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Schnellkurs Gegenraum
Folgendes ist eine Einführung in den zwei-dimensional Gegenraum. Man wendet das Dualitätsprinzip einiger elementarer, geometrischer Konstruktionen an (Strecke, Dreiseit und Kreis) und leitet eine gegensätzliche Geometrie
ab. Man erlebt dann, dass es zu bekannten räumlichen Begriffen kommt, wie z.B. Innen und Aussen, Groß und Klein,
zusammengezogen und ausgedehnt, die sich in entgegengesetzer Weise verhalten, so dass wir es Gegenraum nennen.
Die linke Spalte bezieht sich auf die gewöhnliche Geometrie, die rechte Spalte auf die des Gegenräumlichen. Sätze
die sich nur auf die jeweilige Spalte beziehen sind in eckigen Klammern begrenzt. Alle anderen Sätze und Figuren
sind mit einem dualen Partner in der anderen Spalte gespiegelt1 .
1
Der Verfasser hat die Idee, den Gegenraum aus der Dualität von Dreieck-Dreiseit abzuleiten von G. Blattmann übernommen, Siehe
Literatur, Seiten 159-184
Strecke. Wenn sich ein Punkt entlang der Verbindungsgerade zweier Punkte A und B bewegt, von A bis B,
durchlauft er eine Strecke AB. Die Verbindungsgerade c
ist der Träger der Strecke.
Winkel. Wenn eine Gerade sich um den Schnittpunkt
zweier Geraden a und b dreht, von a bis b, durchläuft sie
einen Winkel ab. Der Schnittpunkt C ist der Träger der
WInkel.
Gewöhnliche Strecke. [Es gibt zwei verschiedene Strecken
AB zwischen A und B: eine, die gewöhnliche; und eine
zweite die durch die Idealpunkt der Verbindungsgerade
geht.] Wir nennen die erstere die gewöhnliche Strecke.
Gewöhnliche Winkel. [Es gibt zwei verschiedene Winkeln
ab zwischen a und b: Einer der sich gegen den Uhrzeiger
Sinn deht und der andere.] Wir nennen den ersten den
gewöhnlichen Winkel.
Dreiseit. Ein Dreiseit besteht aus drei nicht in eine Gerade liegenden Punkte ABC und den drei gewöhnlichen
Strecken AB, BC, und CA.
Dreieck. Ein Dreieck besteht aus drei nicht durch ein
Punkt gehenden Geraden abc und den drei gewöhnlichen
Winkel ab, bc, und ca.
1
Die Umgehung eines Dreiheit.. Ein Punkt bewegt sich
entlang der Strecke AB, wechselt zur nächste Strecke BC,
bewegt sich weiter entlang BC bis er schliesslich auf CA
kommt und sich zurück bewegt zu Anfangspunkt A.
Die Umgehung einer Dreieck.. Eine Gerade dreht sich
um die Winkel ab, wechselt zur nächste Winkel bc, dreht
sich weiter um bc bis sie schliesslich auf ca kommt und
dreht sich zurück zur Anfangsgerade a.
Innen und Aussen.. Eine Gerade, die nicht der Träger
eine Dreiseit-Strecke ist, hat entweder 0, 1, oder 2 Punkte
gemeinsam mit dem Dreiseit.
Innen und Aussen.. Ein Punkt, der nicht der Träger
eines Dreieck-Winkels ist, hat entweder 0, 1, oder 2 Geraden gemeinsam mit dem Dreieck.
Der Punkt ”P” liegt im inneren genau dann, wenn
jede Gerade durch P zwei Punkte gemeinsam mit dem
Dreiseit hat. Die Punkte im Inneren des Dreiseites sehen
so aus:
Eine Gerade m ist im inneren des Dreieckes genau
dann, wenn jeder Punkt auf m zwei Geraden gemeinsam mit dem Dreieck hat. Die Geraden im Inneren der
Dreiecks sehen so aus:
Randpunkte.Hat jede nicht-tragende Gerade durch einen
Punkt genau einen Punkt gemeinsam mit dem Dreiseit,
heisst er Randpunkt des Dreiseits. Es gibt genau 3 Randpunkte: A, B, und C.
Randgeraden. Hat jeder nicht-tragende Punkt auf einer
Gerade genau eine Gerade gemeinsam mit dem Dreieck,
heisst sie Randgerade des Dreieckes. Es gibt genau 3
Randgeraden: a, b, und c.
”n - Seit”. Liegen variable n Punkte gleich verteilt auf
einem Kreis, dann heißt die Figur bestehend aus den n
n-Eck. Liegen variable n Geraden gleich verteilt auf einem
Kreis [gegen den Uhrzeigersinn], dann heisst die Figur
2
gewöhnlichen Strecken zwischen benachbarten Punkten,
ein regelmässiges n-Seit. Alles was oben gesagt war über
Drei-Seite gilt auch für n- Seite.
bestehend aus dem n gewöhnlichen Winkel zwischen den
benachbarten Punkten, ein regelmässiges n-Eck. Alles
was oben gesagt war über Dreiecke geht auch für n-Ecke.
Punktkreis. Wenn man n wachsen lässt, dann wird das
regelmässige n-Seit an der Grenze ein Punktkreis. An
der Grenze schrumpft jede Strecke zu einem Punkt des
Kreises. Ein Kreis aus Punkten sieht so aus:
Geradenkreis. Wenn man n wachsen lässt, dann wird in
der Grenze das regelmässige n-Eck ein Geradenkreis. In
der Grenze schrumpft jeder Winkel zu einer Gerade des
Kreises. Eine Kreis aus Geraden sieht so aus:
Vollständiger Kreis. In jedem Punkt P eines Punktkreises gibt es eine einzige Gerade durch P die keine anderen Punkte des Kreises enthält. [Diese Gerade ist die
Tangentengerade zum Kreis in P.] Die Gesamtheit dieser
Geraden bildet einen Geradenkreis. Die beiden Kreise als
Ganzes bilden einen vollständige Kreis.
Vollständiger Kreis. Auf jeder Gerade eines Geradenkreises
gibt es einen einzigen Punkt der auf keiner anderen Gerade des Kreises liegt. Die Gesamtheit dieser Punkte bildet
einen Punktkreis. Die beide Kreise als Ganzes bilden einen
vollständigen Kreis.
Mittelpunkt. Der Mittelpunkt des Kreises ist der eindeutige Punkt der ganz symmetrisch zu jedem Punkt des
Kreises steht.
Mittelgerade. Die Mittelgerade des Kreises ist die eindeutige Gerade die ganz symmetrisch zu jeder Geraden
des Kreises steht. [Es ist die Idealgerade der Ebene!].
Innere Punkte. Wenn sich von dem Mittelpunkt aus in
alle Richtungen Punkte bewegen, dann erreichen sie gleichzeitig den Kreis als Punktgebilde und haben insgesamt
alle inneren Punkte des Kreises besucht.
Innere Geraden. Wenn von den Mittelgeraden aus sich
in alle Richtungen Geraden bewegen, dann erreichen sie
gleichzeitig den Kreis als Geradengebilde und haben insgesamt alle inneren Geraden des Kreises besucht.
Groß und Klein. Bewegen sich alle Punkte eines Kreises
gleichmaßig zum (bzw. weg vom) Mittelpunkt, wird der
Kreis kleiner (bzw. grösser). Der rote Kreis ist kleiner:
Groß und Klein. Bewegen sich alle Geraden eines Kreises
gleichmäßig zur (bzw. weg von der) Mittelgeraden, dann
wird der Kreis kleiner (bzw. grösser). Der rote Kreis ist
kleiner:
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Ideal Elemente. Die Ideal-Punkte der Punktebene entstehen als Schnittpunkt gegenüberliegender Geraden eines
Geradenkreises (z. B., aa’, bb’, cc’). Der Träger aller
Idealpunkte heisst ideal- oder allumfassende - Gerade. Die
Gerade ist auch die Mittelgerade des Geradenkreises.
Ideal Elemente. Die Ideal-Geraden der Geradenebene
entstehen als Verbindungsgeraden gegenüberliegender Punkte eines Punktkreises (z. B., AA’, BB’, CC’). Der Träger
aller Idealgeraden heisst Ideal - oder allbeziehender - Punkt.
Es ist auch der Mittelpunkt des Punktkreises.
Schwerkraft. Ein Punktkreis mitsamt seiner inneren Punkte übt eine Schwerkraft aus, die bewirkt, dass ein nheliegender Punkt sich in Richung Kreismittelpunkt M, entlang
seiner Verbindungsgeraden mit M bewegt :
Leichtekraft. Ein Geradenkreis mitsamt seiner innere
Geraden übt eine Leichtekraft aus, die bewirkt, dass eine
nherliegende Gerade sich dreht in Richung Kreismittelgerade m, um ihren Schnittpunkt mit m :
[Diese Figur ist perspektivisch gezeichnet, so dass die
Kreismittelgerade (lila) zu sehen ist.]
Leichtekraft saugt.
Schwerkraft drückt.
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