie gross ist die Umfangsgeschwindigkeit bei voller Drehzahl, wenn der Durchmesser 1200 mm ist.
Lösung
Wir verwenden die Gleichung w = w0 + a t und erhalten (w0 = 0):
2800
2 p ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
2p f
rad
2 p 2800 rad
rad
a = ÅÅwtÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅmin
ÅÅÅÅÅÅ = 2 p 2800 ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅsÅ2Å Å = 4.9 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
t
1 min
s2
min2
602
Wir verwenden die Gleichung v = w r und erhalten:
2800 1200
2800
v = w r = 2 p ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ mm = 2 p ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ 0.6 m = 176 ÅÅmsÅÅÅ
min
2
60 s
Aufgabe 4 - Radialbeschleunigung (6 Punkte)
Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit und die Radialbeschleunigung für die Kurvenfahrt eines Kraftfahrzeuges
a) bei der Geschwindigkeit 30 km/h und einem Kurvenradius von 60 m
b) bei der Geschwindigkeit 60 km/h und einem Kurvenradius von 120 m
Vergleichen Sie die Ergebnisse.
Lösung
2
v
Wir verwenden die Gleichungen v = w r und aR = ÅÅÅÅ
ÅÅ .
r
a) Daraus folgt
ÅÅÅÅ30ÅÅ Å
rad
3.6
w = ÅÅÅÅvr = ÅÅÅÅ60
ÅÅÅÅÅ s-1 = 0.14 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
s
2
2
H30ê3.6L m
m
v
aR = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
Å = 1.16 ÅÅÅÅ
Å
r
60
s2
s2
b) Daraus folgt
ÅÅÅÅ60ÅÅÅÅ
rad
3.6
w = ÅÅÅÅvr = ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅ s-1 = 0.14 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ
120
s
2
2
H60ê3.6L m
v
m
aR = ÅÅÅÅ
ÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ
Å = 2.31 ÅÅÅÅ
Å
r
120
s2
s2
Die Winkelgeschwindigkeiten sind gleich, die Radialbeschleunigung ist doppelt so gross.
Aufgabe 5 - Seilkräfte (6 Punkte)
a) Wie gross ist die Seilkraft FS am Seil eines Kranes (siehe Bild), der ein Werkstück von 1.0 t mit einer Beschleunim
gung von 1.0 ÅÅÅÅ
Å gleichmässig beschleunigt nach oben anhebt?
s2
3
b) Wie gross ist die Seilkraft FS am Seil eines Kranes, wenn das Werkstück mit konstanter Geschwindigkeit von
m
1 ÅÅÅÅÅ
abgesenkt wird.
s
Lösung a
Im Gleichgewicht wäre die Gewichtskraft FG gleich der Seilkraft FS . Bei einer beschleunigten Bewegung nach oben
muss jedoch die Seilkraft zusätzlich die beschleunigende Kraft m a aufbringen. Die Seilkraft ergibt sich somit zu:
m
Å = 10.8 kN.
FS = FG + m a = m Hg + aL = 1000 kg H9.8 + 1.0L ÅÅÅÅ
s2
Lösung b
Bei gleichmässiger Absenkung findet keine Beschleunigung statt. Die Gewichtskraft FG ist somit gleich der Seilkraft
FS :
m
FS = FG = m g = 1000 kg 9.8 ÅÅÅÅ
Å = 9.8 kN.
s2
Aufgabe 6 - Schiefe Ebene (6 Punkte)
Fertigen Sie zu den folgenden Teilaufgaben jeweils eine Skizze an.
a) Bei welchem Winkel aH beginnt ein Körper eine geneigte Ebene gerade hinabzugleiten, wenn deren Neigungswinkel von 0 beginnend langsam vergrössert wird?
b) Wie gross ist die Beschleunigung beim Hinabgleiten?
c) Auf welchen Wert müsste man den Neigungswinkel wieder verkleinern, damit der Körper im weiteren Verlauf der
Bewegung die geneigte Ebene gleichförmig hinabgleitet?
Lösung Skizzen
4
Lösung a
Der Körper beginnt gerade zu gleiten, wenn der Winkel a1 soweit erhöht wird, dass die Hangabtriebskraft
FH = m g sinHaL den Maximalwert der Haftreibungskraft FHR = mHR FN = mHR m g cosHaL erreicht.
Es gilt somit:
Daraus folgt sofort:
m g sinHa1 L = mHR m g cosHa1 L
m
mg
HR
tanHa1 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = mHR
mg
Lösung b
Mit Beginn des Gleitens wirkt nur noch die kleinere Gleitreibungskraft der (beim Winkel a1 wirkenden) Hangabtriebskraft entgegen. Der Körper wird nach unten beschleunigt mit der Differenz dieser Kräfte:
Fres = m a = m g sinHa1 L - mGR m g cosHa1 L = m g HsinHa1 L - mGR cosHa1 LL
Die Beschleunigung a ist unabhängig von der Masse m:
a = g HsinHa1 L - mGR cosHa1 LL
Da m g sinHa1 L = mHR m g cosHa1 L gilt auch:
m a = mHR m g cosHa1 L - mGR m g cosHa1 L
a = g HmHR - mGR L cosHa1 L
Lösung c
Für Gleichgewicht (d.h. unbeschleunigte Bewegung) gilt: m g sinHa2 L = mGR m g cosHa2 L
m
mg
GR
Daraus folgt sofort: tanHa2 L = ÅÅÅÅÅÅÅÅ
ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = mGR
mg
Aufgabe 7 - Federkennlinie (6 Punkte)
a) Zeichnen Sie masstäblich die Federkennlinie (Abhängigkeit der Kraft F von der Längenänderung Ds) für
N
0 § Ds § 100 mm, wenn die Federkonstante 0.30 ÅÅÅÅ
ÅÅÅÅ ist.
cm
b) Deuten Sie die Federkonstante in diesem Diagramm.
c) Wie unterscheiden sich die Kennlinie einer härteren Feder von der gezeichneten Kennlinie?
Lösung a
Plot@830 ds<, 8ds, 0, 0.1<, AxesLabel → 8"sêm", "FêN"<D;
5
FêN
3
2.5
2
1.5
1
0.5
sêm
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
Lösung b
Die Federkonstante k entspricht der Steigung der Federkennlinie: F = k s.
Lösung c
Die Kennlinie einer härteren Feder hätte eine grössere Steigung.