Lösungen - Goethe

Prof. Dr. M. Bleicher
Institut für Theoretische Physik
J. W. Goethe-Universität Frankfurt
Theoretische Physik I/II
Aufgabenzettel XI
http://th.physik.uni-frankfurt.de/∼baeuchle/tut
27. Juni 2011
Lösungen
Dieser Aufgabenzettel soll nochmal die wichtigsten Dinge aus diesem Semester wiederholen (sofern sie schon in der Vorlesung vorgekommen sind). Es sind kurze Antworten oder einzelne Formeln gefragt. Zur idealen Nachbereitung der Vorlesung
macht es Sinn, wenn Sie sich zu den einzelnen Fragen aber auch überlegen, was man
dazu noch sagen kann und, vor allem, was die Formel bedeutet.
Aufgabe XI.1:
Newtonsche Mechanik
(5 Punkte)
a) Wie lauten die drei Newton’schen Axiome?
(a) F~ = 0 ⇒ p~ =const.
(b) F~ = ~p˙
(c) F~1→2 = −F~2→1
b) Wie ist das Kraftfeld und das Gravitationspotential der Erde in der Nähe der
Erdoberfläche?
F~ = −mg~ez ; V = mg(z − z0 )
c) Was kann man über den Drehimpuls in einem Zentralkraftfeld sagen?
Er ist erhalten.
Aufgabe XI.2:
Kepler und die 9 8 Planeten
(8 Punkte)
a) Wie lauten die drei Kepler’schen Gesetze?
• Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
• Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl“ überstreicht in
”
gleichen Zeiten gleich große Flächen.
• Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Bahnhalbachsen.
b) Wie lautet das Gravitationsgesetz? (Geben Sie Kraft und Potential an.)
m1 m2
F~ = −γ
(~r2 − ~r1 );
|~r1 − ~r2 |3
1
V = −γ
m1 m2
|~r1 − ~r2 |
Aufgabenzettel XI
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c) Zu welcher Tageszeit geht der Neumond auf?
Zur selben Zeit wie die Sonne, denn Neumond ist genau dann, wenn der sonnenbestrahlte Teil des Mondes von der Erde abgewandt ist.
d) Skizzieren Sie das effektive Potential im Kepler-Problem.
Veff
D
r
C
r
r
r
B
r
A
r
e) Welche 4 verschiedenen Arten von Bahnkurven kann man im Kepler-Problem
unterscheiden? Welche physikalischen Parameter unterscheiden sie voneinander?
Durch welches geometrische Konzept kann man alle Bahnen miteinander vereinen?
Die in des Skizze eingezeichneten Punkte A, B, C und D stellen jeweils einen
der Fälle dar: Bei A bewegt sich der Körper auf einem Kreis, bei B ist es eine
Ellipse, Fall C stellt eine Parabel dar und bei D liegt eine Bewegung entlang
einer Hyperbel vor.
Wie leicht zu sehen ist, ist der veränderliche Parameter (bei festgehaltenem
Drehimpuls) die Energie des Teilchens.
Alle Bahnen kann man durch einen Kegelschnitt beschreiben; der Abstand von
dem Zentrum ist gegeben als r(ϑ) = 1+εpcos ϑ .
Aufgabe XI.3:
Der harmonische Oszillator
(8 Punkte)
a) Geben Sie zwei Beispiele für real existierende/konstruierbare (fast) harmonische
Oszillatoren an.
Die populärsten Beispiele sind das Federpendel und das Fadenpendel.
b) Welche Differentialgleichung ist für einen harmonischen Oszillator typisch? Wie
lautet das Potential?
Ä + ω 2 A = 0 für irgendeine Variable A.
V = 21 kx2 = 21 mω 2 x2 .
c) Wie lautet die Lösung des harmonischen Oszillators?
A(t) = Ac cos ωt + As sin ωt
Aufgabenzettel XI
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d) Welche Fälle lassen sich beim gedämpften Harmonischen Oszillator unterscheiden?
Schwach gedämpft (exponentiell abklingende Schwingung), kritische Dämpfung
(schnelles Relaxieren zur Ruhelage, kritische“ Dämpfung) und starke
”
Dämpfung (eventuell lange Relaxationszeit, keine Schwingung mehr).
e) Skizzieren Sie die Amplitude und Phasenverschiebung einer angeregten Schwingung als Funktion der relevanten (= interessanten) Größen.
Die einzigen relevanten Größen mit nicht-trivialer Abhängigkeit sind die anregende Frequenz ω und die Dämpfung β. In der Skizze ist die durchgezogene
Linie die für β = 0, die anderen Linien für steigende Reibung.
A
1
ω
ω0
90◦
180◦
−ϕ
Aufgabe XI.4:
Drehbewegungen
(5 Punkte)
a) Wie hängen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit miteinander zusammen?
~ = J~
ˆω .
Über den Trägheitstensor Jˆ: L
Aufgabenzettel XI
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b) Wie sind die Hauptträgheitsmomente und die Hauptträgheitsachsen definiert?
Das sind die Eigenwerte und Eigenvektoren des Trägheitstensor.
c) Geben Sie für Masse, Impuls, Geschwindigkeit und Kraft die korrespondierende
Größe bei Drehbewegungen an.
Translation
Masse
m
Impuls
p~
Geschwindigkeit ~v
Kraft
F~
Rotation
Trägheitsmoment
Drehimpuls
Winkelgeschwindigkeit
Drehmoment
Jˆ
~
L
~ω
~
M
d) Wie lässt sich das Drehmoment um eine Achse berechnen, wenn man das Drehmoment um eine dazu parallele Achse kennt?
Über den Satz von Steiner: Ja = JS + ma2 , wobei a der Abstand der Achse vom
Schwerpunkt und JS das Schwerpunktsträgheitsmoment ist (man muss also,
wenn keine der Achsen durch den Schwerpunkt geht, gegebenenfalls erst mit
derselben Formel JS ausrechnen).
Aufgabe XI.5:
Lagrange-Formalismus
(7 Punkte)
a) Wie ist die Lagrangefunktion in mechanischen Systemen definiert?
L = T − V mit T kinetischen Energie und V Potential.
b) Wie lautet die Euler-Lagrange-Gleichung?
d ∂L ∂L
−
=0
dt ∂ q̇
∂q
c) Was ist der kanonische Impuls zu einer Koordinate qi definiert?
pi =
∂L
∂ q̇i
d) Was sind zyklische Koordinaten? Was folgt aus deren Existenz?
Zyklische Koordinaten sind Koordinaten, von denen höchstens die Ableitung in
der Lagrangefunktion auftaucht. Der dazugehörige Impuls ist dann erhalten.
e) Was folgt, wenn eine Lagrangefunktion unter einer bestimmten Transformation
invariant ist?
Aus einer Symmetrie der Lagrangefunktion unter einer bestimmten Transformation folgt eine erhaltene Größe.
f) Stellen Sie die Lagrangefunktion für ein Teilchen im Gravitationsfeld auf.
mM
1 2
2
2
2
2
L = m ṙ + r (sin ϑϕ̇ + ϑ̇ ) + γ
2
r
Aufgabenzettel XI
Aufgabe XI.6:
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Hamilton
(7 Punkte)
a) Wie ist der Zusammenhang zwischen Lagrange- und Hamiltonfunktion?
Beide Größen hängen über die Legendre-Transformation miteinander zusammen:
X
H=
q̇i pi − L
i
b) Von welchen Variablen hängt die Hamiltonfunktion ab?
Von den generalisierten Koordinaten und deren Impulsen, sowie eventuell der
Zeit: H = H(qi , pi , t)
c) Was sind die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen?
ṗi = −
∂H
;
∂qi
q̇i =
∂H
;
∂pi
∂H
∂L
=−
∂t
∂t
d) Wie sind Poisson-Klammern definiert?
{A, B}pq =
X ∂A ∂B
∂A ∂B
−
∂qi ∂pi ∂pi ∂qi
i
e) Was ist die Poisson-Klammer zwischen einer Observablen und der Hamiltonfunktion?
Das ist die Zeitableitung: {A, H} +
Aufgabe XI.7:
∂A
∂t
=
dA
.
dt
Relativ!
(3 Bonus- Punkte)
a) Wie lauten die Lorentz-Transformationen zwischen zwei Koordinatensystemen,
die sich mit einer Geschwindigkeit ~v ||~ez voneinander fortbewegen und am Zeitpunkt t = 0 einen gemeinsamen Ursprung haben?
 
γ
ct′
 x′   0
 ′ =
 y   0
βγ
z′

0
1
0
0
 
ct
0 βγ


0 0   x
·
1 0   y
z
0 γ




b) Welche Größe bleibt bei beliebigen Lorentz-Transformationen eines 4er-Vektors
immer erhalten?
Das 4er-Quadrat Aµ Aµ = A20 − (A21 + A22 + A23 ).
c) Wie ändert sich die Lebenszeit eines Teilchens, wenn es sich schnell bewegt?
Die Lebenszeit wird länger, wenn sich ein Teilchen schnell bewegt: t = γτ > τ .
Aufgabenzettel XI
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d) Welche Energie benötigt man mindestens, um ein Teilchen der Masse m zu
erzeugen?
E = mc2
e) Wie lautet der Vierervektor des Impulses? Was ist sein invariantes Quadrat?
pµ = ( Ec , p~), pµ pµ = m2 c2
f) Was ist der 4er-Betrag des Geschwindigkeitsvektors?
Der Betrag ist immer uµ uµ = c2 .