Aufgaben zu Kapitel 38

Aufgaben zu Kapitel 38
Aufgaben zu Kapitel 38
Verständnisfragen
Aufgabe 38.1
•
Welche der folgenden vier Aussagen sind richtig:
1. Kennt man die Verteilung von X und die Verteilung von Y , dann kann man daraus die Verteilung von X+Y berechnen.
2. Kennt man die gemeinsame Verteilung von (X, Y ), kann man daraus die Verteilung von X berechnen.
3. Haben X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X + Y verteilt wie 2X.
4. Haben zwei standardisierte Variable X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X = a + bY .
5. Haben zwei standardisierte Variable X und Y dieselbe Verteilung, dann ist X verteilt wie a + bY .
Aufgabe 38.2
•
Welche der folgenden 8 Aussagen sind richtig:
1. Jede diskrete Variable, die nur endlich viele Realisationen besitzt, besitzt auch Erwartungswert und Varianz.
2. Eine diskrete zufällige Variable, die mit positiver Wahrscheinlichkeit beliebig groß werden kann, P (X > n) > 0 für alle
n ∈ N, besitzt keinen Erwartungswert.
3. X und −X haben die gleichen Varianz.
4. Haben X und −X den gleichen Erwartungswert, dann ist E(X) = 0.
5. Wenn X den Erwartungswert μ besitzt, dann kann man erwarten, dass die Realisationen von X meistens in der näheren
Umgebung von μ liegen.
6. Bei jeder zufälligen Variablen sind stets 50% aller Realisationen größer als der Erwartungswert.
7. Sind X und Y zwei zufällige Variable, so ist E (X + Y ) = E (X) + E (Y ) .
8. Ist die zufällige Variable Y = g (X) eine nichtlineare Funktion der zufälligen Variablen X, dann ist E (Y ) = g(E(X)).
Aufgabe 38.3
•
Welche der folgenden Aussagen sind richtig?
1. Sind X und Y unabhängig, dann sind auch 1/X und 1/Y unabhängig.
2. Sind X und Y unkorreliert, dann sind auch 1/X und 1/Y unkorreliert.
Aufgabe 38.4 •
Zeigen Sie: Aus E X 2 =(E(X))2 folgt: X ist mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant.
1
Aufgabe 38.5 ••
Zeigen Sie: a) Ist X eine positive Zufallsvariable, so ist E X1 ≥ E(X)
.
b) Zeigen Sie an einem Beispiel, dass diese Aussage falsch ist, falls X positive und negative Werte annehmen kann.
Aufgabe 38.6 •• Beweisen oder widerlegen Sie die Aussage: Ist (Xn )n∈N eine Folge von zufälligen Variablen Xn mit
lim P (Xn > 0) = 1, dann gilt auch lim E (Xn ) > 0.
n→∞
n→∞
Aufgabe 38.7
••
Aufgabe 38.8
••• Zeigen Sie: a) Aus X ≤ Y, folgt FX (t) ≥ FY (t) , aber aus FX (t) ≥ FY (t) folgt nicht X ≤ Y.
Beweisen Sie die Markov-Ungleichung aus der Übersicht S. 1302.
b) Aus FX (x) ≥ FY (x) , folgt E(X) ≤ E(Y ), falls E(X) und E(Y ) existieren.
Aufgabe 38.9 ••• Im Beispiel auf Seite 1309 sind R und B die Augenzahlen zweier unabhängig voneinander geworfener
idealer Würfel und X = max (R, B) sowie Y = min (R, B) . Weiter war Var (X) = Var (Y ) = 1. 97. Berechnen Sie
Cov(X, Y ) aus diesen Angaben ohne die Verteilung von (X, Y ) explizit zu benutzen.
Aufgabe 38.10
•
Welche der folgenden Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Antwort.
1. Um eine Prognose über die zukünftige Realisation einer zufälligen Variablen zu machen, genügt die Kenntnis des Erwartungswerts.
2. Um eine Prognose über die Abweichung der zukünftigen Realisation einer zufälligen Variablen von ihrem Erwartungswert
zu machen, genügt die Kenntnis der Varianz.
3. Eine Prognose über die Summe zufälliger i.i.d.-Variablen ist in der Regel genauer als über jede einzelne.
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1
2
Aufgaben zu Kapitel 38
4. Das Prognoseintervall über die Summe von 100 identisch verteilten zufälligen Variablen (mit Erwartungswert μ und Varianz
σ 2 ) ist 10-mal so lang wie das Prognoseintervall für eine einzelne Variable bei gleichem Niveau.
5. Wenn man hinreichend viele Beobachtungen machen kann, dann ist E(X) ein gute Prognose für die nächste Beobachtung.
Rechenaufgaben
Aufgabe 38.11 •
Würfeln X1 und X2 .
Bestimmen Sie die Verteilung der Augensumme S = X1 + X2 von zwei unabhängigen idealen
Aufgabe 38.12 ••
Beim Werfen von 3 Würfeln tritt die Augensumme 11 häufiger auf als 12, obwohl doch 11 durch die
sechs Kombinationen (6, 4, 1) ; (6, 3, 2); (5, 5, 1); (5, 4, 2); (5, 3, 3); (4, 4, 3) und die Augensumme 12 ebenfalls durch sechs
Kombinationen, nämlich (6, 5, 1), (6, 5, 2), (6, 3, 3), (5, 5, 2), (5, 4, 3), (4, 4, 4) erzeugt wird. a) Ist diese Beobachtung nur
durch den Zufall zu erklären oder gibt es noch einen anderen Grund dafür? b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung
der Augensumme von drei unabhängigen idealen Würfeln.
Aufgabe 38.13
••
Ein fairer Würfel wird dreimal geworfen.
1. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Medians Xmed der drei Augenzahlen.
2. Ermitteln Sie die Verteilungsfunktion von Xmed .
3. Berechnen Sie Erwartungswert und Varianz des Medians.
Aufgabe 38.14 ••
Sei X die Augenzahl bei einem idealen n-seitigen Würfel: P (X = i) =
Sie E(X) und Var (X) .
Aufgabe 38.15
1
n
für i = 1, · · · , n. Berechnen
••• Für Indikatorfunktionen IA gilt:
IAC = 1 − IA
IA∩B = IA IB
IAU B = 1 − IAC IB C
Ist A ein zufälliges Ereignis, so ist E(IA ) = P (A). Beweisen Sie mit diesen Eigenschaften die Siebformel aus Abschnitt 37.1:
n
P
Ai
i=1
=
n
(−1)k+1
•••
P Ai1 ∩ Ai2 ∩ · · · ∩ Aik
1≤i1 <i2 ···<ik ≤n
k=1
Aufgabe 38.16
Beweisen Sie die folgende Ungleichung:
P (X ≥ t) ≤ inf e−st E esX .
s>0
Dabei läuft das Infimum über alle s > 0, für die E e
sX
existiert.
Aufgabe 38.17 ••• Zeigen Sie: a) Ist für eine diskrete Zufallsvariable X die Varianz identisch null, so ist X mit Wahrscheinlichkeit 1 konstant: P(X = E(X)) = 1.
b) Zeigen Sie die gleiche Aussage für eine beliebige Zufallsvariable X.
Aufgabe 38.18
•••
Verifizieren Sie die folgende Aussage:
E X AX = E X AE (X) + Spur (ACov (X))
Aufgabe 38.19 ••• Ein idealer n-seitiger Würfel wird geworfen. Fällt dabei die Zahl n, so wird der Wurf unabhängig
vom ersten Wurf wiederholt. Das Ergebnis des zweiten Wurfs wird dann zum Ergebnis n des ersten Wurfs addiert. Fällt beim
zweiten Wurf wiederum die Zahl n, wird wie beim ersten Wurf wiederholt und addiert, u.s.w.
Sei X die bei diesem Spiel gezielte Endsumme. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und den Erwartungswert.
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Aufgaben zu Kapitel 38
Aufgabe 38.20 ••
Es seien X1 und X2 die Augensummen von zwei idealen Würfeln, die unabhängig voneinander
geworfen werden. Weiter sei Y = X1 − X2 . Zeigen Sie, dass Y und Y 2 unkorreliert sind.
Aufgabe 38.21
••
Das zweidimensionale Merkmal (X, Y ) besitze die folgende Verteilung:
X
1
2
1
0.1
0.1
Y
2
0.3
0.1
3
0.2
0.2
1. Bestimmen Sie Erwartungswerte und Varianzen a) von X und Y , b) von S = X + Y und c) von X · Y . 2. Wie hoch ist die
Korrelation von X und Y ?
Anwendungsprobleme
Aufgabe 38.22 ••
Sie schütten einen Sack mit n idealen Würfeln aus. Die Würfel rollen zufällig über den Tisch. Keiner
liegt über dem anderen. Machen Sie eine verlässliche Prognose über die Augensumme aller Würfel.
Aufgabe 38.23 •
Es seien X und Y jeweils der Gewinn aus zwei risikobehafteten Investitionen. Abbildung 38.18 zeigt
die Verteilungsfunktionen FX ( rot) und FY (blau). a) Welche der beiden Investitionen ist aussichtsreicher?
F (x)
FX
FY
x
Abbildung 38.18 Die Verteilungsfunktionen FX (rot) und FY (blau) des Gewinns aus zwei Investitionen X und Y .
b) Kann man aus der Abbildung schließen, dass X ≤ Y oder Y ≤ X ist?
Aufgabe 38.24 •
Die Weinmenge, die von einer automatischen Abfüllanlage in eine 0.75-l-Flasche abgefüllt wird, sei aus
mancherlei Gründen als eine Zufallsvariable aufzufassen, deren Erwartungswert gleich 0.72 und deren Standardabweichung
gleich 0.01 beträgt.
1. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mindestens, dass in eine Flasche zwischen 0.7 l und 0.9 l abgefüllt werden?
2. Wie groß ist höchstens die Wahrscheinlichkeit, dass in eine Flasche weniger als 0.7 l abgefüllt werden, wenn die Verteilung
der von der Abfüllanlage abgegebenen Menge symmetrisch ist?
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3
4
Hinweise zu Kapitel 38
Hinweise zu Kapitel 38
Verständnisfragen
Aufgabe 38.1
•
–
Aufgabe 38.2
•
–
Aufgabe 38.3
•
–
Aufgabe 38.4
•
Arbeiten Sie mit der Varianz.
Aufgabe 38.5
••
Verwenden Sie die Jensen-Ungleichung.
Aufgabe 38.6
••
–
Aufgabe 38.7 •• Betrachten Sie die Zufallsvariable Y = 0 falls X < k und Y = k falls X ≥ k. Berechnen Sie E(Y ) und
benutzen Sie die Montonie des Erwartungswertes.
Aufgabe 38.8 ••• zu a) Verwenden Sie: X ≤ Y genau dann, wenn X (ω) ≤ Y (ω) ∀ω ∈ . Ignorieren Sie die
Ausnahmemenge vom Maß null mit X (ω) > Y (ω) .
Hinweis zu b): Verwenden Sie die Darstellung E(X) aus der Vertiefung von Seite 1298.
Aufgabe 38.9
Aufgabe 38.10
••• Verwenden Sie X + Y = R + B.
•
–
Rechenaufgaben
Aufgabe 38.11
•
–
Aufgabe 38.12
••
–
Aufgabe 38.13
••
–
Aufgabe 38.14
••
Aufgabe 38.15
•••
Berechnen Sie Var (X) =E X2 − (E (X))2 .
Sei B = i Ai dann ist B C = i AC
i und P (B) = 1−E IB C .
Aufgabe 38.16
•••
Wenden Sie die Markov-Ungleichung auf esX an.
Aufgabe 38.17
••• –
Aufgabe 38.19
••• –
Aufgabe 38.20
••
Verwenden Sie die Symmetrie von Y.
Aufgabe 38.21
••
–
Aufgabe 38.18 ••• Benutzen Sie, dass die Operationen Spur und Erwartungswert vertauschbar sind und E X AX =
Spur X AX = Spur AXX .
Anwendungsprobleme
Aufgabe 38.22
••
–
Aufgabe 38.23
•
–
Aufgabe 38.24
•
–
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Lösungen zu Kapitel 38
Lösungen zu Kapitel 38
Verständnisfragen
Aufgabe 38.1
•
2. und 5. sind richtig, 1., 3. und 4. sind falsch.
Aufgabe 38.2
•
Die Aussagen 1, 3, 4 und 7 sind richtig, 2, 5, 6 und 8 sind falsch.
Aufgabe 38.3
•
1. ist richtig und 2. ist falsch. Unabhängigkeit überträgt sich, Unkorreliertheit nicht.
Aufgabe 38.4 •
Aus E X2 =(E(X))2 folgt Var (X) =E X2 −E(X)2 = 0. Wie in Aufgabe 38.17 gezeigt wird, folgt
daraus, dass X eine entartete Zufallsvariable ist.
−1
Aufgabe
−1 38.5 •• −1 f (x) = x ist für x > 0 konvex. Daher ist für eine Zufallsvariable, die nur positive Werte annimmt,
> (E (X)) .
E X
Die Jensen-Ungleichung braucht nicht zu gelten, falls X auch negative Werte annehmen kann. Als Gegenbeispiel nehme X
die Werte 1 und −0.5 jeweils mit Wahrscheinlichkeit 0.5 an. Dann ist
E (X)
E X−1
=
=
1
·1−
2
1
·1−
2
1
0.5 = 0.25
2
1
2 = −0.5 < (E (X))−1 .
2
Aufgabe 38.6 ••
Die Aussage ist falsch. Gegenbeispiel: Die Zufallsvariable Xn nehme den Wert 1 mitWahrscheinlichkeit
1
1 − n und den Wert −n2 mit Wahrscheinlichkeit n1 an. Dann ist lim P (Xn > 0) = 1, aber E (Xn ) = 1 · 1 − n1 − n2 · n1 =
n→∞
−n + 1 −
1
n
< 0.
Aufgabe 38.7 ••
E(Y ) ≤E(X).
Aufgabe 38.8
•••
Es ist E(Y ) = 0 · P (X < k) + kP (X ≥ k) = kP (X ≥ k). Nach Definition ist Y ≤ X. Daher ist
a) Aus X ≤ Y folgt {ω ∈ : Y (ω) ≤ t} ⊆ {ω ∈ : X (ω) ≤ t} . Daher ist
FY (t)
=
P (Y ≤ t)
=
P (ω ∈ : Y (ω) ≤ t)
≤
P (ω ∈ : X (ω) ≤ t)
=
FX (t) .
Wir zeigen mit einem Gegenbeispiel, dass aus FX (t) ≥ FY (t) nicht X ≤ Y folgt. Dazu sei = {1, 2, 3} mit P (1) =
P (2) = P (3) = 1/3. Die Zufallsvariablen X und Y seien definiert durch
i
X (i)
Y (i)
1
0
0
2
2
1
3
0
2
Dann ist weder X ≤ Y noch Y ≤ X. Die Verteilungen von X und Y sind :
X
P (X = x )
FX
Y
P (Y = y )
FY
0
2/3
2/3
0
1/3
1/3
2
1/3
1
1
1/3
2/3
2
1/3
1
Also ist FX (t) ≥ FY (t) ∀t. Aber Y ≥ X ist falsch.
von E(X) aus der Vertiefung von Seite 1298: E(X) =
b)
∞
∞Aus FX (t) ≥ FY∞(t) folgt mit der Darstellung
dt
≤
−
F
dt
−
F
F
(t)
(1
(t))
(t) dt = E(Y ).
X
Y
X
−∞
0
−∞
Aufgabe 38.9
∞
0
(1 − FX (t)) dt −
••• –
Aufgabe 38.10 •
Falsch sind 1. und 5. Richtig sind 2. und 4. Die Antwort zu 3. hängt davon ab, ob die absolute oder
die relative Genauigkeit gemeint ist. Im ersten Fall ist die Aussage falsch, im zweiten Fall richtig.
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5
6
Lösungen zu Kapitel 38
Rechenaufgaben
Aufgabe 38.11
•
s1
P(S = s i )
s1
P (S = s i )
2
1/36
8
5/36
3
2/36
9
4/36
4
3/36
10
3/36
5
4/36
11
2/36
6
5/36
12
1/36
7
6/36
Aufgabe 38.12 ••
a) Die Angabe der möglichen Würfelereignisse ist unvollständig, da die Reihenfolge der Zahlen nicht
beachtet wurde. Berücksichtigt man die Reihenfolge, dann gibt es 6 = 3! verschiedene Permutationen von (6, 4, 1), die auf
die gleiche Reihenfolge führen, aber nur 3 verschiedene Permutationen von (5, 5, 1). Beachtet man die Reihenfolge, so gibt
es 27 verschiedene gleichwahrscheinliche Wurfsequenzen mit der Augensumme 11, aber 25 mit der Augensumme 12.
b)
xi
P (X = x i )
xi
P (X = x i )
xi
P (X = x i )
3
1
216
3
216
6
216
10
216
15
216
21
216
9
25
216
27
216
27
216
25
216
21
216
15
216
15
10
216
6
216
3
216
1
216
4
5
6
7
8
Aufgabe 38.13
••
10
11
12
13
14
16
17
18
1
1.
P (Xmed = 1)
=
P (Xmed = 6) = 0.074
P (Xmed = 2)
=
P (Xmed = 5) = 0.185
P (Xmed = 3)
=
P (Xmed = 4) = 0.241
2. Berechnung der Werte für die Verteilungsfunktion:
x
P (X med = x )
P (X med ≤ x )
1
0.074
0.074
2
0.185
0.259
3
0.241
0.500
4
0.241
0.741
5
0.185
0.926
6
0.074
1.000
3.E (Xmed ) = 3.5; Var (Xmed ) = 1. 88
E(X) =
(n+1)
2 ; Var (X)
Aufgabe 38.14
••
Aufgabe 38.15
••• –
Aufgabe 38.16
••• –
Aufgabe 38.17
••• –
Aufgabe 38.18
••• –
Aufgabe 38.19
•••
P (X = n · k + i) =
Aufgabe 38.20
••
–
=
1
nk+1
2 n −1
12 .
und E (X) =
n(n+1)
2(n−1) .
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Lösungen zu Kapitel 38
Aufgabe 38.21
••
E(X) = 1.4 und Var (X) = 0.24;
E(Y ) = 2.2 und Var (Y ) = 0.56.
E (S) = 3.6 und Var (S) = 0.84.
E (XY ) = 3.1 und Var (XY ) = 2.69
Cov(X; Y ) = 0.02 und ρ (X; Y ) = 0.054 6.
Anwendungsprobleme
Aufgabe 38.22 ••
Es sei Xi die Augenzahl des i-ten Würfels. Die Summe der Augenzahlen ist S = ni=1 Xi , nach
35
35
Aufgabe 38.14 ist E(Xi ) = 3.5; Var (Xi ) = 12
. Da die Xi i.i.d. sind, ist E(S) = n3.5 und Var (S) = n 12
. Nach der
Ungleichung von Tschebyschev gilt dann mit der Wahrscheinlichkeit von mindestends 75%:
35
|S − 3.5n| ≤ 2
n.
12
Aufgabe 38.23 •
Aus der Abbildung 38.18 folgt FX ≥ FY . Daher ist P (X ≤ t) ≥ P (Y ≤ t) oder gleichwertig
P (X > t) ≤ P (Y > t) . Für jeden Gewinn t gilt: Mit höherer Wahrscheinlichkeit überschreitet der Gewinn bei Y den Wert
t als bei X.
Wie in Aufgabe 38.3 gezeigt, folgt aus FX (t) ≥ FY (t) nicht X ≤ Y und erst recht nicht Y ≤ X.
Aufgabe 38.24
•
1. P (0.7 ≤ X ≤ 0.9) ≥
3
4
und 2. P (X < 0.7) ≤ 18 .
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7
8
Lösungswege zu Kapitel 38
Lösungswege zu Kapitel 38
Verständnisfragen
Aufgabe 38.1
•
–
Aufgabe 38.2
•
–
Aufgabe 38.3
•
–
Aufgabe 38.4
•
–
Aufgabe 38.5
••
–
Aufgabe 38.6
••
–
Aufgabe 38.7
••
–
Aufgabe 38.8
••• –
Aufgabe 38.9
••• Stets gilt
Var(X + Y )
=
Var (X) + Var (Y ) + 2Cov(X, Y ).
Wegen Var (X) = Var (Y ) folgt
Cov(X, Y ) =
1
Var(X + Y ) − Var (X) .
2
Andererseits ist X + Y = R + B gerade die Augensumme der beiden Würfel. Nach Vorgabe sind R und B unabhängig und
identisch verteilt. Also ist Var (R) = Var (B) und
Var(X + Y ) = Var(R + B) = Var (R) + Var (B) = 2Var (B) .
Also
Cov(X, Y ) = VarB − Var (X) .
Erwartungswert und Varianz der Augenzahl bei idealen Würfeln wurde bereits bestimmt. Danach ist VarB =
Cov(X, Y ) = VarB − Var (X) =
35
12 . Dies liefert
35
− 1. 97 = 0.946.
12
Aufgabe 38.10 •
Zu 1. und 2. Die Tschebychev-Ungleichung sagt P (|X − E (X)| ≤ kσ ) ≥ 1 − k12 . Daher ist die erste
Aussage falsch, denn man braucht σ. Dagegen ist die zweite Aussage richtig, denn für die Abschätzung von |X − E (X)| wird
nur σ gebraucht.
3. Die Genauigkeit einer Prognose über S =
Xi hängt ab von Var (S) = nVar(X). Die Prognose
also
mit
von Xi wird
X−μ Xi −nμ =
wachsendem n ungenauer. Ist E (Xi ) = μ = 0, so ist die relative Genauigkeit gegeben durch nμ
μ . Die
2
Varianz von X ist σn . Die relative Genauigkeit wächst also mit wachsendem n. 4. ist richtig, denn die Varianz der Summe
√
√
wächst mit n, die Standardabweichung mit n. Die Länge des Prognoseintervalls wächst daher mit n.
5. ist falsch. Wenn man hinreichend viele Beobachtungen machen kann, lässt sich E(X) sowie Var (X) gut schätzen. Eine
gute Prognose für die nächste Beobachtung wird dann mit der Ungleichung von Tschebyschev arbeiten und mit E(X) und
Var (X) arbeiten.
Rechenaufgaben
Aufgabe 38.11 •
In der folgenden Tabelle sind in der Kopfzeile und der Kopfspalte die Realisationen von X1 und X2
und in den Innenzellen die jeweilige Augensumme aufgetragen.
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Lösungswege zu Kapitel 38
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
Wegen der Unabhängigkeit von X1 und X2 hat jede Zelle die Wahrscheinlichkeit
erhält man die angegebenen Werte.
2
1
6
. Summiert man über die Diagonalen
Aufgabe 38.12 ••
In Aufgabe 38.11 wurde die Verteilung der Augensumme S2 von zwei unabhängigen idealen Würfeln
bestimmt. Wir benutzen diese Verteilung und berechnen analog S3 als S2 + X.
In der folgenden Tabelle sind in der ersten und zweiten Kopfzeile die Realisationen von X und deren Wahrscheinlichkeiten,
in der ersten und zweiten Kopfspalte die Realisationen von S2 und deren Wahrscheinlichkeiten und in den Innenzellen die
jeweilige Augensumme S3 = S2 + X aufgetragen.
\
X
1
2
3
4
5
6
S2
\
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
2
1
36
2
36
3
36
4
36
5
36
6
36
5
36
4
36
3
36
2
36
1
36
3
4
5
6
7
8
4
5
6
7
8
9
5
6
7
8
9
10
6
7
8
9
10
11
7
8
9
10
11
12
8
9
10
11
12
13
9
10
11
12
13
14
10
11
12
13
14
15
11
12
13
14
15
16
12
13
14
15
16
17
13
14
15
16
17
18
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Multiplizieren wir die Randwahrscheinlichkeiten, erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten der Zellen. Addieren die Zellenwahrscheinlichkeiten aller Zellen mit den gleiche Werten, erhalten wir die Wahrscheinlichkeit des jeweiligen Summenwertes.
1
2
3
+ 16 36
= 216
. Auf diese Weise ist die obige Verteilung errechnet worden.
So ist z. B. P (S3 = 4) = 16 36
Aufgabe 38.13
••
1. mögliche Werte von Xmed ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6} . Sei Xi :=Augenzahl des i-ten Würfels
P (Xmed = 1) = P (X1 = 1, X2 = 1, X3 = 1)
+P (X1 = 1, X2 = 1, X3 > 1) · 3
1
3·5
16
= 3 + 3 = 3.
6
6
6
P (Xmed = 2) = P (X1 = X2 = X3 = 2)
+P (X1 = 1, X2 = 2, X3 = 2) · 3
+P (X1 = 1, X2 = 2, X3 > 2) · 3!
+P (X1 = 2, X2 = 2, X3 > 2) · 3
1
40
= 3 (1 + 1 · 3 + 4 · 6 + 4 · 3) = 3 .
6
6
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9
10
Lösungswege zu Kapitel 38
P (Xmed = 3) = P (X1 = X2 = X3 = 3)
+P (X1 = 1, X2 = X3 = 3) · 3
+P (X1 = 1, X2 = 3, X3 > 3) · 6
+P (X1 = 2, X2 = 3, X3 > 3) · 6
+P (X1 = 2, X2 = X3 = 3) · 3
+P (X1 = X2 = 3, X3 > 3) · 3
1
52
= 3 (1 + 3 + 3 · 6 + 3 · 6 + 3 + 3 · 3) = 3 .
6
6
Aus Symmetriegründen ist
P (Xmed = 1) = P (Xmed = 6) = 0.074.
P (Xmed = 2) = P (Xmed = 5) = 0.185.
P (Xmed = 3) = P (Xmed = 4) = 0.241.
3. Berechnung des Erwartungswertes:
E (Xmed ) =
6
i · P (Xmed = i)
i=1
= 1 · 0.074 + 2 · 0.185 + 3 · 0.241
+4 · 0.241 + 5 · 0.185 + 6 · 0.074
= 0.074 + 0.370 + 0.723 + 0.964
+0.925 + 0.444
= 3.5
Berechnung der Varianz:
Var (Xmed ) = E (Xmed )2 − E ((Xmed ))2
E (Xmed )2 = 12 · 0.074 + 22 · 0.185 + 32 · 0.241
+42 · 0.241 + 52 · 0.185 + 62 · 0.074
= 14. 13
Var (Xmed ) = 14. 13 − 3.52 = 1. 88
Aufgabe 38.14
••
E (X) =
n
1
i
n
n
xi P (X = xi ) =
i=1
i=1
1 n (n + 1)
(n + 1)
=
.
=
2
n
2
n
n
1 2
xi2 P (X = xi ) =
i
E X2 =
n
i=1
i=1
1 n (n + 1) (2n + 1)
(n + 1) (2n + 1)
=
=
.
n 6
6
Var (X) = E X2 − (E (X))2
(n + 1) (2n + 1)
−
=
6
(n + 1) (n − 1)
=
.
12
(n + 1)
2
2
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Lösungswege zu Kapitel 38
Aufgabe 38.15
•••
Sei B =
i
Ai dann ist B C =
AC
i und
i
P (B) = E (IB ) = E 1 − IB C = 1 − E IB C
= 1 − E I AC = 1 − E
IAC
i
i
=1−E
1 − I Ai
i
i
⎛
= 1 − E ⎝1 −
IAi +
i
−
i
IAi IAj
i<j
⎞
IAi IAj IAk + · · · ⎠
i<j <k
⎛
= 1 − ⎝1 −
P (Ai ) +
i
−
P Ai Aj
i<j
⎞
P Ai Aj Ak + · · · ⎠
i<j <k
Aufgabe 38.16
•••
Es ist X ≥ t genau dann, wenn esX ≥ est . Daher ist
P (X ≥ t) = P esX ≥ est
Nach der Markov-Ungleichung folgt
P e
sX
≥e
st
E esX
.
≤
est
Da diese Ungleichung für jeden (zulässigen) Wert von s gilt, folgt P (X ≥ t) ≤ inf s e−st E esX .
Aufgabe 38.17
•••
a) Nach Definition ist für eine diskrete Zufallsvariable:
Var (X) =
∞
(xi − μ)2 P (X = xi ) .
i=1
Daher ist Var (X) = 0 genau dann, wenn für alle i gilt: (xi − μ)2 P (X = xi ) = 0. Ist also P (X = xi ) > 0, so ist xi = μ.
b) Für ein beliebiges X definieren wir die Zufallsvariable
Y =
0
ε
falls
falls
(X − μ)2 < ε2
(X − μ)2 ≥ ε2
Dann ist 0 ≤ Y ≤ (X − μ)2 . Also ist
0 = Var (X) = E (X − μ)2 ≥ E (Y ) = ε2 P (X − μ)2 ≥ ε2 .
Daher gilt P (|X − μ| ≥ ε) = 0 für alle ε > 0, also P (|X − μ| < ε) = 1. Sei nun εn eine Nullfolge, dann sind die
Ereignisse (|X − μ| <
Wegen der Stetigkeit der Wahrscheinlichkeitsfunktion, siehe Seite 1265 gilt
εn ) monoton fallend.
∞
{|X − μ| < εn } = limn−→∞ P (|X − μ| < εn ) = 1.
P (|X − μ| = 0) = P
n=1
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11
12
Lösungswege zu Kapitel 38
Aufgabe 38.18
•••
E X AX = Spur E X AX
= E Spur AXX
= Spur E AXX
= Spur AE XX
= Spur A μμ + Cov (X)
= Spur μ Aμ + Spur (ACov (X))
= μ Aμ + Spur (ACov (X)) .
Aufgabe 38.19 ••• Sei Xk die beim k-ten Wurf geworfene Augenzahl. Dann gilt wegen der Unabhängigkeit der Xk für
k = 0, 1, . . . und i = 1, . . . , n − 1
P (X = n · k + i) = P (X1 = n; X2 = n; . . .
. . . ; Xk = n; Xk+1 = i
= P (X1 = n ) ·
· · · · P (Xk = n) · P Xk+1 = i
1
1 1
1
= · · · · · · = k+1 .
n
n n
n
Für die Berechnung von E (X) ziehen wir eine Nebenrechnung vor:
∞
1
nk
k=0
∞
k=0
k
nk
=
=
=
1
1−
1
n
=1+
1
n−1
∞
d −k
n
kn
= −n
n
dn
k=0
k=0
d
1
n
−n
1+
=
dn
n−1
(n − 1)2
∞
−k−1
Der Erwartungswert von X ist :
E (X)
=
=
=
=
=
∞ n−1
(n · k + i) P (X = n · k + i) =
k=0 i=1
∞
∞ n−1
n·k+i
k=0 i=1
nk+1
(n − 1) n · k + n(n−1)
2
nk+1
k=0
∞
∞
k
1 1
+
(n − 1)
2
nk
nk
k=0
k=0
n
1 n
+
(n − 1)
2n−1
(n − 1)2
n (n + 1)
n
n
.
+ =
2 (n − 1)
n−1 2
Aufgabe 38.20
Y und Y 3 sind symmetrisch um den Nullpunkt verteilt, denn P(Y = k) =P(Y = −k). Daher ist
3 ••
E(Y ) =E Y = 0. Dann ist
Cov(Y, Y 2 ) = E(Y 3 ) − E (Y ) · E Y 2 = 0.
Aufgabe 38.21
••
1a) Erwartungswert und Varianz von X werden aus der Randverteilung von X berechnet:
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Lösungswege zu Kapitel 38
x
P (X = x )
x P (X = x )
x2
x 2 P (X = x )
1
0.6
0.6
1
0.6
2
0.4
0.8
4
1.6
2.2
1.4
Daher ist E(X) = 1.4 und Var (X) =E X
E(Y ) = 2.2 und Var (Y ) =E Y
2
2
− (E (X))2 = 2.2 − 1.42 = 0.24. Analog werden E(Y ) und Var (Y ) berechnet.
y
P (X = y )
y P (X = y )
y2
y 2 P (X = y )
1
0.2
0.2
1
0.2
2
0.4
0.8
4
1.6
3
0.4
1.2
9
3.6
1.0
2.2
5.4
− (E (Y ))2 = 5.4 − 2.22 = 0.56.
1b) E(X + Y ) =E(X) +E(Y ) = 1.4 + 2.2 = 3.6. Die Varianz lässt sich so nicht bestimmen, da X und Y korreliert sind. Wir
müssen
daher die Verteilung von S = X + Y explizit bestimmen: Die Wahrscheinlichkeiten der Summe P(X + Y = s) =
P(X
= k, Y = s − k)berechnen wir bildhaft als ,Faltung‘ der beiden Verteilungen. Wir schreiben dazu die Verteilungen
k
von X und Y auf zwei Papierstreifen in gegenläufiger Reihenfolge
X-Streifen
1
Y-Streifen
3
2
2
1
und schieben die Streifen feldweise aneinander vorbei. Die Summen aus den besetzten Spalten sind jeweils konstant:
1
3
2
2
1
P
0.1
2
3
2
4
4
0.2
0.1
P
P
1
1
1
2
2
1
3
3
0.3
0.1
3
2
1
2
3
2
1
5
P
0.2
Dann werden die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zellen addiert. Damit erhalten wir
2
S=s
P (S = s)
sP (S = s)
s 2 P (S = s)
2
0.1
0.2
0.4
3
0.4
1.2
3.6
4
0.3
1.2
4.8
5
0.2
1
5
1
3.6
13.8
− (E (S))2 = 13.8 − (3.6)2 = 0.84.
1c) Die Verteilung des Produktes X · Y ergibt sich aus P (XY = k) = j P (X = j, Y = jk ). Für jeden Wert von k müssen
Damit ist E (S) = 3.6 und E S
= 13.8. Daraus folgt Var (S) = E S
2
die Zellenwahrscheinlichkeiten aller Kombinationen (X = j, Y = jk ) addiert werden. Dies liefert
xy = k
P (XY = k )
k P (k )
k2
k 2 P (k )
1
0.1
0.1
1
0.1
2
0.4
0.8
4
1.6
3
0.2
0.6
9
1.8
4
0.1
0.4
16
1.6
6
0.2
1.2
36
7.2
3.1
12.3
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14
Lösungswege zu Kapitel 38
Aus dieser Verteilung lassen sich E(XY ) = 3.1 und Var (XY ) = 12.3 − 3.12 = 2.69 wie gewohnt ausrechnen.
2. Aus Cov(X; Y ) = E (X Y ) − E (X) · E ( Y ) folgt
Cov(X; Y ) = 3.1 − 1.4 · 2.2 = 0.02.
Eine Kontrollrechnung: Es ist Var (X + Y ) = Var (X) + Var (Y ) + 2Cov(X; Y ). Mit den bereits berechneten Parametern
muss also gelten
Cov(X; Y )
=
=
Die Korrelation ist
ρ= √
1
(Var (X + Y ) − Var (X) + Var (Y ))
2
1
(0.84 − 0.24 − 0.56) = 0.02
2
0.02
Cov(X; Y )
= 0.054 6.
= √
√
Var (X) Var (Y )
0.24 · 0.56
Es besteht eine minimale Korrelation.
Anwendungsprobleme
Aufgabe 38.22
••
–
Aufgabe 38.23
•
–
Aufgabe 38.24
•
1. Sei X die fragliche Weinmenge E (X) = 0.72, σX = 0.01. Dann ist
P (0.7 ≤ X ≤ 0.9) ≥ P (0.7 ≤ X ≤ 0.74)
= P (|X − 0.72| ≤ 0.02)
Nach der Tschebyschev’schen Ungleichung gilt P (|X − E (X)| ≤ k σX ) ≥ 1 −
einem σX = 0.01 der Faktor k = 2. Also gilt
P (|X − 0.72| ≤ 0.02) ≥ 1 −
1
.
k2
Setzen wir k σX = 0.02, dann ist bei
3
1
=
4
4
2. Die Verteilung von X ist symmetrisch um E (X) − 0.72. Dann folgt:
P (X < 0.7)
=
P (X − 0.72 < −0.2)
=
P (X − 0.72 > 0.2)
1
P (|X − 0.72| > 0.2)
2
=
Für E (X) = 0.72 und σX = 0.01 sagt die Ungleichung von Tschebyschev P (|X − 0.72| > 0.2) ≤
P (X < 0.7) ≤ 18 .
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1
4.
Daher ist