5. Mechanik deformierbarer Körper Reale Körper: • Festkörper

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5. Mechanik deformierbarer Körper
Reale Körper:
• Festkörper
• Flüssigkeiten
• Gase
Formänderungen: • Scherung
• Drillung
• Biegung
Teile, Atome, Moleküle sind
gegeneinander verschiebbar
Volumenänderungen:
• Kompression
• Dillatation
5.1 Aggregatzustände
Bestimmt durch die relativen Kräfteverhältnisse (Energieverhältnisse) zwischen den
Grundbausteinen der Materie (Atome, Moleküle)
Kräfteverhältnisse:
F = − grad W pot
entscheidend:
( )
W kin / W pot
(
)
min
(1) Wkin überwiegt: ⇒ Atome wie undurchdringbare,
elastisch, streuende Kugeln
(2) Wpot überwiegt ⇒ Nahordnung
Gas
Festkörper, Flüssigkeit
Änderung von Aggregatzuständen
• Wpot : festgelegt durch elektronische Struktur
• Wkin : Funktion der Temperatur: W kin = 3 / 2 K T (im einatomigen Gas)
(K: Boltzmann Konst. (≈ 1/11000 eV/K), T: Absolute Temperatur)
schmelzen, gefrieren:
fest ↔ flüssig
sieden, kondensieren:
flüssig ↔ gasförmig
sublimieren, desublimieren: fest ↔ gasförmig
Fest:
Körper besitzt feste innere Ordnung, feste Gestalt, definierte Oberfläche
Volumenänderung nur unter starkem Druck. r i = n 1i a + n 2 i b + n 3 i c
Flüssig: Nahordnung, mittlerer Abstand jedoch keine Fernordnung, keine bestimmte
Gestalt jedoch definierte Oberfläche, Volumenänd. nur unter starkem Druck
Gasf.: Keine innere Ordnung, schwache Wechselwirkung, keine definierte Oberfläche, füllt jedes Volumen aus, Volumenänderung durch moderaten Druck
5.2. Deformierbare Festkörper
elastisch:
nach Deformation ursprüngliche Gestalt
plastisch:
es bleibt Formänderung zurück
5.2.1. Dehnung und Kompression
(1) Hooke’sches Gesetz σ = E ⋅ ε
(für nicht „allzugroße“ Kräfte)
σ = F n / A : (Zug) Spannung (umgekehrte Richtung Druck!)
ε = ∆ L / L : relative Dehnung
E : Elastizitätsmodul [E] = N/m2
 ∆ d   ∆ L
(2) Poisson-Zahl: µ: = 
 /
 (d: zylindrischer Durchmesser)
 d   L 
∆V
σ
(3) Volumenänderung:
≈ (1 − 2 µ ) (für ∆ L << L und ∆ d << d )
V
E
1 dV
3
(4) Kompressibilität:
κ = −
κ =
( 1 − 2 µ)
V dP
E
Kompressionsmodul: K = 1 / κ
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5.2.2. Scherung
(Schub) Scherspannung:
für kleine Scherwinkel:
Drillung eines Drahtes:
τ = Ft / A
Kraft tangential an eine Fläche:
τ = G⋅α
D=
(π G R
5.2.3. Elastische Energie
1
W =
Eε2
analog:
2
G: Schubmodul (Scher-, Torsionsmodul)
4
/2
W =
)⋅ϕ
= Dr ⋅ ϕ
(Dr: Richtgröße)
1
G α2
2
5.2.4. Anelastisches Verhalten, Energieverlust
1. Proportionalitätsgrenze
2. Elastizitätsgrenze: Verformung nicht rückgängig nach Entlastung
⇒ Energieverlust
∫ σ ⋅ dε :
elastische Energie
3. Fließgrenze
4. Bruchgrenze
5.2.5 Härte
(1) Härteskala nach Mohs
A härter als B: B läßt sich leichter von A ritzen als umgekehrt.
(2) Brinell - Härte
D ∼ 5 - 20 mm
(Durchmesser der Stahlkugel)
1
A =
π D D − D 2 − d 2 (d: Durchmesser des Eindruckes)
2
H B = F/A
(
)
5.3 Ruhende Flüssigkeiten
ideale Flüssigkeit:
- Teilchen lassen sich frei verschieben: Schubmodul G = 0
(keine tangentialen Kräfte an Flüssigkeitsoberflächen)
- erhebliche Kohäsionskräfte
(geringe Kompressibilität, Oberfächenspannung)
- Gleichgewicht: Oberfläche senkrecht zu den Kräften
5.3.1 Statischer Druck
Greift an einer Fläche A senkrecht zu ihr die flächenhaft verteilte Kraft an
F
1 kg
P=
Druck:
p ] = 1 N / m 2 = 1 Pa =
[
A
m s2
weitere Einheiten: 1 bar: = 10 5 Pa
1 at :
= 1 kg/cm2 (1 Atmosphäre)
1 Torr: = 1 mm Hg
1 atm: = 760 Torr (physikalische Atmosphäre)
(1) hydraulische Presse
• Druck auf Flüssigkeitselement: F = − grad P ⋅ d V
grad P = 0
• ruhende Flüssigkeit:
→ P = const. Druck im gesamten Flüssigkeitsvolumen ist konstant
A2
→ hydraulische Presse: F 2 = F1
A1
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d W = − P dV
1 dV
(3) Kompressibilität: κ : = −
temperaturabhängig, stoffabhängig,
V dp
(2) Druckarbeit:
p2
Arbeit bei endlicher Druckerhöhung: W =
∫κV
PdP
p1
5.3.2. Schweredruck
p( 0 ) =
H
∫ ρ ⋅ g⋅dh
mit
ρ( p) = ρ = const
→ P = ρ⋅g⋅H
0
H
p ( h ) = ∫ ρ ⋅ g ⋅d h
P( h ) = ρ ⋅ g ⋅ ( H − h )
h
(1) Hydrostatisches Paradoxon
(2) Auftrieb, Prinzip des Archimedes:
d p( h )
dh
= − ρ⋅g
F A = m FL ⋅ g
Auftrieb: Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge
Schwimmen:
FA > FG = m ⋅ g
Schweben:
FA = FG
Sinken:
FA < FG
(3) Stabilität beim Schwimmen
5.3.3. Flüssigkeitsgrenzflächen
W Ob = σ ⋅ A
(1) Oberflächenenergie:
(2) Oberflächenspannung: σ = W Ob / A
[σ ] = J / m 2 = N / m
σ = F / 2 L (F: Kraft; L: Länge)
2π r σ
ρ⋅g
4σ
• Überdruck in der Seifenblase:
∆p =
r
• Minimalflächen: bei vorgegebenem Volumen sucht jede Flüssigkeit die
Form mit minimaler Oberfläche einzunehmen
(3) mehrere Grenzflächen
Kohäsionskräfte: Kräfte zwischen gleichen Molekülen
Adhäsionskräfte: Kräfte zwischen Molekülen verschiedener Stoffe
• Adhäsion überwiegt: Benetzung
• Kohäsion überwiegt: Keine Benetzung
Grenzflächenspannungen: σ13: fest - gasf.; σ12: fest - flüssig; σ23: flüssig - gas
• konkav :
σ13 > σ12
• konvex :
σ13 < σ13
• Benetzung : σ13 - σ12  > σ23
(4) Kapillarität
2σ
σ13 > σ12 h =
Kapillaraszension, Kapillardepression
ρ⋅g⋅r
• Tröpfchengröße:
V =
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5.4. Die Erde als deformierbarer Körper
Kruste:
0 - 33 km
Mantel:
33 - 3000 km
äußerer Kern:
3000 - 5000 km
innerer Kern:
5000 - 6400 km
Kompressionsmodul
K = 1 - 13 Mbar
starr
fließfähig
flüssig
vermutlich fest
a−c
24 km
=
a
6378 km
Gezeitenverformung: des Erdkörpers, der Meere (Ebbe und Flut), der Atmosphäre:
Druckschwankungen (Chapman 1918, Ampl.: 0,013 mbar)
Gezeitenverformung:
• ∆ F α M / r 3:
Mond: 1,34 ⋅ 10 - 3 kg/m 3
a L = 1,1 ⋅ 10 - 6 m/s 2
Sonne: 5,6 ⋅ 10 - 7 kg/m 3
a S = 5,6 ⋅ 10 - 7 m/s 2
• aL :
Verformung um bis zu 0,5 m (Kruste); 1,0 m (Wasser)
• Relative Richtung: Sonne - Mond - Erdmitte
Springflut: Sonne - Mond auf Geraden durch Erdmittelpunkt
Nipptide: Gerade (Mond - Erde) ⊥ (Sonne - Erde)
• Rotation Erde, Mond:
nur Erdrotation: Verformung alle 12 Stunden
Mond um Erde in 27,5 Tagen ⇒ alle 12,43 Stunden
• Gezeitenreibung:
Deformation nicht vollkommen elastisch ⇒ Energieverlust
• Drehimpulserhaltung:
Mondumlaufgeschwindigkeit nimmt zu
Abstand Erde - Mond nimmt zu
Verformung, Zentrifugalkraft : abgeplattetes Rotationsellipsoid f =
5.5. Strömungen
strömende Flüssigkeiten und Gase: Hydrodynamik und Aerodynamik
⇒ Betrachte die Bewegung von Volumenenelementen ∆ V :
dv
F = ∆ m r = ρ ⋅ ∆V
dt
Kräfte:
• Schwerkraft
• Druckdifferenzen
} Veränderung von
(
v rx , r y , rz , t
)
• Reibungskräfte
5.5.1. Grundbegriffe
• Strömungsfeld:
• stationäre Strömung:
•
•
•
•
•
•
v ( r, t )
v(r)
Stromlinien: (Stromfaden): Ortskurve r ( t ) die ∆ V durchläuft
inkompressibel:
ρ überall konstant
ideale Flüssigkeit:
Reibung vernachlässigbar
zähe Flüssigkeit:
Reibung dominant
laminare Strömung:
Stromfäden durchmischen nicht
turbulente Strömung:
Stromfäden durchmischen
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• Stromdichte und Kontinuitätsgleichung
∫A ρ ⋅ v d A =
φ =
Fluß:
∫
A
jdA
j = ρ⋅v
φ > 0: Stromlinien beginnen
φ < 0: Stromlinien enden
∂ vx ∂ vy ∂ vz 

div v = ∇ ⋅ v = 
+
+
∂y
∂z 
 ∂x
Stromdichte:
Quelle:
Senke:
Divergenz:
∫
Satz von Gauß:
A
j d A = ∫ divj ⋅ dV
v
div ( ρ ⋅ v ) + ρ = 0
allgemeine Kontinuitätsgleichung:
inkompressible Flüssigkeit
im quellfreien Raum:
div v = 0
5.5.2. Kräfte
(1) Schwerkraft:
FG = ρ ⋅ g d V
fG = ρ⋅g
(2) Druckkraft:
dF p = − gradP ⋅ d V
f
(3) Innere Reibung:
Fy = η A
η:
A:
p
= − grad P
d vy
dz
Viskosität: Materialeigenschaft
Fläche
fr = η ∆v
innerhalb strömende Flüssigkeitenoder Gase
 ∂2
∂2
∂2 
2
+
+
Laplace - Operator: ∆: = 
2
2
2 = ∇
∂
x
∂
y
∂
z


5.5.3. Laminare Strömungen
(1) Strömung zwischen parallelen Platten
F P = − gradP d V
Druck:
d FP z = −
Gleichgewicht: d F P z
d 2 vz
= η
dxd ydz
dx2
= d Fr z
Parabelprofil:
vz ( x ) =
Reibung:
d Fr z
(2) Strömung durch Rohre:
1 dP
2η dz
(d
2
dp
dx dy dz
dz
− x 2 ) 2d: Abstand Platten
dV
π R4
= I =
gradP Hagen-Poiseuille
dt
8η
(3) Strömungen um Kugeln: F R
2R: Rohrduchmesser
= − 6 π η r ⋅ v Stokes’sche Reibung
(
)(
Beispiel: Höppler - Kugelfallviskosimeter: η = 2 g r 2 ρ K − ρ Fl ⋅ g v 0
)
−1
(v0: stationäre Endgeschwindigkeit, r: Kugelradius,
ρK, ρFl: Dichten des Körpers und der Flüssigkeit)