Vorlesung 6 - Physik (Uni Würzburg)

Einführung in die Physik I
Wärmelehre/Thermodynamik
Wintersemester 2007
Vladimir Dyakonov
#6 am 17.01.2007
Folien im PDF Format unter:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/EP6/teaching.html
Raum E143, Tel. 888-5875, eMail: [email protected]
10.5 Diffusion
Brown‘sche Molekularbewegung
• A. Einstein (1879-1955):
Erklärung der Brown'schen Bewegung (1905):
Aufsatz "Über die von der molekularkinetischen Theorie
der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden
Flüssigkeiten suspendierten Teilchen"
• Ursache: Elastische Stöße der Gas- (Flüssigkeits-) Moleküle
mit (unbelebten) Teilchen aufgrund ihrer thermischen Energie
• Suspendiertes Teilchen verhält sich wie ein großes Molekül und
nimmt an der thermischen Bewegung des Mediums teil
• Leistungsfähigkeit vieler hochempfindlicher Geräte wird durch die
Brown‘sche Bewegung (thermisches Rauschen) des Anzeigeorgans
begrenzt. (z. B. Trommelfell, Elektronen in einem Widerstand)
1
10.5 Versuch: Osmose
... und warten ca. ½ Stunde
10.5 Versuch: Osmose
∆h
2
10.5 Diffusion & Osmose
• Semipermeable Membran trennt
Volumen mit Lösung (Lösungsmittel
+ gelöster Stoff) und
Volumen mit Lösungsmittel
Lösung,
Lösung,
niedrig cc. hoch cc.
• „Semipermeabel“: Membran nur
durchlässig für eine Komponente (z.B.
Lösungsmittel)
∆h
Semipermeable Membran
• Konzentrationsunterschied kann nicht durch Diffusion des gelösten
Stoffes ausgeglichen werden !
• Es beginnt ein Diffusionsstrom, da die Wasserkonzentration auf beiden
Seiten der Membran unterschiedlich ist
• Lösungsmittel diffundiert in Volumen des gelösten Stoffes hinein (führt
zu Konzentrationsausgleich)
• Die durch den Konzentrationsgradienten bedingte Nettodiffusion
durch eine semipermeable Wand heißt OSMOSE
10.5 Diffusion & Osmose
• Im Gebiet des gelösten Stoffes baut sich ein Druck auf, der
proportional zur Konzentration des gelösten Stoffes ist:
osmotischer Druck
• Experimentell findet man das zur
allgemeinen Gasgleichung analoge
van‘t Hoffsche Gesetz:
posm⋅V =υ⋅ R⋅T
• ν ist die Zahl der Mole der gelösten Substanz im Volumen V der
Lösung
• Gelöste Moleküle verhalten sich so, als ob sie als ideales Gas ohne
Lösungsmittel vorhanden wären
• d.h. osmotische Druck einer Lösung ist genauso groß wie der
Gasdruck, den die gelösten Moleküle in der Gasphase bei der
Temperatur T auf eine Behälterwand ausüben würden.
3
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
Mittlerer Abstand der Teilchen:
n0 = Teilchenzahldichte
N = Zahl der Teilchen
V = Volumen
n0 = N / V
Mittlerer Abstand a der Teilchen unter der
Annahme, dass alle Teilchen gleich groß sind!!!
−1
a 3 = n0
Beispiel: p = 1000 hPa, T = 273 K, V = 1cm3
aLuft = 3.3 nm
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
• Zwischen 2 aufeinanderfolgenden Stößen bewegt sich
ein Gasmolekül in einem Gas geradlinig mit konstanter
Geschwindigkeit
• Die im Durchschnitt zurückgelegte Strecke
= mittlere freie Weglänge d
freie Weglänge
•
Gedankenexperiment:
• -förmige Moleküle :
dichtgepackte Moleküle:
d =∞
d=0
• Modell: Moleküle sind Kugeln mit Durchmesser 2r
Stoßquerschnitt:
σ = 4 π r2
2r
4r
2r
4
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
A dx = Streuvolumen
N = Anzahl der einfallenden Teilchen
N(x) = Anzahl der durchgetretenen Teilchen (ohne Stoßereignis)
dx
N(x)
n0
r1
Fläche A
N
Stoßquerschnitt
σ=π(r1+r2)2
r2
Ersatzbild:
r1+r2
10.5 Diffusion
Stoßquerschnitt:
σ=π(r1+r2)2
r1+r2
x
σ
Teilchen, das die Strecke x zurückgelegt hat,
überstreicht mit seinem Stoßquerschnitt σ ein
Kanal vom Volumen σ x
Stoßereignis:
• Wenn in diesem Volumen der Mittelpunkt eines Moleküls liegt, d.h.
wenn das Gas die Teilchenzahldichte n0 hat, liegen im Volumen σ x
im Mittel σ x n0 Teilchen.
• Wenn diese Zahl 1 wird, tritt im Mittel auf der Strecke x gerade ein
Stoß ein, d.h. dieses x ist die mittlere freie Weglänge d (=1/ σ n0)
5
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
A dx = Streuvolumen
N = Anzahl der einfallenden Teilchen
N(x) = Anzahl der durchgetretenen Teilchen (ohne Stoßereignis)
dx
N(x)
n0
r1
Fläche A
N
r2
Wahrscheinlichkeit, daß ein
einfallendes Teilchen
pro Weglänge dx einen Stoß erfährt
(Flächenbetrachtung):
Σσ/A = σ n0 dx A /A
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
• Treffen pro Zeiteinheit N in x-Richtung auf die Fläche A, so erfahren im Mittel
dN = N(x+dx)-N(x) = - N(x) n0 σ dx
dN/N = - n0 σ dx
(differentielle
Darstellung)
Teilchen einen Stoß
• Die Zahl der unabgelenkten Teilchen als Funktion der Laufstrecke ergibt sich
durch Integration/Delogarithmieren
N(x) = N0 exp(- n0 σ x ) = N0 exp(- x/d )
Zahl der Teilchen, die keinen Stoß erfahren haben, nimmt exponentiell ab !!!
6
10.5 Diffusion
Mittlere freie Weglänge d
d = 1/(n0 σ ) = mittlere freie Weglänge
•
Weg, den ein Teilchen im statistischen Mittel zurücklegt bis es auf
einen Stoßpartner trifft
•
In einer Entfernung von d ist der Teilchenstrom auf 1/e abgefallen
N 120
N0 100
80
60
40
N0 /e
20
x
0
0
5
10
d
15
20
25
Beispiele:
• Luftmoleküle unter
Normalbedingungen:
d ≈ 65 nm; Vergleich mit a = 3.3 nm
• Luftmoleküle im Vakuum (10-5 Pascal)
d ≈ 150 cm
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10.5 Der osmotische Druck in der Natur
Pflanzen
Der osmotische Druck zwischen dem Saft der Baumwurzeln und dem Wasser im
Boden ist eine der Ursachen für das Steigen des Saftes im Frühjahr
Ein Gewichtsprozent Zucker im Saft bewirkt bei einer Temperatur von 24oC
einen Druck von 7.2 104 Pa, was einer Steighöhe von 7.35 m entspricht
Auch die Dialyse ist ein Verfahren, das auf der Osmose beruht
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10.6 Wärme
Was ist Wärme?
•
Im 18. Jahrhundert war man überzeugt, dass Wärme ein
gewichtsloser Stoff ist, dem man den Namen "Caloricum"
oder auch "Phlogiston" gab.
•
Man war der Meinung, dass das Caloricum beim Erwärmen
eines Stoffes in dessen feinste Poren eindringt, was zu dessen
Ausdehnung führt. So glaubte man z.B. auch die Ausdehnung
einer Thermometerflüssigkeit verstehen zu können
•
Ein Körper mit hoher Temperatur sollte mehr Caloricum
enthalten als ein kälterer Körper
•
Die Stofftheorie der Wärme war weit verbreitet, sie kam
jedoch am Ende des 18. Jahrhunderts u.a. durch Experimente
in der bayerischen Kanonenbohrerei in München in
Schwierigkeiten. Im Jahre 1798 unternahm Benjamin
Tompson, der spätere Graf Rumford folgenden Versuch
10.6 Wärme
Was ist Wärme?: Rumford-Experiment
•
•
Er nahm stumpfe Stahlbohrer und ließ sie im Inneren von
Kanonenrohren laufen
Nach kurzer Zeit wurden die Rohre glühend heiß, und das zur
Kühlung verwendete Wasser kam zum Sieden
Frage: Wenn Wärme ein Stoff ist, der im Stahl der Kanonenrohre
gebunden ist und durch die Erschütterung beim Bohren freigesetzt
wird, dann müsste der Wärmestoff irgendwann zur Neige gehen ?
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10.6 Wärme
Was ist Wärme?: Joule-Experiment
• Sehr gründlich untersuchte der englische Bierbrauer James Joule
(1818-1889) den Zusammenhang zwischen mechanischer Arbeit und
Erwärmung (ihm zu Ehren nennt man die Einheit von Arbeit und
Energie: 1 Joule = 1 J) mit seiner berühmten Anordnung:
1) absinkende Gewichtsstücke versetzten eine Rührwerk in Rotation.
2) kalte Wasser wird durch die Schaufeln des Rührwerkes erwärmt und die
Temperaturerhöhung festgestellt.
3) Resultat: präziser Zusammenhang zwischen Epot und der mit der
Temperaturerhöhung verbundenen Zunahme der inneren Energie
10.6 Wärme
Was ist Wärme?: Joule-Experiment
• Sehr gründlich untersuchte der englische Bierbrauer James Joule
(1818-1889) den Zusammenhang zwischen mechanischer Arbeit und
Erwärmung (ihm zu Ehren nennt man die Einheit von Arbeit und
Energie: 1 Joule = 1 J) mit seiner berühmten Anordnung:
J. Joule
1818-1889
Äquivalenz von Wärme und mechanischer Energie !
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10.6 Wärme
Was ist Wärme?:
•
Wärme ist eine Form der Energie, die von einem Körper auf
einen anderen Körper überströmt, sobald eine Temperaturdifferenz zwischen beiden besteht
•
Mechanik: Energieübertragung durch Arbeit
Äquivalenz von Wärme und mechanischer Energie/Arbeit !
10.6 Wärme
Was ist Wärme?
•
Wärme(menge) Q: Gesamte („ungeordnete“) Energie durch
statistische Bewegung, Rotationen, Schwingungen, potentielle
Energie der Teilchen eines Stoffes
•
Wärmezufuhr Q bedeutet Energiezufuhr !
Einheiten von Q: J, Nm, Ws
•
Kinetische Gastheorie: Ekin ~ T
•
Energiezufuhr Q führt zu einer Temperaturerhöhung ∆T
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10.6 Wärme & Wärmekapazität
- Energiezufuhr Q führt zu einer Temperaturerhöhung ∆T
- Temperaturanstieg ist abhängig von Stoff- und Masse
Q ~ ∆T
Q = C· ∆T
Wasser & Behälter: C
C = Wärmekapazität, Einheit: J/K
Die Wärmekapazität C ist ein Maß für die
Wärme, die einem Körper zugeführt oder
entzogen werden muss, um eine
bestimmte Temperaturänderung
hervorzurufen:
C=
∆Q Q2 −Q1
=
∆T T2 −T1
Heizquelle (elektr.): Q
10.6 Wärme & Wärmekapazität
Spezifische Wärmekapazität:
cm = C/m
Einheit: J/(K·kg)
c, gibt die Wärmemenge an, die benötigt wird, um die Temperatur
einer Masse m um ∆T = 1 K zu erhöhen.
Q = cm ·m · ∆T
Molare Wärmekapazität:
Q = cν · ν · ∆T
cν = C/ν
Einheit: J/(K·mol)
Maßeinheit für die Wärmemenge Q: 1cal, 1J=1Ws=1Nm
1 Kalorie = 1 cal = 4.1868 J entspricht der zugeführten
Wärmemenge, die benötigt wird, um 1 kg Wasser um 1 K zu
erwärmen (genau: von 14.5 °C auf 15.5 °C)
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