lsg4

Einführung in die Festkörperphysik I
Prof. P. Böni
Lösungen zu Blatt 4
F. Grünauer 7.11.02
http:/www.ph.tum.de/lehrstuehle/E21/uebungen/uebungen.html
1 Das reziproke Gitter
a) Man konstruiere auf Grund der Definitionsgleichungen
 
ai  b j  2 ij
das reziproke Gitter eines 2-dimensionalen Gitters mit




a1  3 Å, a2  6 Å und einem
Winkel von  / 6 zwischen a1 und a 2 .
Lösung:
y
a2
/6
a1
x
Gegeben:

  x(a1 )   3 
a1       Å ;
 y(a1 )   0 

3

 x(a 2 )   6  cos(30)   6  2   27 

Å ;
 
a 2      
 

1
y
(
a
)
6

sin(
30

)


3

  6  
2 


2 

Gesucht:

  x (b1 ) 
b1     ;
 y (b1 ) 

  x (b2 ) 
b2    
 y (b2 ) 
Definitionsgleichungen:
 
ai  b j  2ij
hier:




x(a1 )  x(b1 )  y (a1 )  y (b1 )  2




x(a1 )  x(b2 )  y (a1 )  y (b2 )  0




x(a 2 )  x(b1 )  y (a 2 )  y (b1 )  0




x(a 2 )  x(b2 )  y (a 2 )  y (b2 )  2

y(a1 )  0 in (I):

2
2 -1
x(b1 )   
Å
x(a1 )
3
(I)
(II)
(III)
(IV)
(V)
1

y(a1 )  0 in (II):



x(a1 )  x(b2 )  0  x(b2 )  0
(VI)
aus (III) folgt:




 x(a2 )  x(b1 )
x(a2 )  2
3 3Å  2
2
y(b1 ) 
 

 3,63Å -1

 
y (a 2 )
y(a2 )  x(a1 )
3Å  3Å
3Å



2
2
y (a 2 )  y (b2 )  2  y (b2 )   
 2,09Å -1
y (a 2 ) 3Å
 2 
  3  -1
Å ;
b1  
  2 


3

  0 
b2   2 Å -1
 
 3 
direkter Raum
reziproker Raum
y
y´
a2
b2
/6
a1
x
x´
1Å
b1
2
1Å-1
Man bestätige anhand dieses Beispiels die Beziehung Fx  Fk  2  , wobei Fx und
2
Fk den Flächeninhalt der Elementarzelle des direkten bzw. des reziproken Gitters
bedeuten.
Lösung:
direkter Raum
reziproker Raum
y´
y
Fx
a2
b2
/6
a1
x
Fk
x´
b1
Gesucht: Fx  Fk
Fläche der Elementarzelle im direkten Raum:
 
Fx  a1  a2  sin   3  6  sin( 30)Å 2  9Å 2
Fläche der Elementarzelle im reziproken Raum:
 
Fk  b1  b2  sin 
zunächst: Bestimmung von :
 




2 -1
2 -1 2 -1
4 2 -2
b1  b2  x(b1 )  x(b2 )  y(b1 )  y(b2 ) 
Å 0
Å 
Å 
Å
3
3
3
3 3
 
 




b1  b2  b1  b2  cos   x(b1 ) 2  y (b1 ) 2  x(b2 ) 2  y (b2 ) 2  cos  
2
2 2
8 2
 2   2  2
 1   1  2
 
 cos   2      
 cos   2  
 cos  
 cos 

  
3
3 3
9
 3   3
 9  3 3
2


  arccos


 
b1  b2
 
b1  b2
 4 2 -2 

Å 


3
 3 3




  arccos  2   150
  arccos 8 2
2



Å 

 9

daraus folgt für die Fläche der Elementarzelle im reziproken Raum:
 
8 2 -2
4 2 -2
Fk  b1  b2  sin 150 
Å  0,5 
Å
9
9
das Produkt der Flächen ist:
3
4 2 - 2
Fx  Fk  9Å 
Å  2 2
9
2
b)
q.e.d.

Das oben angegebene Gitter werde durch einen dritten Translationsvektor a 3 zu einem



3-dimensionalen Gitter ergänzt. a 3 stehe senkrecht zu a1 und a 2 . Man zeige, dass die


oben hergeleiteten Ausdrücke für b1 und b2 im Einklang sind mit den üblichen
Ausdrücken für den 3-dimensionalen Fall.
Lösung:
reziproke Gittervektoren im 3-dimensionalen Fall:
 

a 2  a3
b1  2    
a1  a2  a3 

 

a3  a1
b2  2    
a1  a2  a3 
 

a1  a2
b3  2    
a1  a2  a3 
Der Winkel zwischen a 3 und den anderen beiden Einheitsvekroren des direkten Raums sei

. Der Betrag von a 3 sei L.
Die Zähler der Brüche sind:
3 3 
 0
 3 

 


  
a 2  a3   3 Å   0  L    3 3 Å  L


 1
 0 
 


 0 
 0  3
 0
 
     
a3  a1   0  L   0 Å   3 Å  L
 1  0
 0
   
 
3 3 
 3
 0


 
 
 
a1  a 2   0 Å   3 Å   0 Å 2


 0
 9
 
 
 0 
der Nenner der Brüche ist:
 3  3 
  

  
a1  a 2  a3    0 Å    3 3 Å  L  9Å 2  L
 0  0 
  

somit folgt:
 3 
 2 / 3 


 -1
1 
  3 3 Å  L    2 / 3 Å
2
9Å  L 



0
 0 


 0
 0 


 -1
1  
b2  2 
 3 Å  L   2 / 3Å
2
9Å  L  
 0 
 0



b1  2 

b3  2 
 0
 0 

1   2 
 0 Å   0 
2
9Å  L  
 2 / L 
 9


4
q.e.d.
2 Bravais-Gitter
a) Warum kommt das raumzentrierte monokline Gitter nicht vor?
Lösung:
  90°
90°
90°
pimitives monoklines Gitter
raumzentriertes monoklines Gitter
Wie die Skizzen zeigen, kann
man
im
raumzentrierten,
monoklinen Gitter immer eine
monokline Zelle heraussuchen,
bei der eine Rechteckfläche
zentriert ist. Es ist eine der
vielen
kristallographischen
Konventionen , dass man nicht
die raumzentrierte, monokline
Zelle aufführt, sondern die nicht
primitive monokline Zelle. (Unter
den monoklinen Bravais-Gittern
gibt es nur das primitive und das
mit einer Fläche zentrierte
Gitter)
raumzentriertes monoklines Gitter
90°
90°
´
monoklines Gitter mit einer zentrierten Fläche
5
b)
Warum ist im orthorhombischen System die Zentrierung von nur zwei Rechteckflächen
nicht erlaubt?
Lösung:
z
b
b
c
a
a
Ebene z=0
b
Ebene z=c/2
z=0
a
orthorhombische Zelle mit zwei
zentrierten Seitenflächen
Wenn man die Punktanordnung in der Ebene z=0 vergleicht mit derjenigen in der Ebene
z=c/2, so sieht man sofort, dass die Gitterbedingung verletzt ist, da die Punkte in den beiden
Ebenen nicht die gleiche Umgebung haben.
Die allseitig flächenzentrierte orthorombische Zelle gehört jedoch zu den Bravais-Gittern
(siehe Skizze unten).
z
b
b
c
b
z=0
a
Ebene z=0
a
allseitig flächenzentriertes
orthorhombisches Gitter
6
a
Ebene z=c/2
3 Mehratomige Basis
Zeigen Sie anhand des unten skizzierten Gitters, dass nach der Theorie von Laue bei der
Wahl einer mehratomigen Basis für die Einheitszelle, das Diffraktionsbild identisch ist mit
dem Diffraktionsbild für die einatomige Basis.
Lösung:
a2´
a2
a1
a1´
Einatomige Basis
Mehratomige Basis
Maxima treten auf, wenn der Streuvektor Q einem reziproken Gitterverktor entspricht. Bei der
verschiedenen Wahl der Basis im oben skizzierten Fall sehen die reziproken Gittervektoren
verschieden aus.
Gittervektoren im direkten Raum:
 0 
  1 

a1     a1 ; a 2     a 2
 0
 1
 
a1a2
(I)
Definitionsgleichungen für den reziproken Raum:
 
ai  b j  2ij
 
 
ai  b j  ai  b j  cos   2ij
(II)
(=Winkel zwischen den jeweiligen Vektoren)
um im vorliegenden Fall die Gleichungen (II) alle gleichzeitig zu erfüllen, muss gelten:
=0° für i=j
=90° für i j
und somit:
 
 
b1 a1 und b2 a 2
daraus folgt:


a1 2
b1     ;
a1 a1


a 2 2
b2    
a2 a2
oder:
  2
b1   a1
 0

   0

 2
 ; b2  

 a2


 mit a  a ; a  a
1
1
2
2


analog kann für das mehratomige Gitter hergeleitet werden:
7


  0   0  b2
  2     b1
b1´  a1´    a1   ; b2 ´  2      
2
 0  0 2
 a2 ´   a2 
   


mit a1´ a1´ ; a2 ´ a2 ´
4 Wigner-Seitz Zelle
Skizzieren Sie die Wigner-Seitz Zelle des einfach-monoklinen Bravais-Gitters.
  


(Winkel zwischen a1 und a2   / 2 und a3 a1 , a 2 )
8