Kapitel 5: Impulssatz
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Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5 Impulssatz ..................................................................................................................... 2 5.1 Sir Isaac Newton ....................................................................................................... 2 5.2 Impuls ........................................................................................................................ 4 5.3 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum ........................... 5 5.4 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum .......................................................................... 8 5.5 Körperkraft bzw. Haltekraft ...................................................................................... 12 5.6 Impulsssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen .................................................. 13 5.7 Anwendungsprinzip des Impulssatzes .................................................................... 14 5.8 Übungen zum Impulssatz ........................................................................................ 16 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 1 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5 Impulssatz 5.1 Sir Isaac Newton 04.01.1643 - 31.03.1727 (gregorianischer Kalender*) 25.12.1642 - 20.03.1727 (julianischer Kalender, wurde zu dieser Zeit noch in England verwendet**) * eingeführt 1583 durch Papst Gregor XIII ** Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter Heinrich VIII Formulierung seiner drei Axiome 1687 in 'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica' (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 2 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Erstes newton'sches Axiom: Trägheitsprinzip (lex prima) Gilt nur in Inertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist Zweites newton'sches Axiom: Das Aktionsprinzip (lex secunda) Grundgesetz der Dynamik Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene Kraft wirkt Drittes newton'sches Axiom: Reaktionsprinzip (lex tertia) Wechselwirkungsprinzip Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper A (reactio) __________________________________________________________________________________________________________ Folie 3 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.2 Impuls Impuls - Vektorielle Größe mit der Richtung der Geschwindigkeit - Produkt aus seiner Masse m und seiner Geschwindigkeit c - I mc Impulsänderung - Geschwindigkeitsänderung entspricht einer Kraftwirkung dI d m c F dt dt - Newton'schen Grundgesetz der Dynamik dc d m c F m a m dt dt __________________________________________________________________________________________________________ Folie 4 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.3 Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum Eintrittsebene (1) Austrittsebene (2) dI 1 dm1 c1 dI 2 dm2 c2 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 5 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Impulsänderung - Impulsänderung des Gesamtsystems dI I t2 I t1 I 0 dI 2 I 0 dI1 I t 2 I t1 I 0 = Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum, bleibt unverändert dI I t2 I t1 dI 2 dI1 dm2 c2 dm1 c1 - Kontinuitätsgleichung dm1 dm2 dm - Zeitliche Impulsänderung im System dI dI 2 dI1 dm2 c2 dm1 c1 dm c2 c1 m c2 c1 dt dt dt dt __________________________________________________________________________________________________________ Folie 6 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Impulsstrom dI I m c N dt Impulssatz für stationäre Fadenströmung F I2 I1 m c2 c1 Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich austretendem Impulsstrom abzüglich eintretendem Impulsstrom __________________________________________________________________________________________________________ Folie 7 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.4 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum freie oder körpergebundene Stromröhre AM körpergebundene Stromröhre AM ,die mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird __________________________________________________________________________________________________________ Folie 8 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Freie oder körpergebundene Stromröhre AM.. F p1 , F p 2 Druckkräfte auf die Ein- und FG FW FS FK Austrittsflächen A1, A2 Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum Von der Stromröhre auf das Fluid ausgeübte Kraft infolge Druck- oder Reibung Stützkraft, von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid Körperkräfte = Reaktionskräfte des Fluids, von innen auf die Stromröhre F oder Einbauten F FKi FW , Ki KS FKS FS , FK FKi FKS __________________________________________________________________________________________________________ Folie 9 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Körpergebundene Stromröhre AM , die mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird Fp1 , Fp 2 Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2 Fa FH FK Druckkraft infolge des Außendrucks pa auf die Stromröhre, ungleich Null, da sie nur auf die Mantelfläche und nicht die gesamte Oberfläche wirkt Haltekraft der körpergebundenen F F Stromröhre, H K Körperkraft des Fluids von innen auf die Stromröhre unter Berücksichtigung des Außendrucks __________________________________________________________________________________________________________ Folie 10 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte F I I m c 2 1 2 c1 F I 2 I1 m c2 c1 Fp1 Fp 2 FW FS FG __________________________________________________________________________________________________________ Folie 11 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.5 Körperkraft bzw. Haltekraft - Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche, die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird: F - Zu bestimmen ist die Reaktionskraft K auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter FK FKi FKS Fa FW FS Fa m c2 c1 Fp1 Fp 2 FG Fpi pi pa Ai FH FK Differenzdruckkraft zum Außendruck pa Haltekraft __________________________________________________________________________________________________________ Folie 12 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.6 Impulssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen m nm n FK m ci Austritt m c j E int ritt Fpk FG j 1 k 1 i1 __________________________________________________________________________________________________________ Folie 13 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.7 Anwendungsprinzip des Impulssatzes Körpergebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks pa (Rohrkrümmer) 1. Skizze des Bauteils 2. Kontrollraum, strichpunktierte Linie 3. Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2) 4. Koordinatensystem festlegen 5. Winkeldefinition mathematisch positiv definieren Geschwindigkeiten ci , Druckkräfte Fpi , Impulsströme I i und Gewichtskraft FG einzeichnen i in Ein- und Berechnung von ci , pi , i und m 6. 7. Austrittsflächen (1), (2) mittels Kontinuitäts-, Energieund thermischer Zustandsgleichung __________________________________________________________________________________________________________ Folie 14 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Anwendungsprinzip des Impulssatzes 8. 9. Berechnung der Beträge für - Druckkräfte Fpi pi pa Ai - Gewichtskraft FG VKontrollraums Fluid g bzw. Fpi pi Ai F Berechnung der Komponenten der Körperkraft K FKx FK cos K m c2 cos 2 c1 cos 1 Fp1 cos 1 Fp 2 cos p 2 FG cos G FKy FK sin K m c2 sin 2 c1 sin 1 Fp1 sin 1 Fp 2 sin p 2 FG sin G FK FKx FKy 2 2 FKy F Kx K arctan __________________________________________________________________________________________________________ Folie 15 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ 5.8 Übungen zum Impulssatz - Rohrkrümmer mit Leitblechen - Ebene angeströmte Platte - Dampfturbinenschaufel - Windkraftturbine - Strahltriebwerk - Raketentriebwerk __________________________________________________________________________________________________________ Folie 16 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Rohrkrümmer mit Leitblechen geg.: D1 300 mm D2 200 mm z2 z1 400 mm V 0,024 m 3 1 90 grad 2 45 grad V 0,35 m 3 s (Krümmervolumen) H O 103 kg m3 2 p1 1,3 pa 1,0 bar 1. 2. 3. (Druck in Eintrittsebene) (Außendruck) FK Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des Außendrucks pa ? FH Haltekraft an den Flanschen? FK Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne Außendruck? __________________________________________________________________________________________________________ Folie 17 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Ebene angeströmte Platte geg.: Platte wird unter dem Neigungswinkel angeströmt Potentielle Energien, Reibungskräfte und Massenkräfte können vernachlässigt werden FG 0 ges.: 1. Strahlkraft auf die Platte bei 90 (formelmäßig) 2. Strahlkraft auf die Platte, wenn diese mit u < c1 in Strahlrichtung bewegt wird __________________________________________________________________________________________________________ Folie 18 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Dampfturbinenschaufel geg.: DG1 950 mm DN 1 530 mm DG 2 1020 mm DN 2 495 mm ca1 150 m s (Axialgeschwindigkeit) ca 2 165 m s 1 0,127 kg m 3 DD ges.: p1 0,1836 bar p2 0,14 bar Axialschub Fax auf Rotor und Schaufel im Bereich der Endschaufel __________________________________________________________________________________________________________ Folie 19 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Windkraftturbine ges.: 1. Maximale ideale Turbinenleistung PTurb, max 2. Schubkraft auf den Rotor FKx __________________________________________________________________________________________________________ Folie 20 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Turboluftstrahltriebwerk __________________________________________________________________________________________________________ Folie 21 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Turboluftstrahltriebwerk ges.: 1. Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk 2. Schub in der Flughöhe H 15 km , angepasste Düse d.h. p2 = pa m L 77 kg s Luftmassestrom m B 4 ,13 kg s Brennstoffmassestrom c2 985 m s Strahlaustrittsgeschwindigkeit H 15 Flughöhe M 2,0 Flugmachzahl __________________________________________________________________________________________________________ Folie 22 von 23 Fluidmechanik Impulssatz __________________________________________________________________________________________________________ Bsp.: Raketentriebwerk ges.: Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk __________________________________________________________________________________________________________ Folie 23 von 23
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