Das Induktionsgesetz I Das Induktionsgesetz II - ate.uni

-242-
Das Induktionsgesetz I
Das bewegte Leiterstück
• Leiterstück der Länge wird
wird mit der Geschwindigkeit
v durch das B-Feld bewegt.
B
• Auf die Elektronen im Leiter
wird die Kraft Fm ausgeübt:
1
Fm = e v B
(
Esek
-e
Fm
Fe
v B
v
Esek
)
• Die Elektronen wandern nach
und lassen in eine positive Überschussladung zurück.
• Dadurch wird ein sekundäres
elektrisches Feld Esek aufgebaut, welches auf die Träger
die rücktreibende Kraft Fe
ausübt.
2
• Kräftegleichgewicht: Fe = Fm.
-243-
Das Induktionsgesetz II
Das bewegte Leiterstück
(1) Rücktreibende Kraft – das sekundäre elektrische Feld:
: Kräftegleichgewicht Fm + Fe = 0
Esek = v B
Fm = e v B = Fe = e Esek (
)
(
)
(
)
Durch Ladungstrennung hervorgerufenes sekundäres elektrisches Feld.
(2) Antreibende Kraft – zwei Standpunkte:
Ruhender Beobachter:
Beobachtete Leiterbewegung v 0
Kraft wird dem Magnetfeld B
zugeschrieben (Lorentzkraft):
Fm = e v B
(
)
Mit dem Leiter mitbewegter Beobachter:
Es gibt wegen v = 0 keine Lorentzkraft.
Die Kraft wird daher einem antreibenden
elektrischen Feld Eind zugeschrieben:
Fm Felektrisch = e Eind
Aber Ursprung ist
Eind = v B
nicht elektrisch!
1
-244-
Das Induktionsgesetz III
Das bewegte Leiterstück
(3) Diskussion:
Esek
• Die (die Elektronen) «antreibende» Feldstärke Eind wird
induzierte elektrische Feldstärke genannt.
+ + +
Esek
Eind
– – –
• Sie ist nicht elektrostatischen Ursprungs. Die alte Bezeichnung hierfür lautet deshalb auch elektromotorische Kraft
(EMK), denn die Kraft welche, die Ladungstrennung verursacht kann im Allgemeinfall auch nicht elektrischen Ursprungs sein (z.B. elektrochemisch, wie in der Batterie).
Eind + Esek = 0
• Im Innern des Leiters gilt:
(das Leiterinnere ist feldfrei).
• An den Leiterenden und wird über dem Leiterstück
daher keine Spannung u12 gemessen (das antreibende
Feld Eind, die EMK ist dadurch auch nicht direkt messbar).
• Der ruhende Beobachter kann nur das ausserhalb des
Leiters manifeste, sekundäre elektrische Feld Esek messen,
welches durch die Bewegung des Leiters erzeugt wird.
-245-
Das Induktionsgesetz IV
Das bewegte Leiterstück
(4) Induzierte Grössen:
• Integrationswege:
Cin = Im Leiter{ }
Cout = Aussen{ }
-Cin = Im Leiter{ }
-Cout = Aussen{ }
• Mitbewegter Beobachter (Weg = Cin): Inneres ist feldfrei
u12 =
ind
Cin
E
ind
Cin
+ Cin
E ds = ( E
+ Esek ds = 0
)
Cin
ds = Esek ds =
Cin
Cin
in
Esek ds Cin
E
sek ds = 0
in
Siehe auch Folie 83: Zweites Grundgesetz für elektrische Felder! macht Sinn, da das sekundäre elektrische Feld Esek ja von Ladungen verursacht wurde.
2
-246-
Das Induktionsgesetz V
Das bewegte Leiterstück
• Konservatives, sekundäres E-Feld Esek :
(4) Induzierte Grössen:
Esek ds = 0
inout
Verallgemeinerung von bezüglich beliebig geschlossener Integrationswege.
• Induziertes E-Feld Eind :
E
ind
ds = 0
in
Aber:
Diese Aussage für Eind ergibt
sich mit Hilfe von und analog zur Folie 245.
Eind ds 0
Der innere Integrationsweg
wird über den Aussenraum
geschlossen (C = Cin– Cout).
Cin Cout
Integral von Null verschieden, weil Eind nur im bewegten
Leiterinnern, d.h. entlang von Cin auftritt: «bewegt» impliziert, dass dies nur der ruhende Beobachter feststellt !
-247-
Das Induktionsgesetz VI
Das bewegte Leiterstück
(5) Experimentalanordnung zur induzierten Spannung:
reibungsfreier und
widerstandsfreier Kontakt
E =0
iind
x
v
Esek ds = u12 > 0
Cout
y
In der Schleifenanordnung
fliesst ein Strom der elektrischen Stromstärke iind, weil
im ruhenden Aussenraum gilt:
z
R=0
n
mit Cout = Aussen{ }
V
u12
Ri 0
B
Spannungsmessgerät
mit endlich grossem
Innenwiderstand Ri.
3
-248-
Das Induktionsgesetz VII
Das bewegte Leiterstück
(5) Experimentalanordnung zur induzierten Spannung:
Gemäss Folie 246 gilt aber auch für einen allgemeinen geschlossenen Weg durch und
, falls Cout ruhend ist und Cin sich relativ zu Cout bewegt:
Esek ds =
Cout Cin
u12 =
Esek ds +
Esek ds = 0
Cin
Cout
Esek ds = Esek ds = +
Cin
Cout
(1)
Eind ds
(2)
(2)
)
Bezugspfeil siehe Folie 247
u12 = v B
>0
Bewegungsrichtung
siehe Folie 247
Cin
(1)
u12 = Eind ds = v B ds = v B
(
Mit: Cout = Aussen{ }
Cin = Im Leiter{ }
v = v ex ; v < 0
B = B ez ; ds = ds ey
Induzierte Spannung (obwohl Inneres des bewegten Leiters
feldfrei ist, tritt aussen zwischen den Leiterenden u12 auf!)
-249-
Das Induktionsgesetz VIII
Das bewegte Leiterstück
(6) Experimentalanordnung zum induzierten Strom:
Bezugspfeil von uind
wird als in sich geschlossen dargestellt.
uind
• Leiterschleife wird zu einem
Stromkreis kurzgeschlossen.
R2
• Der Drahtwiderstand beträgt R2,
derjeinge des beweglichen
Leiters R1.
• Es fliesst somit der Strom:
B
v
R1
n
iind
iind =
u12
Rges
=
v B
R1 + R2
Induzierter Strom
• An den Widerständen fällt die
induzierte Spannung ab:
reibungs- und
widerstandsfreier Kontakt
uind = Rges iind = u12
4
-250-
Das Induktionsgesetz IX
Das bewegte Leiterstück
(7) Zusammenfassung der induzierten Grössen:
iind 0
R2
R1
B
n
v
uind
iind = 0
uind
n
a)
b)
Kurzgeschlossene
Leiterschleife
Offene
Leiterschleife
iind =
B
v
uind v B
=
Rges R1 + R2
uind =
( v B )ds = v B
Cin
Magnetischer Fluss und Induktion I
-251-
Der magnetische Fluss m
(1) Experimentalanordnung:
Schleifkontakt
A
x
• Im Zeitabschnitt t vom Leiter überstrichene Fläche A:
iind 0
B
A = x = vt
uind = v B
v
v
n
V
B
Ri Flächenabnahme
pro Zeiteinheit.
x (t )
t = t0
t = t0 + t
uind
x
=
x
B
t
A = B t • Das Produkt (B·A) spielt bei der
Berechnung von uind eine Rolle!
5
Magnetischer Fluss und Induktion II
-252-
Der magnetische Fluss m
(2) Definition des magnetischen Flusses:
B
B1 A2
n1
n3 n2
n
m = B cos n , B A
m = B n A
( (
F
A
m = B n A
=1
N
F
m = B n
dA
A1
A
nk
A3
))
[ ] =
m
Vsm 2
m2
dF
N
A = A
=1
A dA
N
Magnetischer
Fluss
= Vs = Wb
Weber
Magnetischer Fluss und Induktion III
-253-
Der magnetische Fluss m
(3) Bezugspfeil des magnetischen Flusses:
A
•
m
a)
m > 0
A
n
B
n
•
m
B
b)
m < 0
Der Bezugspfeil (kein Vektor!) des magnetischen Flusses m zeigt in Richtung des Flächennormalenvektors. Der magnetische Fluss m ist positiv, wenn das B-Feld in die gleiche Richtung wie der Flächennormalenvektor zeigt.
6
Magnetischer Fluss und Induktion IV
-254-
Der magnetische Fluss m
(4) Flussänderung und induzierte Spannung:
Ändert sich der magnetische Fluss m durch
die Fläche A, welche von der Leiterschleife
aufgespannt wird, so wird in der Leiterschleife eine Spannung uind induziert, die
gleich der zeitlichen Abnahme von m ist.
iind
dA
dt
Folie 251
uind
Wird ein Flächennormalenvektor mit willkürlichem Richtungssinn eingeführt, so ist der
Bezugspfeil der in der Leiterschleife induzierten Stromstärke iind der Richtung des
Flächennormalenvektors im Rechtsschraubensinn zugeordnet.
n
B
m
Das Vorzeichen der Stromstärke iind ermittelt
sich aus dem Bezugspfeil und Vorzeichen
von m. (Merke: Abnahme von – m entspricht einer Zunahme von m).
m tdt d m
=
t
dt
Magnetischer Fluss und Induktion V
-255-
Der magnetische Fluss m
(5) Anschauungsbeispiele zur Bezugsrichtung und Vorzeichenkonvention:
Hsek
•
• Der Bezugspfeil der induzierten
Stromstärke iind ist dem Flächennormalenvektor im Rechtsschraubensinn zugeordnet.
iind < 0
B
n
v
• Der Fluss m ist positiv.
R=0
V
uind < 0
Ri
•
R=0
Hsek
iind < 0
Hsek ist die durch den induzierten Strom iind verursachte sekundäre magnetische Feldstärke.
• dm /dt ist positiv (negative
Abnahme).
• Induzierte Spannung uind ist
daher negativ (Folie 254).
• Vorzeichen von iind ist negativ.
7
Magnetischer Fluss und Induktion VI
-256-
Der magnetische Fluss m
(5) Anschauungsbeispiele zur Bezugsrichtung und Vorzeichenkonvention:
• Hsek
• Der Bezugspfeil der induzierten
Stromstärke iind ist dem Flächennormalenvektor im Rechtsschraubensinn zugeordnet.
iind > 0
B
n
v
Der Fluss m ist positiv.
R=0
uind > 0
V
Ri
• Hsek
R=0
• dm /dt ist negativ (positive
Abnahme).
iind > 0
Hsek ist die durch den induzierten Strom iind verursachte sekundäre magnetische Feldstärke.
• Induzierte Spannung uind ist
daher positiv (Folie 254).
• Vorzeichen von iind ist positiv.
Magnetischer Fluss und Induktion VII
-257-
Der magnetische Fluss m
(6) Die Lenz’sche Regel:
iind
dA
dt
d m
<0
dt
H sek
iind
H sek
dA
dt
m
n
B
d m
>0
dt
m
n
B
Lenz’sche Regel: Die durch den induzierten Strom iind (positiv eingezeichnet) hervorgerufene sekundäre magnetische Feldstärke H sek wirkt der Flussänderung dm/dt stets entgegen.
8
-258-
Magnetischer Fluss und Induktion VIII
Der magnetische Fluss m
(7) Zur Flussänderung:
Zeitlich veränderliches Magnetfeld B(t).
B( dA
d m
dt n )
uind = =
dB
dt
( A n ) dt
Leiterschleife mit v durch
inhomogenes Magnetfeld
B(r) bewegen.
Magnetischer Fluss und Induktion IX
-259-
Induktion im zeitvariablen Magnetfeld
• Leiterschleife im zeitvariablen Magnetfeld B(t): uind bzw. iind werden induziert.
uind = Riind = d m
dt
• Konstante, induzierte Stromdichte Jind
über den Leiterquerschnitt AL.
• Beliebig variierender Leiterquerschnitt:
s
=1 AL
N
N
R = R = =1
R=
ds
A ( s )
C
L
s ds
N C: in sich geschlossene Leiterkurve.
9
Magnetischer Fluss und Induktion X
-260-
Induktion im zeitvariablen Magnetfeld
(8) Im Leiterelement induzierte Grössen:
iind, = J ind, nL AL = Eind, nL AL
ds
duind, = iind, dR = Eind, nL AL AL
duind, = Eind, nL ds = Eind, ds
(
(
uind
)
)
d m
=
E
d
s
=
ind
dt
C
Ziel: Den magnetischen Fluss m
auch anhand von Feldgrössen
darstellen und einbringen.
Längs des Leiters abfallende,
induzierte Spannung; C beschreibt
den in sich geschlossenen
Integrationsweg im Leiter.
d m
d
=
dt
dt
B
n dA
(Folie 252)
A
Magnetischer Fluss und Induktion XI
-261-
Induktion im zeitvariablen Magnetfeld
(9) Das Induktionsgesetz:
Verallgemeinerte Formulierung unter Beizug
des statischen elektrischen Feldes Estat ergibt
das Induktionsgesetz für das gesamte elektrische Feld E für eine Schleife mit unendlich
dünnem Draht entlang der Kurve C, bzw. entlang des Randes A der Schleifenfläche A.
E
d
s
=
E
d
s
+
E
ind
stat ds
A
A
A
d
= B n dA
dt A
d
E
A ds = dt
=0
(Folie 83)
B
n dA
A
10
Magnetischer Fluss und Induktion XII
-262-
Induktion im zeitvariablen Magnetfeld
(10) Diskussion zum Induktionsgesetz:
d
E
A ds = dt
B
dA
n
A
• In einer geschlossenen Leiterschleife, die von
einem zeitveränderlichen magnetischen Fluss
durchsetzt ist, wird in der Leiterschleife die
elektrische Feldstärke E und hieraus die
Stromdichte J induziert.
dF
• Die entlang der Leiterschleife abfallende,
induzierte Spannung ist gerade gleich der
Abnahme des die Leiterschleife durchsetzenden magnetischen Flusses m.
Das Induktionsgesetz stellt
somit eine Verallgemeinerung
des 2. Grundgesetzes für
elektrische Felder (Folie 83)
dar. Das induzierte elektrische
Feld ist nicht konservativ:
• A ist die von der Leiterschleife aufgespannte
Fläche und A ist deren Randkurve, wobei
die Richtung von A dem Flächennormaleneinheitsvektor von A im Rechtsschraubensinn zugeordnet ist.
E
ds 0
• Dies gilt exakt nur für einen unendlich dünnen
Leiterdraht (Linienleiter).
A
Beispiele zum Induktionsgesetz I
-263-
Beispiel: «Dreieckige Leiterschleife»
t=0
a
n
iind
h
A(t )
v
R
t >0
(t )
• Die dreieckige Leiterschleife taucht mit der
Geschwindigkeit v in ein
homogenes Magnetfeld
B ein.
• Gesucht: Zeitlicher Verlauf der Stromstärke iind(t).
x
B
A ( t ) = 12 ( t ) x ( t ) = 12 ( t ) v t
a
= arctan 2h ( t ) = 2 x ( t ) tan = 2 v t tan 11
-264-
Beispiele zum Induktionsgesetz II
Beispiel: «Dreieckige Leiterschleife»
a
v
• Die induzierte Stromstärke iind(t) steht zur Flächennormalen im Rechtsschraubensinn und
beträgt:
n
iind
(t )
h
R
x (t )
(
B
A(t )
Stromstärke iind (t) fliesst
im Gegenuhrzeigersinn.
iind = uind
1 d m
1 dA
= = B
R
R dt
R
dt
1
d 2 2
v t tan iind = B R
dt
1 2
= B v 2t tan R
1 2 a
= B v t R
h
2
A ( t ) = 12 ( t ) x ( t ) = v t 2 tan iind =
1 2 a
B v t
R
h
Beispiele zum Induktionsgesetz III
)
-265-
Beispiel: «Dreieckige Leiterschleife»
a
v
n
(t )
h
x (t )
• Alternativer Rechenweg:
R
iind
B
A(t )
Alternative Betrachtungsweise:
Leiter (t), welcher sich mit der Zeit in
seiner Länge vergrössert, bewegt
sich mit v durch das B-Feld.
2 a
uind = iind R = B v t
h
a = v 2 v t B
2h
= v 2 v t tan B
= v 2 x ( t ) tan B
= v ( t ) B
Alternativer Weg
uind = v ( t ) B gemäss
Folie 250.
12
-266-
Beispiele zum Induktionsgesetz IV
Beispiel: «Dreieckige Leiterschleife»
iind
iind =
Bva
R
t
Schleife ist vollständig
ins B-Feld eingetaucht.
iind = 0
T =h v
t
-267-
Beispiele zum Induktionsgesetz V
Beispiel: «6 Messungen»
Leiterschleife:
R1
B
R1 b
R1
(A)
«offen»
R1
2
n
R1
2
Ri V
R1
2
m
(B)
«geschlossen»
u
R1
ind
n
m
R2
R1
R1
2
iind
V
R1
n
u
R =0
n
R1
2
m
R1
2
R1
2
R1
V
m
R2
V
R1
2
R=0
R1
2
R =0
n
V
R1
2
R =0
u
R1
2
R1
2
n
m
R =0
R1
a
• Frage: Welche
Spannung u
wird gemessen?
V
R1
R2
B = B̂cos ( t )
u
iind
u
m
R2
R =0
iind
u
13
-268-
Beispiele zum Induktionsgesetz VI
Beispiel: «6 Messungen»
(A) «Offene»
Leiterschleife:
• Voltmeter: Ri • Es fliesst kein Strom.
C
R1
2
R =0
R1
R1
n
R1
2
Ri R1
2
n
R1
2
m
m
n
R1
2
u
R =0
V
R1
2
m
R =0
V
u
(
)
d m
d
=
ab B̂cos ( t )
dt
dt
= ab B̂sin ( t ) Messschleife C um-
u=
=1
d m
=
dt
V
R1
• Messschleife C besteht
aus den entsprechenden
Abschnitten der Leiterschleife und den Zuführungsdrähten zum Voltmeter.
N
E
d
s
=
u
u
fasst gesamten Fluss.
u=0
Messschleife C umfasst keinen Fluss.
Beispiele zum Induktionsgesetz VII
-269-
Beispiel: «6 Messungen»
(A) «Offene»
Leiterschleife:
u
V
R1
R1
2
R =0
n
R1
2
Ri R =0
R1
2
n
R1
2
m
m
R1
R1
R1
2
n
R1
2
u
R =0
V
m
V
u
d m
d ab
= B̂cos ( t )
dt
dt 2
ab
C um=
B̂sin ( t ) Messschleife
fasst halben Fluss.
2
u=
14
-270-
Beispiele zum Induktionsgesetz VIII
Beispiel: «6 Messungen»
u
(B) «Geschlossene»
Leiterschleife:
R1
2
• Voltmeter: Ri uind = a b B̂sin ( t )
iind
n
m
R2
Ri u
uind
= ind =
Rges 3 R1 + R2
• Leiterschleife umfasst
den gesamten Fluss.
R1
ind
R1
2
iind
R=0
V
R1
n
R1
2
R1
n
V
m
R =0
u
m
iind
R2
V
R1
2
R1
2
R2
R1
2
R =0
iind
u
R
R1
+ R1 + 1 iind = uind
2
2
u+
• Es fliesst Strom iind.
R1 + R2 2R1 =
a
b
u = uind 1 B̂
3R + R sin ( t )
3R1 + R2 1
2
-271-
Beispiele zum Induktionsgesetz IX
Beispiel: «6 Messungen»
u
(B) «Geschlossene»
Leiterschleife:
Alternative Berechnung:
Leiterkreis in zwischen
Voltmeterzuführung und
unterem Teil der Leiterschleife umfasst keinen
Fluss: Spannung in diesem
Kreis muss Null sein.
R1
ind
R1
2
n
m
R2
Ri V
R1
2
iind
R=0
V
R1
n
R1
2
R1
2
R1
2
R1
n
V
m
R =0
R2
iind
u
m
R2
R1
2
R =0
iind
u
R1
+ R2 iind = 0
2
u 2
R +R R +R u = uind 1 2 = a b B̂ 1 2 sin ( t )
3R1 + R2 3R1 + R2 15
-272-
Beispiele zum Induktionsgesetz X
Beispiel: «6 Messungen»
u
(B) «Geschlossene»
Leiterschleife:
Vorgehensweise:
Leiterkreis in zwischen
Voltmeterzuführung und
oberem Teil der Leiterschleife umfasst keinen
Fluss: Spannung in diesem
Kreis muss Null sein.
R1
ind
R1
2
n
m
R2
Ri R1
2
iind
R=0
V
R1
n
R1
2
R1
n
V
m
R =0
u
m
iind
R2
V
R1
2
R1
2
R2
R1
2
R =0
iind
u
R
R1
+ R1 + 1 iind = 0
2
2
u
2R1 2R1 =
a
b
u = uind B̂
3R + R sin ( t )
3R1 + R2 1
2
-273-
Beispiele zum Induktionsgesetz XI
Beispiel: «6 Messungen»
u
(B) «Geschlossene»
Leiterschleife:
Vorgehensweise:
Im Leiterkreis in umfasst
der Messkreis nur den
halben magnetischen
Fluss: es wird daher auch
nur die halbe Spannung
induziert.
R1
ind
R1
2
n
m
R2
Ri V
R1
2
iind
R=0
V
R1
n
R1
2
R1
2
R1
2
R1
n
V
m
R =0
R2
iind
u
m
R2
R1
2
R =0
iind
u
R
1
R1
+ R1 + 1 iind = uind
2
2
2
u+
R2 R1 R2 R1 u = uind B̂
=
a
b
2( 3R + R ) sin ( t )
2( 3R1 + R2 ) 1
2 16
Beispiele zum Induktionsgesetz XII
-274-
Beispiel: «6 Messungen»
Wichtiges Fazit:
Die hier abgeleiteten Beziehungen haben eine grosse Bedeutung für die Messung elektrischer Spannungen in Anwesenheit
von magnetischen Wechselfeldern. Treten im Messraum magnetische Wechselfelder auf, ist die Messung von Spannung
davon abhängig, wie die Zuführungsleitungen des Messinstruments geführt werden!
u
iind
ind
V
2
V
m
m
iind
V
u
m
iind
u
-275-
Das magnetische Flussgesetz I
Magnetischer Fluss durch eine Kugeloberfläche
(1) Gibt es «magnetische Ladungen»?
B n < 0
• Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte B (und im homogenen, isotropen
Material auch die Feldlinien des H-Feldes) sind geschlossene Linien.
• Sie haben keinen Anfang und kein
Ende !
• Daher gibt es auch keine «magnetische Ladungen» (magnetische Monopole), weil diese an den Anfängen bzw.
Enden der Feldlinien sitzen müssten!
• Feldlinien, die in die Oberfläche der
Hohlkugel eindringen, müssen diese
B n > 0
auch wieder verlassen.
• Daher gilt:
B
dA = 0
n
A
dF
17
Das magnetische Flussgesetz II
-276-
Magnetischer Fluss durch eine Kugeloberfläche
(2) Diskussion:
B
dA = 0
n
A
dF
• Im Innern der Hohlkugel existieren keine Anfangsund Endpunkte der magnetischen Feldlinien.
• Es gibt somit auch keine eingeschlossenen «magnetischen Ladungen» (weil überhaupt keine «magnetischen Ladungen» existieren).
• Das Hüllenintegral des magnetischen Flusses ist daher
stets Null: Dies stellt ein fundamentaler Unterschied
zu den elektrischen Feldern dar!
Der magnetische Fluss m durch eine geschlossene
Fläche A ist immer gleich Null; d.h. es gibt keine
magnetischen Quellen und Senken (magnetische
Ladungen, bzw. magnetische Monopole).
Das magnetische
Flussgesetz
(Das 3. Grundgesetz der
magnetischen Felder)
-277-
Grenzbedingungen I
Grenzbedingungen der magnetischen Feldstärke
(1) Anwendung des Durchflutungsgesetzes:
3
H
d
s
=
H
t
+
H
+
1
1
1
1 t3 C
2
+ H 2 t 3 3 + H 2 t2 2 +
2
4 4
+ H 2 t4 + H1 t4 =
2
2
=0
Im Grenzübergang ergibt sich:
Grenzschicht ohne Flächenstrom
3 , 4 0 1 = 2 = H 1 t1 + H 2 t2 = 0
18
-278-
Grenzbedingungen II
Grenzbedingungen der magnetischen Feldstärke
(2) Die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldstärke:
t1 = t2 = t
Tangentialkomponente des H-Feldes:
H1 t H 2 t = 0
H1 t = H 2 t
Die Tangentialkomponente lässt sich
auch anders «erzeugen»:
n12 H 1 = n12 H 2
n12 H 2 H 1 = 0
(
Grenzschicht ohne Flächenstrom
)
Tangentialkomponente des H-Feldes in
einer Grenzschicht zwischen zwei Materialien mit 1 und 2 sind stetig, wenn in
der Grenzschicht kein Strom fliesst.
-279-
Grenzbedingungen III
Grenzbedingungen der magnetischen Flussdichte
(1) Anwendung des magnetischen Flussgesetzes:
B n dA = 0
A
Magnetischen Fluss
über den Quader mit
A1,…,A6 integrieren.
Quader wird durch
die Grenzschicht
halbiert.
Im Grenzübergang
wird die «Dicke» des
Quaders gegen Null
gehen, wodurch A1
und A2 gleich gross
werden.
19
-280-
Grenzbedingungen IV
Grenzbedingungen der magnetischen Flussdichte
(1) Anwendung des magnetischen Flussgesetzes:
A3
B
n
dA
=
B
n
A
+
B
+
1
1
1
1 n3 A
2
A
+ B2 n3 3 + B2 n2 A2 +
2
A
A
+ B1 n4 4 + B2 n4 4 +
2
2
A5 A5
+ B1 n5 + B2 n5 +
2
2
A
A
+ B1 n6 6 + B2 n6 6 = 0
2
2
-281-
Grenzbedingungen V
Grenzbedingungen der magnetischen Flussdichte
(2) Die Normalkomponenten der magnetischen Flussdichte:
Im Grenzübergang ergibt sich:
A3 , A4 , A5 , A6 0
A1 = A2 = A
B1 n1 A1 + B2 n2 A2 = 0
B1 n1 A + B2 n2 A = 0 B1 n1 + B2 n2 = 0
n1 = n2 = n12
n12 B2 B1 = 0
(
)
Normalkomponenten
Die Normalkomponenten des B-Feldes in einer
Grenzschicht zwischen den Materialien mit 1 und
2 sind stetig.
20
-282-
Grenzbedingungen VI
Das Brechungsgesetz für das Magnetfeld
(1) Zusammenfassen der beiden Grenzbedingungen:
I
μ1
II
μ2
B1, H1
1
2
Bi = μi H i
1
1
tan (1 ) =
tan ( 2 )
μ1
μ2
B2 , H2
n12
n12 H 1 = n12 H 2
H 1 sin (1 ) = H 2 sin ( 2 )
n12 B1 = n12 B2
B1 cos (1 ) = B2 cos ( 2 )
tan (1 ) μ1
=
tan ( 2 ) μ2
Brechungsgesetz
-283-
Grenzbedingungen VII
Das Brechungsgesetz für das Magnetfeld
(2) Diskussion:
I
II
μ1
μ2
B1, H1
Brechungsgesetz
Fall 2 > 1:
• 2 > 1
1
2
Bi = μi H i
tan (1 ) μ1
=
tan ( 2 ) μ2
n12
B2 , H2
Fall 2 :
• tan(1) / tan(2) 0
• 1 0; 2 /2
• Beim hochpermeablen Körper
stehen die Feldlinien ausserhalb
senkrecht und innerhalb parallel
zur Materialoberfläche.
Fall 2 < 1:
• 2 < 1
21
-284-
Energie im magnetischen Feld I
Energieinhalt der Spule
(1) Energie und Magnetismus:
• Experimentalanordnung
zur Definition der Energie: Feldaufbau in Spule.
w
n
• Lange Spule:
i
i
d
H
z
m
Probleme: Magnetische Wirkung ist nicht vom Material zu
trennen (es gibt keine magnetischen Ladungen).
Analogie Arbeit Feldenergie funktioniert nicht
mehr, da zusätzlich ein Drehmoment auftritt.
d
• Magnetische Feldstärke
falls i > 0:
H = H ez := H ez
wi
(Folie 188)
H=
B = μ0 H ez =
= μ0 wi ez
Energie im magnetischen Feld II
-285-
Energieinhalt der Spule
(1) Energie und Magnetismus:
Magnetischer Fluss:
w
n
i
i
H
z
m
Vergrösserung
des magnetischen
Flusses:
μ0 d 2
d m =
wdi
4 d
Unter Berücksichtigung
des Flächennormaleneinheitsvektors auf der Querschnittsfläche A der Spule
ergibt sich der folgende
(positive) magnetische
Fluss:
m = B A
m = μ0
wi d 2
4
Der Strom soll um di vergrössert werden.
22
Energie im magnetischen Feld III
-286-
Energieinhalt der Spule
(2) Energie zum Aufbau des Magnetfeldes in der Spule:
(eine Windung)
n
H
H
uind < 0
d m
>0
dt
di
>0
dt
i >0
u
H
Hsek
d m di
d m
di
dt
dt
Gegeninduzierte
Spannung in einer
Windung der Spule:
H
iind < 0
Strom- bzw. Flussänderung sei eine
zeitliche Änderung:
μ0 d 2
d m
di
uind /Windung = =
w
dt
4 dt
(Gegen)induzierter Strom iind < 0 ist
dem Spulenstrom i entgegengesetzt !
Energie im magnetischen Feld IV
-287-
Energieinhalt der Spule
(2) Energie zum Aufbau des Magnetfeldes in der Spule:
di
d m
d m
uind /Wdg. = dt
dt
dt
(A) (Gegen)induzierte Spannung wird durch
die Flussänderung bewirkt, welche der
Stromänderung entgegenzuwirken versucht
(Lenz’sche Regel).
(B) Induzierte Spannung uind/Wdg. muss überwunden werden um den Spulenstrom i um
di zu erhöhen. Es ist Arbeit zu leisten! Diese Arbeit muss von «aussen» aufgebracht
werden (negatives Vorzeichen) und wird im Magnetfeld als Energie gespeichert.
(
dWm/Wdg. = uind /Wdg
)
μ0 d 2
μ0 d 2
di idt = w i dt = w
idi
4
dt 4
di : i = 0 i = iSpule
iSpule
Wm =
0
gesamte Spule
: uind = w uind /Wdg.
2
2
iSpule
μ0 d 2
2 μ0 d
w idi = w 4
4
2
2
23
Energie im magnetischen Feld V
-288-
Energieinhalt der Spule
(2) Energie zum Aufbau des Magnetfeldes in der Spule:
μ0 d 2 i 2
Wm = w 4
2
1 wi μ0 wi d 2
1
= = H BV
4
2 2
2
H
A
B
(3) Energie im homogenen magnetischen Feld:
1 Wm = H B A
2
V
(Vergleiche hierzu
auch Folie 108)
Energiedichte
wm =
Wm 1 = H B
V
2
In einem homogenen Magnetfeld der magnetischen
Feldstärke H und der magnetischen Flussdichte B,
das einem Raum des Volumens V zugeschrieben
wird, ist der Energieinhalt Wm gespeichert.
-289-
Magnetische Kreise I
Magnetischer Fluss in unterschiedlichen Materialien
(1) «Längsgeteilter» Spulenkern:
HL
HE
μ0 μr
μ
• Lange Spule: D
• Eisenkern (E): r 1
0
i
i
w
HE
HL
i
z
i
μ0 μr
μ0
d
• Luft (L): r = 1
• Definition der magnetischen Feldstärke H
ist unabhängig vom
Material (siehe Folien
188, 199).
• Dies stimmt mit der
Grenzbedingung für die
Tangentialkomponenten überein (Folie 278).
HE = HL = H =
wi
24
-290-
Magnetische Kreise II
Magnetischer Fluss in unterschiedlichen Materialien
(1) «Längsgeteilter» Spulenkern:
i
μ0 μr
μ0
wi
BL = μ0 H L BE = μ0 μr H E
HE = HL = H =
HE
HL
i
(A) Die magnetische Flussdichte im Spulenkern:
d
Der magnetische Fluss m tritt
praktisch nur im Eisenkern auf !
(B) Der magnetische Fluss im Spulenkern:
wi d 2
mE = BE n AE = μ0 μr 8
2
wi d
mL = BL n AL = μ0 8
mL mE
(
)
(
)
-291-
Magnetische Kreise III
Der idealisierte magnetische Kreis
(1) Idealisierende Annahmen:
• Idealisierung: Der Fluss m tritt
praktisch nur im Eisen auf (vernachlässigbarer Streufluss in der
Luft falls r 1).
• Mit dem Eisen lässt sich ein
«magnetischer Kreis» analog
zum «Stromkreis» aufbauen.
• Kreis besteht aus 4 Schenkeln.
• Ecken/Verbindungen haben keinen Einfluss auf das Magnetfeld.
• Magnetische Feldstärke H entlang
der Mittellinie sei stellvertretend
für das H-Feld im Eisenkern.
= 1 + 2 + 3 + 4
25
-292-
Magnetische Kreise IV
Der idealisierte magnetische Kreis
(1) Idealisierende Annahmen:
Durchflutungsgesetz:
= wi
H
ds = wi
H konstant
entlang von H 11 + H 2 2 + H 3 3 +
+ H 4 4 = wi
4
H
=1
4
= wi
B
μ μ
=1
0
r
= wi
Magnetische Kreise V
-293-
Der idealisierte magnetische Kreis
(2) Der magnetische Fluss:
4
4
B
H = μ μ = B A μ μ A = m Rm = wi
=1
=1 0 r
=1
=1
0 r 4
4
Rm =
μ0 μr A
vergleiche
R = =
A A
Magnetischer Widerstand
4
=1
m
Rm = wi
Falls der Normalenvektor zu A in Richtung von B zeigt, dann
kann die Bestimmungsgleichung für die magnetischen Flüsse
in den Abschnitten des magnetischen Kreises einfach angegeben werden (Bezugspfeil von m in Richtung Normalen).
Frage: Gibt es noch weitere Informationen zur Bestimmung
der magnetischen Flüsse m im magnetischen Kreis?
26
-294-
Magnetische Kreise VI
Der idealisierte magnetische Kreis
(3) Unterschiedliche Teilabschnitte im magnetischen Kreis:
A2
n2
n
m2
B2
Magnetisches
Flussgesetz (Folie 275)
B n dA = 0
Flussbilanz an einer
«Ecke» im magnetischen Kreis:
A
m 2 + m 3 = 0
m 3 = m 2
B3
n = n3
m3
A3
m
=0
A
Für den magnetischen
Kreis gilt daher:
«Flusserhaltung» an
den Übergängen der
verschiedenen Teilabschnitten.
«Magnetischer
Strom»
m1 = m 2 = m 3 = m 4 := m
-295-
Magnetische Kreise VII
Der idealisierte magnetische Kreis
(4) Netzwerkdarstellung des magnetischen Kreises:
Rm2
Rm1
Rm 3
= wi
4
= m Rm =
Vm 3 = Rm 3 m
Rm 4
(5) Magnetische «Spannung»:
Vm = H = m Rm
Über die
Feldstärke
Im magnetischen Kreis:
m
Über das «Gesetz von Ohm»
«Ohm’sches
Gesetz»
=1
4
= m Rm =
=1
= wi
4
4
4
=1
=1
=1
= m Rm = Vm = H = wi
27
-296-
Magnetische Kreise VIII
Der idealisierte magnetische Kreis
(5) Netzwerkanalyse des magnetischen Kreises:
m =
4
R
=
m
=1
wi
(Hopkinsonsches Gesetz)
4
R
=1
m
Vm = Rm m = Rm wi
R
=1
Zwei Zugänge für B:
=
4
m
wi
4
= H μ0 μr A
Rm
=1
1
wi
magnetische
B = m magnetischer
4
"Strom"
"Spannung"
A
A
Rm
=1
Vm
H =
B = μ μ H
0 r
-297-
Magnetische Kreise IX
Der idealisierte magnetische Kreis
(6) Analogien zwischen elektrischem Netzwerk magnetischem Kreis:
Rm =
μA
R=
= A
A
μ
Vm = H ds
u12 = E ds
Leitfähigkeit
12
m = B n dA
i = J n dA
Vm = Rm m
B = μH
u = Ri
J = E
A
Widerstand
A
Spannung
Stromstärke
Ohm’sches Gesetz
Ohm’sches Gesetz
Stromdichte, Feldstärke
28
-298-
Magnetische Kreise X
Magnetischer Kreis mit Luftspalt
(1) Experimentalanordnung:
Voraussetzungen:
• AE konstant.
• r gross.
RmE
• Luftspalt klein.
E
=
RmL =
μ0 μr AE
μ0 AL
• Kein Streufeld,
d.h. AL AE.
-299-
Magnetische Kreise XI
Magnetischer Kreis mit Luftspalt
(2) Netzwerkberechnungen am magnetischen Kreis:
Vm L
AL AE
μ0 AE wi μ0 μr AE wi
=
E
E
E + μr
+
+
μ0 μr AE μ0 AL
μr
μ μ A wi μr wi
= RmL m 0 r E
=
= H L μ0 AE E + μr
E + μr
m =
=
RmE + RmL
Vm E = RmE m wi
μ μ A wi
E
wi
0 r E
= E
= H E E
μ0 μr AE E + μr
E + μr
Siehe auch
μr wi
wi
HL =
= E
E + μ r μr + Folie 283 !
wi
1
HE =
=
H L BL = BE
E + μr μr
29
-300-
Magnetische Kreise XII
Magnetisches Netzwerk
(1) Experimentalanordnung:
1
H1
e1
i1
m2
A1
A2
μ3
H3
H2
i2
A3
1
w1
Voraussetzungen:
e2
m1
e3
2
2
w2
m3
3
• Ai konstant entlang
von i.
• r gross.
• Neu: Trotz eingezeichneter Stromrichtung und der Kenntnis
des Vorzeichens ist
noch keine Aussage
über die Richtungen
der magnetischen
Feldstärke möglich!
• Ansatz:
μ1
μ2
H i = H i ei
i = 1, 2, 3
Magnetische Kreise XIII
-301-
Magnetisches Netzwerk
(2) Magnetische Kreisspannungen (Maschen-Analyse):
H1
2
1
m1
e1
μ3
e3
H3
1
w1
e2
m2
H2
2
w2
m3
3
μ1
Durchflutungssatz für drei Kreise:
H 1 1 H 3 3 = 1 = w1 i1
H 2 2 + H 3 3 = 2 = w2 i2
H 1 1 + H 2 2 = 1 + 2
= w1 i1 + w2 i2
Dritte Gleichung ist redundant !
μ2
Zur eindeutigen Lösung des Gleichungssystems für die drei magnetischen Flüsse
fehlt noch eine dritte Gleichung !
Die alternative Schreibweise berechnet
die Spannungen Vmi im Kreis (Masche):
m1 Rm1 m 3 Rm 3 = 1
m 2 Rm 2 + m 3 Rm 3 = 2
30
-302-
Magnetische Kreise XIV
Magnetisches Netzwerk
(3) Knotenflüsse (Knoten-Analyse):
A1
n
Die fehlende dritte Gleichung
wird über die «Kontinuitätsbedingung» der Flüsse an der
Verzweigungsstelle (Knoten),
d.h. über das magnetische
Flussgesetz ermittelt:
A2
m1
m2
n
m1 + m 2 m 3 = 0
m3
Das vollständige Gleichungssystem:
n
m1 Rm1 m 3 Rm 3 = 1
A3
m 2 Rm 2 + m 3 Rm 3 = 2
m1 + m 2 m 3 = 0
-303-
Magnetische Kreise XV
Magnetisches Netzwerk
(4) Lösung:
m1 Rm1 m 3 Rm 3 = 1
0 Rm 3 m1 1 Rm1
m 2 Rm 2 + m 3 Rm 3 = 2 0 Rm 2 Rm 3 m 2 = 2 1
m1 + m 2 m 3 = 0
1
1 m 3 0 [S ]
m
Lösung der Gleichung z.B. mittels Cramerscher Regel (lineare Algebra):
[ S ] m = [ S ] = [ s1 , s2 ,…, sN ]
det Si
i =
det S
[ Si ] = [ S ] si N
det S = ( 1)
j =1
i+ j
sij det Sij
Sij ist die (N-1)(N-1)Untermatrix von S, die
durch Streichen der
i-ten Zeile und j-ten
Spalte entsteht.
(Entwicklung nach
der i-ten Zeile)
31
-304-
Magnetische Kreise XVI
Magnetisches Netzwerk
(4) Lösung:
Rm1
0
1
0
Rm 2
1
Rm 3 m1 1 Rm 3 m 2 = 2 1 m 3 0 [ S ] m = Determinanten:
det S = ( Rm1 Rm 2 + Rm1 Rm 3 + Rm 2 Rm 3 )
det S1 = ( 1 [ Rm1 + Rm 3 ] + 2 Rm 3 )
det S2 = ( 1 Rm 3 + 2 [ Rm1 + Rm 3 ])
det S3 = 1 Rm 2 2 Rm1 = ( 2 Rm1 1 Rm 2 )
-305-
Magnetische Kreise XVII
Magnetisches Netzwerk
(4) Lösung:
[ R + Rm 3 ] + 2 Rm 3
det S1
m1 =
= 1 m1
det S
Rm1 Rm 2 + Rm1 Rm 3 + Rm 2 Rm 3
m 2 =
R + 2 [ Rm1 + Rm 3 ]
det S2
= 1 m3
det S
Rm1 Rm 2 + Rm1 Rm 3 + Rm 2 Rm 3
m 3 =
det S3
2 Rm1 1 Rm 2
=
det S
Rm1 Rm 2 + Rm1 Rm 3 + Rm 2 Rm 3
Der magnetische Fluss
Im mittleren Schenkel
kann auf Null gebracht
werden, falls die Bedingung gilt:
m 3 0
2
= 1
Rm 2 Rm1
1 Rm1 w1 i1
i
w R
w μ A
=
=
1 = 2 m1 = 2 1 2 2
2 Rm 2 w2 i2
i2 w1 Rm 2 w1 2 μ1 A1
32
-306-
Dauermagnet-Kreise I
Der Dauermagnet
(1) Nordpol und Südpol:
N
B
B
H
S
N
H
S
b)
a)
Dauermagneten sind ferromagnetische
Materialien mit einer permanenten
Magnetisierung M in einer Vorzugsrichtung (cf. Folien 237-241).
• B-Feld: Feldlinien treten am Nordpol (N) aus
und in den Südpol (S) des Magneten ein.
• H-Feld: Feldlinien beginnen auf der Nordpolfläche und enden auf der Südpolfläche
des Dauermagneten.
-307-
Dauermagnet-Kreise II
Der Dauermagnet
(2) Die (Ent-)Magnetisierungskennlinie:
H<0 B>0
2. Quadrant der
Hysteresekurve
(Folien 240, 241)
B
B r1
Material 1
B r2
Material 2
Br : Remanente Flussdichte (verbleibende
Magnetisierung).
Hk : Koertitivfeldstärke
(Entmagnetisierungsfeldstärke).
Hk gross:
magnetisch hart.
Hk klein:
magnetisch weich.
«hart»
Hk2
«weich»
Hk1
H
33
-308-
Dauermagnet-Kreise III
Der Dauermagnet
(3) Kennwerte ferromagnetischer Materialien:
Weitere Kenngrösse: Das Produkt (Hk·Br) ist ein Mass für
die pro Volumeneinheit im Magneten gespeicherte Energie.
-309-
Dauermagnet-Kreise IV
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(1) Experimentalanordnung:
• Polschuhe aus Weicheisen:
r gross. Die Querschnittsfläche ist AP.
• Dauermagnet (aus magnetisch hartem Material). Die
Querschnittsfläche ist AE.
• Es gibt einen Luftspalt. Die
Querschnittsfläche ist AL.
• Einheitsvektor in Richtung
der Mittellinie e
• Für den magnetischen Fluss
im Dauermagnetkreis gilt:
mE = mP = mL
34
-310-
Dauermagnet-Kreise V
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(2) Magnetische Feldstärke und Flussdichte:
Flussdichte anhand des Flussgesetzes:
mE = mP = mL
BE = BE e ; BP = BP e ; BL = BL e
BE AE = BP AP = BL AL
BL =
AE
BE
AL
BP =
AE
BE
AP
Feldstärke anhand des Durchflutungsgesetzes:
H
ds = H E E + 2H P P + H L = 0
C: vom Nordzum Südpol
C
Es existiert kein
makroskopischer Strom
-311-
Dauermagnet-Kreise VI
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(2) Magnetische Feldstärke und Flussdichte:
H ds = H
E
E + 2H P P + H L = 0
C
H E E = ( 2H P P + H L ) < 0
Die magnetische Feldstärke im Dauermagneten ist entgegengesetzt zu C, also
vom Nordpol zum Südpol verläuft.
Die magnetische Flussdichte verläuft im
Luftspalt und im Polschuh parallel, gleichgerichtet zur Feldstärke und daher im
Dauermagneten vom Südpol zum Nordpol.
H P ds > 0 H L ds > 0
H E ds < 0 BL,P = μ L,P H L,P
(in der Luft bzw. im Weicheisen)
Das H- und B-Feld sind im Dauermagneten entgegengesetzt gerichtet.
35
-312-
Dauermagnet-Kreise VII
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(2) Magnetische Feldstärke und Flussdichte:
BL = μ0 H L
BP = μ0 μr H P
BL =
H E E = ( 2H P P + H L )
AE
BE
AL
BP =
AE
BE
AP
(Folie 310)
Feldstärken im magnetischen Kreis
mittels BE ausdrücken.
(Folie 311)
A 1
A 1
H E = 2H P P + H L = 2 E P + E BE
E
E AP E μ0 μr AL E μ0 A 1
A
1 BE
H E = E + 2 P E E AP μ0 μr E AL μ0
Gerade mit negativer
Steigung!
-313-
Dauermagnet-Kreise VIII
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(3) Arbeitspunkt des Dauermagnet-Kreises:
B
Arbeitsgerade
Arbeitspunkt
Br
BE
BE = f ( HE )
• Die Arbeitsgerade stellt
das Verhalten des «äusseren» magnetischen
Kreises dar, ausgedrückt
in den Grössen des
Dauermagneten (Last).
• Die Hysterese stellt das
Verhalten des Dauermagneten dar (Quelle).
• Der Schnittpunkt stellt den
Arbeitspunkt des Dauermagnet-Kreises dar.
H k
HE
H
36
-314-
Dauermagnet-Kreise IX
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(4) Optimaler Arbeitspunkt des Dauermagnetkreises:
Der optimale Arbeitspunkt des Dauermagnet-Kreises hängt im Prinzip von der entsprechenden Anwendung ab. In den allermeisten Fällen dient der magnetische Kreis
jedoch dazu, durch Feldkonzentration im Luftspalt ein möglichst grosses Magnetfeld
zu erzeugen (z.B. Elektromotor, Hubmagnet). «Optimal» ist somit gleichbedeutend
mit der Maximierung der magnetischen Feldenergie im Luftspalt !
Energieinhalt des magnetischen Feldes im Luftspalt (cf. Folie 288):
• Ziel: Die Feldgrössen im
Luftspalt mit Hilfe der
gegebenen Feldgrössen
des Dauermagneten
ausdrücken.
1
1
WmL = H L BL VL = H L BL AL 2
2
• Für die Polschuhe soll
gelten: r .
-315-
Dauermagnet-Kreise X
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(4) Optimaler Arbeitspunkt des Dauermagnetkreises:
r H E E = ( 2H P P + H L ) μ
H E E H L
Folie 312 : BL =
AE
BE
AL
HL = E
HE
(Polschuhe
r )
+ WmL
1
1 A
= H L BL AL = E H E E BE AL AL
2
2 HL
WmL
BL
1
1
= H E BE AE E = H E BE VE
2
2
VE
Energie wird bei vorgegebenem Volumen
VE maximal, falls das
Produkt – (HE·BE)
maximiert wird.
37
-316-
Dauermagnet-Kreise XI
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(4) Optimaler Arbeitspunkt des Dauermagnetkreises:
Poptimal
BE
• Werte HE und BE aus
BE
Poptimal
der (Ent-)Magnetisierungskennlinie.
Br
• Produkt – (HE·BE) auftragen.
B E,opt
• Optimaler Arbeitspunkt
Popt liegt nahe beim
Schnittpunkt (Rechteck).
• Maximum definiert Popt.
• In Popt hat der Dauermagnet gemäss Folie
315 auch sein kleinstes
Volumen ( Preis!).
Hk
( H
HE
HE,opt
E
BE
)
max
HE BE
-317-
Dauermagnet-Kreise XII
Magnetischer Kreis mit Dauermagnet
(4) Optimaler Arbeitspunkt des Dauermagnetkreises:
Näherung des optimalen Arbeitspunktes Popt durch den Schnittpunkt der Rechteckdiagnonalen
mit der (Ent-)Magnetisierungskennlinie:
gegeben :
( , AL ,WmL BL , H k , Br )
(H (
)
(1)
grafisch ( 3)
A 1
H E( opt ) = E BE( opt ) E AL μ0 ( 2 ) VE =
opt )
E
2WmL
, BE( opt )
H E( opt ) BE( opt )
= AE E
Arbeitsgerade aus
Folie 312 für r durch Schnittpunkt
Popt «einpassen».
E = BL
AE ( opt )
BE
( opt ) AL
μ0 H E
«oder»
«entweder»
AE =
VE
BL
= ( opt
AL
E BE )
38
Kräfte in magnetischen Kreisen I
-318-
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(1) Experimentalanordnung:
Magnet
u
i
Voraussetzungen:
A E1
• Magnet soll schwere Weicheisenteile (Last) anheben
können.
μ0 μr1
w
• Weicheisen: Ferromagnetisch mit sehr «schmaler»
Hysterese: r 1.
E1
• Es gibt zwei Luftspalte .
Last
ds
μ0 μr2
A E2
E2
Vorgehensweise:
x
• Prinzip der virtuellen
Verschiebung.
• Fallunterscheidung:
m = const. (Feld)
i = const.
(Quelle)
Kräfte in magnetischen Kreisen II
-319-
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(2) Fall #1: m = const.:
Virtuelle Verschiebung:
F ds + dWm = 0
(Folie 109: Entspricht in der Elektrostatik dem Fall Q = const.)
ds = dx ex
F dx ex = dWm
F = F ex
dWm
F ex = F = dx
Energieinhalt des Magnetfeldes: (Folie 288)
Wm = 12 ( H E1 BE1 VE1 + H E 2 BE 2 VE 2 + H L BL VL )
:= x
= 12 ( H E1 BE1 AE1 E1 + H E 2 BE 2 AE 2 E 2 + H L BL AL 2x )
B =
m
A
H =
m
μ0 μr A
= E1, E2, L
zwei Luftspalte
2m E1
E2
2x Wm =
+
+
2 μ0 μr AE1 μ0 μr AE 2 μ0 AL 39
Kräfte in magnetischen Kreisen III
-320-
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(2) Fall #1: m = const.:
Kraftwirkung:
2m
dWm
d E2
2x 2m E1
F=
= +
+
= μ A
dx
dx 0
L
2 μ0 μr AE1 μ0 μr AE 2 μ0 AL 2m B2 A F = F ex = ex = L L ex
μ0 AL
μ0
Kraft in negative x-Richtung:
Eisen wird vom Magneten
angezogen ! (cf. Folie 318).
Fazit:
Im Fall von m = const. kann die Berechnung der Kraft
aus dem Energieinhalt des Magnetfeldes im Luftspalt
erfolgen. Dies, weil die «virtuelle Verschiebung» der
Last im Luftspalt «stattfindet», d.h. die Längen, bzw.
der Energieinhalt im Eisen nicht verändert wird.
Kräfte in magnetischen Kreisen IV
-321-
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(3) Fall #2: i = const.:
(Folie 109: Entspricht in der Elektrostatik dem Fall u = const.)
Vorgehensweise: Es wird eine Beziehung zwischen i und m gesucht, um die magnetische Energie Wm aus Folie 288 als Funktion des Spulenstroms i angeben zu können.
H
H E1 E1 + H E 2 E 2 + 2 H L = VmE1 + VmE 2 + 2VmL = wi
ds = C
VmE1
VmE 2
2VmL
E1
E2
2 = wi
+
+
m ( RmE1 + RmE 2 + 2 RmL ) = m μ0 μr1 AE1 μ0 μr 2 AE 2 μ0 AL wi
m = E1
:= x
E 2
2 μ0 μr1 AE1 + μ0 μr 2 AE 2 + μ0 AL
2m E1
E2
2 1 =
+
+
Wm =
2 μ0 μr1 AE1 μ0 μr 2 AE 2 μ0 AL 2 w 2 i 2
E 2
2x E1
μ0 μr1 AE1 + μ0 μr 2 AE 2 + μ0 AL 40
-322-
Kräfte in magnetischen Kreisen V
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(3) Fall #2: i = const.:
F ds + dWm = dWQuelle
ds = dx ex F = F ex
Virtuelle Verschiebung
d m
i dt = wid m
dt
dWm
d m
F dx ex + dWm = wid m F = + wi
dx
dx
2 2
w i
wi
d 1
d
F= +
wi
dx 2 μ0 μr1E1AE1 + μ0 μrE22AE 2 + μ20 AxL dx μ0 μr1E1AE1 + μ0 μrE22AE 2 + μ20 AxL d 1
w 2 i 2 ex
w 2 i 2
F= ex =
2
dx 2 μ0 μr1E1AE1 + μ0 μrE22AE 2 + μ20 AxL μ0 AL μ0 μr1E1AE1 + μ0 μrE22AE 2 + μ20 AxL
dWQuelle = uind i dt = w (
(
)
Kräfte in magnetischen Kreisen VI
)
-323-
Magnetischer Kreis als Elektromagneten
(4) Zusammenfassung:
Fall #1: m = const.:
Die Kraft ist konstant und
somit keine Funktion der
Luftspaltbreite.
2m B2 A F =
ex = L L ex
μ0 AL
μ0
Fall #2: i = const.:
F= μ0 AL (
w 2 i 2
E1
μ0 μr1 AE1
+ μ0 μrE22AE 2 + μ20AxL
)
2
ex
Die Kraft ist nicht konstant und
somit eine Funktion der Luftspaltbreite x. Für den festen
Wert x := ergeben beide
Fälle den identischen Wert
der Kraft.
41