Atome im optischen Gitter

Atome im optischen Gitter
Florian Seilmeier
24. Juli 2006
Atome im optischen Gitter
I. Einleitung
II. Optische Gitter
- Atome im optischen Dipolpotential
- Gittertypen (1D-, 2D-, 3D-Gitter)
- Blochbänder
- BEC im optischen Gitter
• Impulsverteilung des BEC
• Blochoszillationen
• Abbildung der Brillouinzonen
- Zusammenfassung wichtiger Ergebnisse
III. Mott-Isolator-Übergang
- Bose-Hubbard-Modell
- Suprafluidität und Mott-Isolator-Zustand
- Phasenübergang und –diagramm
- Experimente zur Phasenkohärenz
• Kohärenz und Dekohärenz
• Wiederherstellung der Kohärenz
IV. Zusammenfassung
V. Ausblick
Einleitung
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Was ist ein optisches Gitter?
- periodische Anordnung von mikroskopischen
Fallenpotentialen
- Potential durch Dipolkräfte auf Atomen.
- Realisierung mit stehenden Laserwellen
- 1D-, 2D-, 3D-Gitter möglich
Bose-Einstein-Kondensat im optischen Gitter:
→ suprafluide Phase: Delokalisierung (Bandstruktur)
→ Lokalisierung in den Fallen: Mott-Isolator-Phase
Optische Gitter: Atome im optischen Dipolpotential
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resultierendes Dipolpotential:
- Lichtfeld koppelt an Atom mit mehreren Energieniveaus
- Starkverschiebung der Niveaus
- Intensität I und Verstimmung ∆ = ω – ω0
→
V dip
hΓ 2 I (r )
= ∆E g =
8 ∆ I sat
bei Rotverstimmung (∆ < 0) attraktives Potential
bei Blauverstimmung (∆ > 0) abstoßendes Potential
wichtig: Gitterpotential abhängig von der Intensität!
Gaußscher Laserstrahl:
→
Gaußprofil:
⎛ 2r 2 ⎞
2P
exp⎜⎜ − 2 ⎟⎟
I (r , z ) =
2
πω ( z )
⎝ ω ( z) ⎠
zylinderförmige Dipolfalle mit Potential in
axialer und radialer (schwach) Richtung
Optische Gitter: Atome im optischen Dipolpotential
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Potential im Zentrum:
2
2
⎡
⎛ r ⎞ ⎛ z ⎞ ⎤
V (r , z ) ≈ −V0 ⎢1 − 2⎜⎜ ⎟⎟ − ⎜⎜ ⎟⎟ ⎥
⎢⎣
⎝ ω0 ⎠ ⎝ z R ⎠ ⎥⎦
Optische
Gitter: Gittertypen
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stehende Welle:
- E = E0[sin(kz + ωt ) + sin(kz – ωt )] = 2E0 cos(ωt) sin(kz)
- I ~ cos2(ωt) sin2(kz)
→ mittlere Intensität: ‹I› = I0 [1 – cos(2kz)]
1D Gitterpotential:
- rückreflektierter Laserstrahl
- höhere Intensitäten durch Fokussierung
V (r , z ) = −VGitter exp(−2r 2 / ω02 ) sin 2 (kz )
→ z-Richtung: ~ sin2(kz)
Maximum an Wellenbäuchen
→ radiale Richtung: ~ exp(– r2)
Abnahme Gaußprofil
→ 2D Scheiben in denen Atome gefangen werden
Optische
Gitter: Gittertypen
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2D Gitterpotential:
Überlagerung zweier stehender Wellen
→ resultierendes Potential:
(
V ( x, y ) = −VGitter cos 2 (kx) + cos 2 (ky ) + 2e1 ⋅ e2 cos φ cos(ky ) cos(kz )
→
)
Phasendifferenz Φ, Polarisationsvektoren e1 und e2
3. Term: Interferenzterm
durch Interferenz Potential zeitabhängig
Gitterstruktur für
Phasendifferenzen
von 0°, 90° und 180°
Interferenzterm:
- orthogonal polarisierte Wellen ( e1 ⋅ e2 = 0 )
- Phasendifferenz stabilisiert (interferometrisch)
Optische
Gitter: Gittertypen
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Veranschaulichung des 2D Gitterpotential:
z
y
x
Intensität
- x-y-Ebene: Maxima der Intensität
- z-Richtung: Gaußprofil
→ Lokalisierung in zigarrenförmigem Bereich
Optische
Gitter: Gittertypen
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3D Gitterpotential:
- drei senkrecht aufeinander stehende Laser
- orthogonal polarisiert
- Laser mit unterschiedlichen Frequenzen
(Interferenzeffekte herausmitteln)
→ Überlagerung 1D Wellen
→
V ( x, y, z ) ≈ Vx sin 2 (kx) + V y sin 2 (ky ) + Vz sin 2 (kz ) + Vext (r 2 )
Näherung:
- Summe der einzelnen Gitterpotentiale
- externes harmonisches Potential
- nur in Mitte des Gitters erlaubt
(exponentielle Abnahme des Gaußprofils)
→ einfach kubisches Gitter
→ tiefe Potentialtöpfe annähernd harmonisch
Optische
Gitter: Blochbänder
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Blochbänder:
Atome in periodischem Potential
Erwartung:
- Bandstruktur
- Lösung von Schrödingergleichung durch Blochfunktionen
HΨq(x) = EqΨq(x) mit H = p2/2m + V
Ψq(x) = uq(x) exp(iqx/ħ) wobei uq(x+T) = uq(x) und q Quasiimpuls
→ Beweis durch Fouriertransformation
→ Blochzustände:
vollständig delokalisierte Eigenzustände,
die durch makroskopische Wellenfunktion
mit kohärenter Phase (Eigenschaft des BEC)
beschrieben werden
Rückstoßenergie eines Atoms:
Er = ħ2k2/2m mit k = 2π/λLaser
Bänder bei Potentialtiefen
0Er, 4Er und 8Er
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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Impulsverteilung des BEC:
aus Impulsverteilung makroskopische Wellenfunktion des BEC ableitbar
Flugzeitmessung:
alle Fallenpotentiale werden ausgeschaltet
→ Atomwolke expandiert
→ Atomwellen interferieren
→ Interferenzmuster mit Absorptionsmessung aufgenommen
Simulation und
Absorptionsbild
der Impulsverteilung
periodische Struktur der Impulsverteilung:
→ konstante makroskopische Phase über gesamtes Gitter
→ Impulsverteilung einfach kubisch → reales Gitter einfach kubisch
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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W 100
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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Impulsverteilung des 3D-Gitters
Errechnete Dichteverteilung
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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Blochoszillationen:
Blochoszillationen in realem Festkörper nicht direkt beobachtbar
im BEC Blochoszillationen möglich:
- Gesamtkristallimpuls ist null
- zu jedem Einzelpuls gibt es passenden negativen Impuls
(Symmetrie der Impulsverteilung):
ħ dk/dt = 0 → q = 0
-
durch Anlegen eines externen Potentials
ħ dk/dt = F → q = ħk
→ effektiver Kristallimpuls vorhanden
Oszillationen der Atome mit
k& Fa
ω B = 2π =
G
h
wobei G reziproker Gittervektor
- auch im BEC starke Störungen
→ nur für kurze Zeiten beobachtbar
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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Beispiel: gepulster Atomlaser im Gravitationspotential
(B. P. Anderson et al., Science, Vol 282:1686, 1998)
-
vertikal orientierte stehende optische Welle
Fallenabstand beträgt λ/2
vertikales Gravitationspotential Ug = -mgz
→ Blochoszillationen des Bose-Einstein-Kondensats
→ Kohärentes Tunneln aus Fallen
→ Atomstrom mit der Frequenz ω = gλ/ħ
Absorptionsbild des BEC
Optische
Gitter: BEC im optischen Gitter
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Abbildung der Brillouinzone:
- BEC wird linearem Potential ausgesetzt
→ Blochoszillationen stoppen durch Instabilitäten
→ makroskopische Phasenkohärenz geht verloren
→ homogen besetzte 1. Brillouinzone
- optisches Gitter ausgeschaltet
→ Expansion des BEC
→ Bevölkerung höherer Energiebänder bzw.
Brillouinzonen durch Ramanübergänge
Optische
Gitter: Zusammenfassung
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Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse:
9 Dipolpotential abhängig von Verstimmung des Lasers
und Intensitätsprofil des Lasers
9 3D-Gitter stellt einfach kubisches Gitter dar
9 Näherung der Potentialtöpfe durch Parabel für
große Potentialtiefen
9 wegen Periodizität bildet sich Bandstruktur im BEC
9 makroskopische Wellenfunktion
9 Phasenkohärenz der Atomwellen in den Fallen
9 Phasenkohärenz geht nach Ausschalten des Potentials verloren
Mott
-Isolator-Übergang: Bose-Hubbard-Modell
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Wannierfunktionen:
- orthonormale Wellenfunktionen, die an Gitterplatz lokalisiert
→ w(x – xi) = N-½ Σq exp(-iqxi/ħ) Φq(x)
wobei xi i-ter Gitterplatz, q Impuls und N die Norm
- Aufenthaltswahrscheinlichkeit
der Atome im Nachbargitterplatz
→ schwache Wechselwirkung
3Er
- geringe Potentialtiefe
- Blochfunktionen
- makroskopische Wellenfunktion
→ starke Wechselwirkung
- große Potentialtiefe
- Wannierfunktionen
- Wannier-Wellenfunktion lokalisiert
in Potentialen
- einzelne BECs mit Phasenkopplung
durch Tunneln
10Er
Wannierfkt (rot) und Potential (blau)
Mott
-Isolator-Übergang: Bose-Hubbard-Modell
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Bose-Hubbard-Hamiltonian:
- Hamiltonoperator für N wechselwirkende Bosonen in externem Potential:
ˆ + ( x) HΨ
ˆ ( x) + 1 2 S ∫ d 3 xΨ
ˆ + ( x)d 3 xΨ
ˆ + ( x)Ψ
ˆ ( x)Ψ
ˆ ( x)
Hˆ = ∫ d 3 xΨ
+
wobei Ψ̂ , Ψ̂ Erzeugungs- bzw. Vernichtungsoperatoren für Bosonen und
S = 4πħ2as/m mit der Streulänge as der Atome
→ 1. Integral: kinetische Energie und Wechselwirkung mit externem Potential
→ 2. Integral: Atom-Atom-Wechselwirkung
-
Bosonische Feldoperatoren in Wannierbasis darstellbar:
ˆ ( x ) = ∑ aˆ w( x − x )
Ψ
i
i
i
âi Vernichtungsoperator für Atom am i-ten Gitterplatz
→ Bose-Hubbard-Hamiltonoperator (BHM-Operator):
Hˆ = − J ∑ i j aˆ i+ aˆ j + ∑ i (ε i − µ ) + ∑ i 1 2 U nˆ i ( nˆ i − 1)
Mott
-Isolator-Übergang: Bose-Hubbard-Modell
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Bose-Hubbard-Hamiltonoperator:
Hˆ = − J ∑ i j aˆ i+ aˆ j + ∑ i (ε i − µ ) + ∑ i 1 2 U nˆi ( nˆi − 1)
1. Term: Tunnelterm
- Tunneln der Bosonen zwischen benachbarten Potentialtöpfen
- Matrixelement (i, j benachbarte Gitterplätze):
J = ∫ w ( x − x i ) Hw ( x − x j ) dx
→ sorgt für Delokalisierung der Atome
2. Term: externes Potential
- zusätzlich zum periodischen Potential (z.B. Gravitationspotential)
- externe Potentiale kompensiert: εi = 0
3. Term: Atomwechselwirkung
- abstoßende Wechselwirkung der Atome in einem Potentialtopf
4
U = ( 4π h 2 a s / m ) ∫ w ( x ) d 3 x
→ durch kurze Reichweite der Kraft Lokalisierung in Potentialtopf
Mott-Isolator-Übergang: Suprafluidität und Mott-Isolator-Zustand
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Grundzustand:
- BHM-Operator hat zwei Grundzustände abhängig von U/J
- Vereinfachung: Doppeltopfsystem mit zwei Teilchen
- Grundzustände der einzelnen Potentialtöpfe: φL (links) und φR (rechts)
→ symmetrischer und antisymmetrischer Zustand:
ϕs =
1
2
(ϕ
L
+ ϕR
)
ϕa =
1
→ suprafluider Grundzustand (SF):
- Zustände unabhängig
- Überlagerung der Zustände
- Gewichtung 0,5 wegen Vertauschbarkeit
1
2
(ϕ L + ϕ R ) ⊗
1
2
ϕ ⊗ϕR +
2 L
1
(ϕ
L
− ϕR
)
SF
(ϕ L + ϕ R )
→ Mott-Isolator-Grundzustand (MI):
- in jedem Potentialtopf sitzt ein Atom
- Überlagerung des symmetrischen und
antisymmetrischen Zustandes
1
2
2
ϕR ⊗ϕL
MI
Mott-Isolator-Übergang: Suprafluidität und Mott-Isolator-Zustand
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Verallgemeinerung auf Vielteilchensystem:
âi+ Erzeugungsoperator für den i-ten Gitterplatz
suprafluide Phase:
- N Bosonen; M Gitterplätze
ΨSF
N
M
⎛
∝ ⎜ ∑ aˆi+ ⎞⎟ 0
⎝ i =1 ⎠
Mott-Isolator-Phase
M Gitterplätze, n Bosonen auf einem
Gitterplatz
M
( )
ΨMI ∝ ∏ aˆi+
i =1
n
0
Mott
-Isolator-Übergang: Phasenübergang und -diagramm
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Bedingungen für den Mott-Isolator-Übergang:
Zunahme der Potentialtiefe:
- Tunnelbarriere nimmt zu d.h. Tunnelmatrixelement J nimmt ab
- Atom-Atom-Wechselwirkung nimmt zu
→ U/J kontinuierlich mit Potentialtiefe veränderbar
-
Tunneln: → suprafluide Phase
Atom-Wechselwirkung:
→ Mott-Isolator-Phase
-
Übergangsbedingung:
Potentialtöpfe müssen mit ganzer
Zahl an Atomen gefüllt werden
-
nicht erfüllt: System folgt
durchgezogener Linie
→ Verwendung eines
inhomogenen Systems
→ lokal Gebiete in denen
Übergang stattfindet
Mott
-Isolator-Übergang: Experimente zur Phasenkohärenz
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Kohärenz und Dekohärenz der Phasen (M. Greiner et al., Nature, Vol 415:39, 2002):
langsames Erhöhen des Potentials:
→ suprafluide Phase:
- durch makroskopische Wellenfunktion beschrieben
- große Kohärenz (scharfes Interferenzmuster) bis 10Er
- Peaks höherer Ordnung wegen stärkerer Wechselwirkung
→
-
Mott-Isolator-Phase:
wegen Lokalisierung geht Phasenkohärenz verloren
ab 13Er inkohärenter Hintergrund (wegen MI-Phase)
→ Kontinuierlicher Übergang da sich nach und nach Bereiche mit MI-Phase bilden
Mott
-Isolator-Übergang: Experimente zur Phasenkohärenz
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Kohärenz und Dekohärenz der Phasen:
0Er
3Er
7Er
13Er
14Er
16Er
10Er
20Er
Mott
-Isolator-Übergang: Experimente zur Phasenkohärenz
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Wiederherstellung der Phasenkohärenz (M. Greiner et al., Nature, Vol 415:39, 2002):
- durch Herunterfahren des Potentials ist SF-Phase wieder erreichbar
-
Messung der Wiederherstellungsdauer nach folgendem Diagramm:
→ Breite des zentralen Peaks aufgetragen gegen
die Zeit (Breite ist Maß für die Kohärenz)
→ nach 4ms wieder Interferenzmuster sichtbar
→ nach 14ms statischer Zustand
Zusammenfassung
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9 optisches Gitter mittels Laserwellen erzeugbar
9 3D-Gitter einfach kubisch
9 zwei Phasen abhängig von U/J bzw. Potentialtiefe
9 suprafluide Phase
→ makroskopische Wellenfunktion
→ Phasenkohärenz der Atomwellen
→ Atome delokalisiert/ quasifrei
→ beschrieben durch Blochfunktionen/ Wannierfunktionen
→ 1 2 (ϕ L + ϕ R ) ⊗ 1 2 (ϕ L + ϕ R )
9 Mott-Isolator-Phase
→ Bose-Hubbard-Modell
→ Verlust der Kohärenz
→ Gitterplätze mit ganzer Anzahl an Atomen besetzt
→ 1 2 ϕL ⊗ϕR + 1 2 ϕR ⊗ϕL
Ausblick
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→ Modellierung von Festkörpersystemen:
- Blochoszillationen
- Effekte des periodischen Gitters, die wegen starker
Coulombwechselwirkung in realen Festkörpern nicht
sichtbar sind
- Abbildung von Brillouinzonen komplizierterer Gitter
→ Fermionen im optischen Gitter (realer Festkörper fermionisch)
- Übergang in eine suprafluide Phase (Cooperpaare) des
entarteten Fermigases
- zwei verschiedene fermionische Atome:
Übergang in ein bosonisches Molekül an jedem Gitterplatz
- durch optisches Gitter bei höheren Temperaturen
- besseres Modell für Festkörper
Literatur
und Anmerkungen
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-
M. Greiner, Ultracold Quantum Gases in Three-dimensional Optical Lattice
Potentials, Dissertation am Physik Department der LMU, 2003
M. Greiner et al., Quantum Phase Transition from a Superfluid to a Mott Insulator
in a Gas of Ultracold Atoms, Nature, Vol 415:39, 2002
B. P. Anderson and M. A. Kasevich, Macroscopic Quantum Interference from
Atomic Tunnel Arrays, Science, Vol 282:1686, 1998
Maxime Ben Dahan et al., Bloch Oscillations of Atoms in an Optical Potential,
Phys. Rev. Lett., Vol 76:4508, 1996
Thilo Stöferle et al., Molecules of Fermionic Atoms in an Optical Lattice, Phys.
Rev. Lett., Vol 96:030401, 2006