Impuls, Kontrollvolumen, Stützkräfte

Prof. Dr.-Ing. Norbert Eisenhauer
Hochschule Karlsruhe Technik und Wirtschaft
Postfach 2440 76012 Karlsruhe
Tel. und Fax: 0721/925-2619 - Email: [email protected]
Impuls
Kontrollvolumen, Stützkraft
Schneidet man eine Stromröhre an zwei Stellen senkrecht zur Strömung durch und führt den
Schnitt weiter zwischen Wasser und Stromröhrenwand, so wird ein Kontrollvolumen (KV)
freigelegt (Bild 1). Gleichzeitig werden wie in der technischen Mechanik Normal-, also
Druckkräfte, und Schubkräfte freigelegt. Bei bei strömenden Medien werden zusätzlich an
den Ein- und Austrittsflächen die Impulskräfte Fi freigelegt. Die Impulskraft an der
Eintrittsfläche (‚Impulskraft ein’) wirkt in Fließrichtung, an der Austrittsfläche (‚Impuls aus’)
wirkt sie entgegen der Fließrichtung. Impulskraft und Druckkraft bilden die Stützkraft an der
Ein- und Austrittsfläche.
A2
Q
Fi,2
p2
Q = const
Æ A1.v1= A2.v2
G
Schwarz: Kontrollvolumen (KV)
Rot: Druck- und Impulskräfte an der Eintrittsund Austrittsfläche
Blau: Eigengewicht des KV
A1
Q
Fi,1
p1
Nicht dargestellt:
Reibungskräfte auf Stromröhrenmantel, da
oft vernachlässigbar.
Druckkräfte auf Stromröhrenmantel, da sie
i.d.R. Ergebnis des Impulssatzes sind.
Bild 1: Kontrollvolumen
Impulskraft
Nach dem zweiten Newton’schen Gesetz ist die Kraft F auf einen Körper gleich seiner
Impulsänderung.
F=
dJ
dt
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Wegen J = m.v folgt.
F=
d(mv)
dv
dm
= m⋅
+v
dt
dt
dt
Betrachtet man die Strömungsverhältnisse z.B. an der Eintrittsseite, so ist bei einer
stationären Strömung dort dv/dt=0. Der erste Term auf der rechten Seite verschwindet. Die
differenzielle Masse dm kann auch über das differenzielle Volumen dV ausgedrückt werden,
da dm = ρ.dV ist. dV ist gleich dem Volumen, das in einer Zeiteinheit durch den
Eintrittsquerschnitt strömt, d.h. dV=A.ds, wobei ds=v.dt ist.
Mit diesen Ansätzen folgt für die Impulskraft Fi:
dm
dV
ds
v ⋅ dt
= v⋅ρ ⋅
= ρ ⋅v⋅A⋅
= ρ ⋅v⋅A⋅
dt
dt
dt
dt
Fi = ρ ⋅ A ⋅ v ² = ρ ⋅ Q ⋅ v
Fi = v ⋅
Die Impulskraft hängt somit vom Durchfluss und der Fließgeschwindigkeit ab.
Impulssatz
Der Impulssatz
Kontrollvolumen.
in
der
Hydromechanik
∑F = 0 → F
x
beschreibt
das
Kräftegleichgewicht
am
= 0; Fy = 0; Fz = 0
Bei richtiger Wahl des KV (Ein- und Austrittsquerschnitte sollten in Bereiche mit
hydrostatischer Druckverteilung und bekannter Geschwindigkeit gelegt werden) sind die
Stützkräfte S an den Ein- und Austrittsflächen bekannt, so dass der Impulssatz als Ergebnis
jene Kräfte liefert, die am Mantel des Kontrollvolumens und ggf. im Inneren der Strömung
(z.B. Eigengewicht) angreifen:
F = ∑ Si