Berechnungen am Dreieck

Berechnungen am Dreieck
1. Wie groß ist die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit dem Flächeninhalt 14, 43 m2 ?
Lösung: h ≈ 5, 00 cm
2. In einem rechtwinkligen Dreieck (siehe Zeichnung) gelte
q = 9 cm,
b = 15 cm.
Berechne a, c, p und h!
r
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b
a
h
r
q
p
c
Lösung: a = 20 cm, c = 25 cm, p = 16 cm, h = 12 cm
3. Ein Dreieck ABC besitzt bei C einen rechten Winkel.
Es gilt: a = 3 cm und c = 5 cm.
Berechne die Kathetenlänge b und die Länge q des zugehörigen Hypotenusenabschnittes sowie die Hypotenusenhöhe h!
Lösung: b = 4 cm ; q = 3, 2 cm ; h = 2, 4 cm
√
4. In einem bei C rechtwinkligen Dreieck gilt h = 2 cm und b = 5 cm. Berechne
die fehlenden Seiten, die Hypotenusenabschnitte und den Flächeninhalt des Dreiecks.
√
Lösung: q = 1 cm ; c = 5 cm ; p = 4 cm ; a = 2 5 cm ; A = 5 cm2
5. In der nebenstehenden, nicht maßstabsgetreuen Figur sind bekannt:
h = 6, 0 cm und p = 18, 0 cm.
Berechne q, b, s und r.
D.....
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s
C
r
r
b
r q
A
a
h
r
p
c
B
Lösung: q = 2, 0 cm; b ≈ 6, 3 cm; s ≈ 2, 1 cm; r ≈ 6, 7 cm
6. Überprüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC mit A(2|1), B(1|10) und C(6|5)
rechtwinklig ist und gib den Flächeninhalt an! (Keine Zeichnung!)
1
Lösung: a2 + b2 = c2 ; A = 20
7. In einem rechtwinkligen Dreieck ist die kleinere Kathete 18 cm lang. Die Hypotenusenabschnitte unterscheiden sich um 8, 4 cm. Berechne die Hypotenusenabschnitte
und die Höhe.
Lösung: q = 10, 8 cm; p = 19, 2 cm; h = 14, 4 cm;
8. In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Basishöhe h =
5 cm gegeben. Erstelle zunächst eine saubere, maßstabsgetreue Zeichnung und berechne anschließend die exakten Längen
(a) der Schenkel,
(b) der Seitenhalbierenden der Schenkel.
√
√
Lösung: (a): 5 2 cm (b): 52 10 cm
9. Im folgenden wird ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 cm zugrunde gelegt. Auf einer Parabel mit dem Scheitelpunkt S(3|1) liegt der Punkt Q(−2|−5, 25).
Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel und berechne dann die Entfernung d
zwischen S und dem Parabelschnittpunkt mit der y-Achse.
Lösung: y = −0, 25 · (x − 3)2 + 1 ;
d = 3, 75 cm
10. Dem Kreis k(M ; r) ist ein Drachenviereck ABCD
einbeschrieben.
Die Diagonale [BD] hat die Länge BD = 32 r.
√
Zeige, daß dann gilt:
z = M P = 4r 7 .
C
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qP
D
z
qM
r
A
Lösung:
2
B
11. In nebenstehendem Dreieck ABC sind gegeben:
Höhe ha = 60 mm;
Seitenhalbierende sa = 65 mm;
Flächeninhalt F = 2220 mm2 .
(a) Berechne die Seitenlänge AC des Dreiecks
ABC.
√
(Ergebnis: AC = 12 26 mm)
(b) Das Lot von H auf [AC] trifft [AC] im Punkt
G. Berechne CG.
C
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r H
M
ha
sa
A
Lösung: CG =
6
13
√
26 mm
√
12. In einem
Koordinatensystem ist durch die Punkte C(5|3 6) und den Fußpunkt
√
F (5| 3) die Höhe hc eines gleichseitigen Dreiecks gegeben.
(a) Zeichne das Dreieck ABC in das Koordinatensystem (Längeneinheit: 1 cm) so
genau wie möglich ein und berechne dann die exakten Koordinaten der Punkte
A und B!
(b) Berechne den exakten Wert des Flächeninhalts von Dreieck ABC!
√ √
√ √
Lösung: (a): A(6 − 3 2|√3), B(4
√ + 3 2| 3)
(b): AABC = 19 3 − 6 6
13. Gegeben sind die Punkte A(−3| − 2), B(6|1) und C(−5|4).
Prüfe durch Rechnung, ob das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
(Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!)
Lösung: (AB)2 + (AC)2 = (BC)2
14. In einem Dreieck seien c = 32 cm, hc = 24 cm und sc = 25 cm. Berechne die Längen
der Seiten a und b und zeige durch Rechnung, daß das Dreieck nicht rechtwinklig
ist.
Lösung: a =
√
1105, b =
√
657 (oder umgekehrt). Es ist a2 + b2 = 1762 6= 322 = 1024.
3
B
15. Gegeben sind die Punkte A(0| − 3), B(6| − 6) und C(3|3), sowie P (8|5), Q(10|4)
und R(9|7).
Entscheide durch Rechnung, ob die Dreiecke ABC und PQR zueinander ähnlich
sind.
(Achtung: Hier ist keine Zeichnung verlangt!)
Lösung: Die Berechnung der Seitenlängen liefert den Nachweis der Ähnlichkeit.
16. In einem gleichschenkligen Dreieck ist die Basishöhe um 2 cm größer als die Basis
und um 1 cm kleiner als die Schenkel.
Berechne die erwähnten Stücke!
Lösung: Basis: 10 cm; Höhe: 12 cm; Schenkel: 13 cm;
Die Lösungsansätze führen auf eine quadratische Gleichung!
4